Systèmes à plusieurs inconnues
Bonjour à tous
En cherchant une solution à un petit problème géométrique je suis tombé sur cet horrible système :
$(2a+2b-ab)(9a+9b-16)=80-18ab$
$(8+ad-2a-2d)(44-27a+27d)=320-216d+54ad$
$(2c+2d-cd)(40-9c-9d)=72c+72d-18cd-128$
$(8-2b-2c+bc)(28-27b+27c)=400-216c+54bc$
Les quatre inconnues sont des réels compris entre $0$ et $3$ .
Je me demande quelles sont les solutions ( si elles existent ) et plus généralement s'il existe des logiciels ( libres ) qui savent résoudre ces problèmes de façon formelle ou approchée ( Wolfram refuse et à la main c'est insupportable ) .
Merci d'avance ;-)
Domi
En cherchant une solution à un petit problème géométrique je suis tombé sur cet horrible système :
$(2a+2b-ab)(9a+9b-16)=80-18ab$
$(8+ad-2a-2d)(44-27a+27d)=320-216d+54ad$
$(2c+2d-cd)(40-9c-9d)=72c+72d-18cd-128$
$(8-2b-2c+bc)(28-27b+27c)=400-216c+54bc$
Les quatre inconnues sont des réels compris entre $0$ et $3$ .
Je me demande quelles sont les solutions ( si elles existent ) et plus généralement s'il existe des logiciels ( libres ) qui savent résoudre ces problèmes de façon formelle ou approchée ( Wolfram refuse et à la main c'est insupportable ) .
Merci d'avance ;-)
Domi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Avec la 4ème équation, on peut exprimer $c=f_2(b)$, et donc $c=f_3(a)$
Avec la 2ème équation, on peut exprimer $d=f_4(a)$
Avec la 3ème équation, on peut exprimer $c=f_5(d)$, et donc $c=f_6(a)$
Et en rapprochant nos 2 fonctions $f_3$ et $f_6$, on peut (????) conclure ?
donne
Ce sont des réponses exactes (les coordonnées des solutions sont des nombres algébriques réels, dont une valeur numérique approchée est affichée).
PS. Je viens de voir que Math Coss est passé des flottants aux nombres algébriques réels;
Cela dit, je suis surpris par le nombre de solutions complexes, 18. Sachant que l'on a quatre équations de degré trois en quatre inconnues, n'en aurait-on pas perdu un grand nombre (à l'infini ?).
Les deux solutions dont les inconnues sont des réels dans [0;3] sont exactement celles qui donnent les réponses à mon problème . Je ne connais absolument pas le logiciel Sage mais il semble vraiment performant : je vais m'y mettre .
J'ai cru comprendre que le point d'interrogation suivant les solutions indiquait qu'il s'agissait de solutions algébriques ( c'est assez naturel ) , le logiciel fournit-il une solution en radicaux si elle existe ?
Encore merci à tous les trois .
Domi
In: Out:
Si ça intéresse quelqu'un , le problème de Michel Lafond qui a suscité la question ;-)
Domi
Le système de Domi ne semble pas très générique.
G[2] est le polynome minimal, de degre 18, toutes les solutions peuvent s'exprimer comme des fractions rationnelles sur une extension algebrique de Q ayant ce polynome minimal, avec au denominateur G[3] la derivee du polynome minimal et au numerateur G[4] a G[7] respectivement pour les composantes a, b, c et d.
Ainsi l:=proot(G[2],40) donne toutes les valeurs possibles de d avec 40 digits, (G[5]/G[3])(a=l[0]) donnera la valeur de b correspondant a la 1ere racine de G[2], etc.
Comme on peut utiliser d comme variable, G[7]/G[3] doit etre equivalent a a, ce qu'on peut verifier par rem(numer(G[7]/G[3]-a),G[2],a)