Simulation avec contraintes
Bonjour à tous.
Je vous souhaite avant tout la meilleure santé qui soit à vous et vos proches.
Comment créeriez-vous algorithmiquement parlant $n+1$ réels $a_0,a_1,\dots,a_n\in[0,1]$ de somme $1$ et tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^nka_k=m$ où $m$ est fixé à l'avance ?
Le tout le plus uniformément possible, même si ceci n'a peut-être pas grand sens.
Merci de vos lumières !
Je vous souhaite avant tout la meilleure santé qui soit à vous et vos proches.
Comment créeriez-vous algorithmiquement parlant $n+1$ réels $a_0,a_1,\dots,a_n\in[0,1]$ de somme $1$ et tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^nka_k=m$ où $m$ est fixé à l'avance ?
Le tout le plus uniformément possible, même si ceci n'a peut-être pas grand sens.
Merci de vos lumières !
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Réponses
$n$ est-il fixé à l'avance ?
On peut la simuler avec des distributions Gamma je crois.
Ton $a_0$ ne sert à rien en l'état :-D.
On peut faire un calcul exact si l'on pose $a_k = a k+b$... $a = {6 (2 m - n-1)\over n (n^2-1)}$ et $b = {-6m+4n+2 \over n(n-1)}$ pour $n \geq 2.$
Il me semble que la valeur maximale possible de $m$ est $m = n$ pour que ton problème ait une solution (correspondant alors à $a_0 = \cdots = a_{n-1} = 0$ et $a_n = 1$), et $m=0$ est la valeur minimale possible ($a_0=1$).
Supposons alors $0 < m < n$. Voici une méthode :
- prendre $\alpha > 0$ aléatoire, avec la loi que tu veux ;
- prendre $\beta = \frac{n-m}{m} \alpha$ (de sorte que $\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} = m$) ;
- prendre $a_k = {n \choose k}\frac{B(k+\alpha, n-k+\beta)}{B(\alpha,\beta)}$.
Pour l'aspect "le plus uniformément possible", je ne sais pas. Ça va dépendre de la loi de $\alpha$.
Si tu fais le même truc avec une loi sur $\{0, \ldots, n\}$ qui a plus que deux paramètres, tu auras plus de possibilités pour la distribution de $(a_0, \ldots, a_n)$. Il y a une loi bêta-binomiale généralisée avec 3 paramètres, mais ses masses de probabilité s'expriment avec la fonction hypergéométrique de Gauss.