Simulation avec contraintes

Ça a tout l'air d'une loi de Dirichlet de paramètre $(1, 2, \ldots, n)$ à un coefficient multiplicatif près.
On peut la simuler avec des distributions Gamma je crois.
Ton $a_0$ ne sert à rien en l'état :-D.

Pour tout $\alpha > 0$ et tout $\beta > 0$, on a $$\sum_{k=0}^n {n \choose k}\frac{B(k+\alpha, n-k+\beta)}{B(\alpha,\beta)} = 1$$ et $$\sum_{k=0}^n k{n \choose k}\frac{B(k+\alpha, n-k+\beta)}{B(\alpha,\beta)} = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta},$$ où $B$ est la fonction bêta.

Il me semble que la valeur maximale possible de $m$ est $m = n$ pour que ton problème ait une solution (correspondant alors à $a_0 = \cdots = a_{n-1} = 0$ et $a_n = 1$), et $m=0$ est la valeur minimale possible ($a_0=1$).

Supposons alors $0 < m < n$. Voici une méthode :

- prendre $\alpha > 0$ aléatoire, avec la loi que tu veux ;

- prendre $\beta = \frac{n-m}{m} \alpha$ (de sorte que $\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} = m$) ;

- prendre $a_k = {n \choose k}\frac{B(k+\alpha, n-k+\beta)}{B(\alpha,\beta)}$.

Pour l'aspect "le plus uniformément possible", je ne sais pas. Ça va dépendre de la loi de $\alpha$.

En fait, j'ai pris $a_k = \Pr(X=k)$ où $X$ suit la loi bêta-binomiale, ainsi $\sum a_k = 1$ et $\sum k a_k = \mathbb{E}(X)$.

Si tu fais le même truc avec une loi sur $\{0, \ldots, n\}$ qui a plus que deux paramètres, tu auras plus de possibilités pour la distribution de $(a_0, \ldots, a_n)$. Il y a une loi bêta-binomiale généralisée avec 3 paramètres, mais ses masses de probabilité s'expriment avec la fonction hypergéométrique de Gauss.

Et polyapost, une librairie qui permet de simuler une loi de Dirichlet contrainte à des égalités ou inégalités linéaires.