Wolfram paresseux

P. · March 2021

J'ai demandé à Wolfram-alpha de me montrer que la série entière au voisinage de $x=0$ de la fonction suivante
$$\frac{1}{4}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x+2}
$$ a au moins un coefficient négatif (raisonnabement avant $x^{10}$). Et ne voilà-t-il pas qu'il refuse de faire un développement au delà de $x^2$, bien que je le sollicite avec 'more terms'. Est-ce parce que W-alpha est gratuit ? Parce que je pose mal ma question ? Merci aux connaisseurs.

Math Coss · March 2021

Je ne sais pas répondre pour Wolfram mais j'ai demandé à Sage de faire le calcul.

sage: f = ((x+2)/(x+1))^(x+2)
sage: taylor(f,x,0,10)
1/29030400*(32*log(2)^10 - 320*log(2)^9 + 2160*log(2)^8 - 14400*log(2)^7 + 94080*log(2)^6 - 549360*log(2)^5 + 2703960*log(2)^4 - 10689840*log(2)^3 + 31767840*log(2)^2 - 63040500*log(2) + 62627175)*x^10 + 1/1451520*(16*log(2)^9 - 144*log(2)^8 + 864*log(2)^7 - 5040*log(2)^6 + 28224*log(2)^5 - 137340*log(2)^4 + 540792*log(2)^3 - 1603476*log(2)^2 + 3176784*log(2) - 3152025)*x^9 + 1/20160*(2*log(2)^8 - 16*log(2)^7 + 84*log(2)^6 - 420*log(2)^5 + 1960*log(2)^4 - 7630*log(2)^3 + 22533*log(2)^2 - 44541*log(2) + 44122)*x^8 + 1/20160*(16*log(2)^7 - 112*log(2)^6 + 504*log(2)^5 - 2100*log(2)^4 + 7840*log(2)^3 - 22890*log(2)^2 + 45066*log(2) - 44541)*x^7 + 1/1440*(8*log(2)^6 - 48*log(2)^5 + 180*log(2)^4 - 600*log(2)^3 + 1680*log(2)^2 - 3270*log(2) + 3219)*x^6 + 1/240*(8*log(2)^5 - 40*log(2)^4 + 120*log(2)^3 - 300*log(2)^2 + 560*log(2) - 545)*x^5 + 1/6*(log(2)^4 - 4*log(2)^3 + 9*log(2)^2 - 15*log(2) + 14)*x^4 + 1/6*(4*log(2)^3 - 12*log(2)^2 + 18*log(2) - 15)*x^3 + (2*log(2)^2 - 4*log(2) + 3)*x^2 + 4*x*(log(2) - 1) + 4
sage: f = ((x+2.)/(x+1.))^(x+2.)
sage: taylor(f,x,0,10)
1.07402947523342*x^10 - 1.080267953065064*x^9 + 1.087650268015925*x^8 - 1.096507398397325*x^7 + 1.107300294001021*x^6 - 1.120682946602024*x^5 + 1.137600984582*x^4 - 1.159448051497281*x^3 + 1.188317305596622*x^2 - 1.227411277760219*x + 4.0

En fait, la dérivée en $0$ est déjà négative.

sage: f = ((x+2)/(x+1))^(x+2)
sage: diff(f,x).subs(x=0)
4*log(2) - 4
sage: diff(f,x).subs(x=0).n()
-1.22741127776022

Rescassol · March 2021

Bonjour,

En Python:

from sympy import *

var('x')

g=(((x+2)/(x+1))**(x+2)).series(x,0,2)
print(g)

répond:

4 + x*(-4 + 4*log(2)) + O(x**2)

Cordialement,

Rescassol

P. · March 2021

Oh! merci. J'ai mon coeff negatif, au diable Wolfram.

Saturne · April 2021

Comme autre outil en ligne disponible, il y a Yacas. Entrée:

Taylor(x,0,2) ((x+2)/(x+1))^(x+2)

Dreamer · April 2021

Bonjour.

Je me permet juste de donner une expérience que j'ai vécue avec WACKE :

Voulant faire la résolution d'un exercice (une étude de fonction rationnelle avec des radicaux pairs, si mes souvenirs sont bons), je me suis retrouvé sans réponse de WACKE mais une demande pressante de "temps de calcul professionnel".

La fin de l'histoire est heureuse car en découpant l'étude de la fonction suivant numérateur et dénominateur, et avec les quelques réflexions nécessaire pour faire un "calcul professionnel", là il a bien voulu me répondre.

Je pense que ce comportement va aller en s'accentuant. Ce n'est que mon ressenti sans preuve bien évidemment.

Et puis, comme l'a dit P., au diable WACKE.

À bientôt.

Wolfram paresseux

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