"Il est facile de 2"
Comme foys se montre généreux, moi aussi j'essaie, je donne une suite au fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,549404,549404#msg-549404
Je démarre à 500 si je ne me gourre pas (on en était à 480 et quelques).
Question500:
Existe-t-il une partie d'intérieur vide du plan telle que toute réunion de droites qui la contient est d'intérieur non vide
Remarque: on peut remplacer droite par pas mal de truc, on obtient ainsi des questions paramétrées de la forme 500.i où i pourra varier
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,549404,549404#msg-549404
Je démarre à 500 si je ne me gourre pas (on en était à 480 et quelques).
Question500:
Existe-t-il une partie d'intérieur vide du plan telle que toute réunion de droites qui la contient est d'intérieur non vide
Remarque: on peut remplacer droite par pas mal de truc, on obtient ainsi des questions paramétrées de la forme 500.i où i pourra varier
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
e.v.
question 500.1:
Soit $DHV$ l'ensemble des droites du plan qui sont horizontales ou verticales (on suppose que $Plan=\R^2$ et qu'on visualise sous geogebra la chose, disons). Existe-t-il une partie d'intérieur vide du plan telle que toute réunion de droites$\in DHV$ qui la contient est d'intérieur non vide
Là comme ça tu vas pouvoir rigoler avec ton cercle, et peut-être essayer d'autres ensembles.
Je donne, en encre blanche, une correction d'une ligne de la 500:
[size=x-small]On prolonge $A$ en un ensemble de complémentaire dénombrable d'intérieur vide et ce dernier est une réunion de droites[/size]
Le plan est une réunion de droites $DHV$ qui contient n'importe quelle partie du plan, d'intérieur vide ou non.
J'ai le quantificateur en berne ?
e.v.
il n'existe pas de telle partie, (et qu'importe que son intérieur soit vide ou pas!) vu qu'il existe toujours une réunion de droites (ou de n'importe quels trucs!) qui est l'ensemble vide,
n'est pas celle attendue
Edit: Je retire mes idioties
Bin en tout cas, je ne comprends pas que tu n'aies pas compris la question :-S
Question 501:
Soit $m$ une application de $\N^2$ dans $F_2$, le corps à deux éléments. Soit $(A,B)$ un couple de parties finies de $\N$. La restriction de $m$ à $A\times B$ induit naturellement une matrice que l'on notera $m*(A,B)$.
Existe-t-il $m$ et un entier $N$ tel que pour tout couple de parties $A,B$ finies telles que $card(A)=card(B)\geq N: m*(A,B)$ est inversible?
Existe-t-il un plan projectif $a:=(M,align)$ dont l'ensemble vérité est polynomial?
Précision:
1) l'ensemble vérité de $a$ est l'ensemble des énoncés clos $P$ formés avec les connecteurs logiques, le mot (prédicat) align d'arité 3 et les quantificateurs $\forall; \exists$ tels que $a\models P$
2) Un ensemble X (ici d'énoncés) est polynomial quand il existeun entier n, un programme, par exemple en $C$, prenant en entrée un énoncé, répondant en sortie la bonne réponse (oui ou non l'énoncé est dans X) et ayant pour ça effectué un nombre d'opérations élémentaires borné par (nombre de symboles de l'énoncé)$^n$
:-D peut-être la plan projectif sur $F_1$?? :-D (non, j'en sais rien, je plaisante, c'est juste que le plan projectif sur $F_1$ est bien défini alors que le corps $F_1$ est un sorte de mystère de roman)
Soit $A$ une partie fixée de cardinal $N$, soit $C$ une partie variable de cardinal $N-1$, alors on considère $E(C)$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{F}_2^N$ engendré par les $N-1$ vecteurs de $m*(A,C)$. Soit $F(C)$ la réunion des vecteurs $m*(A,\{n\})$ lorsque $n$ décrit $\mathbb{N}-C$. Alors $F(C) \cap E(C)=\emptyset$
Alors soit $2^N$ parties disjointes $C_1,...,C_{2^N}$. $F(C_1) \cap \dots \cap F(C_{2^N})=\emptyset$. En effet, tous les vecteurs de $E(C_k)$ sont inclus dans $F(C_1) \cap \dots \cap F(C_{k-1})$. Donc $F(C_1) \cap \dots \cap F(C_{k})$ inclus strictement dans $F(C_1) \cap \dots \cap F(C_{k-1})$.
Or $F(C_1) \cap \dots \cap F(C_{2^N})$ contient au moins un élément. Donc contradiction.
Je signale aussi que Marco répond à ev pour la 500.1 à propos précisément du cercle, mais que cette dernière question en tant que telle reste ouverte dans le fil pour l'instant
En voici une 503 qui sans le dire évoque des téléphones.
Question 503:
On note $T$ l'ensemble des images d'applications injective et $C^\infty$ allant de $\R$ dans $\R^2$. On note $D$ l'ensemble des parties dénombrables de $\R^2$.
Question 503.1:
Existe-t-il deux applications, l'une $f$, allant de $\R^2$ dans $\R^2$ et l'autre $g$ allant de $T$ dans $D$ telles que :
$ \forall x\in \R^2\forall y\in T: $ si $f(x)\in y$ alors $x\in g(y)$?
Question 503.2:
Existe-t-il deux applications, l'une $f$, allant de $\R^2$ dans $\R^2$ et l'autre $g$ allant de $D$ dans $T$ telles que :
$ \forall x\in \R^2\forall y\in
pour la 503.1 indice: trouver une partie du plan de cardinal card(IR²) qui intersecte tout élément de T en un dénombrable
Soit $S$ un système ayant un nombre dénombrable d'équations algébriques à coefficients dans $\R$. On suppose que tous ses sous-systèmes finis ont une solution à coefs dans $\R$. A-t-il forcément une solution à coefs dans $\R$?
Question 505:
Soit $S$ un système d'équations algébriques ayant un nombre dénombrable d'inconnues à coefficients dans $\R$. On suppose que tous ses sous-systèmes finis ont une solution à coefs dans $\R$. A-t-il forcément une solution à coefs dans $\R$?
Question 506:Soit $E$ un ensemble et $D$ une partie dénombrable de $E$. Existe-t-il forcément une application $f$ de $E\to E$, un élément $a\in E$ telle que $\forall x\in D\exists n\in \N: x=f^n(a)$? où $f^3$ désigne $f\circ f\circ f$, etc
Question 507:Soit $E$ un ensemble et $D$ une partie dénombrable de $E$. Existe-t-il forcément une application $f$ de $E\to E$ telle que pour tout $a\in E\forall x\in D\exists n\in \N: x=f^n(a)$?
- Je dirais oui pour la 506 car si on disjoint les cas où $D$ est fini (où il entre en bijection avec un ensemble de la forme $\{0,1,2,...,N\}$) et ceux où il est infini (c'est-à-dire où il entre en bijection avec $\mathbb{N}$) et qu'on note $D'$ cet ensemble en bijection avec $D$ on voit bien que il suffit de poser $a=0$ ($0\in D'$) et $f(x)=x+1$ pour donner un exemple d'application $f$ et d'élément $a$ qui répond au problème. Soit $\tau$ la bijection qui permet de passer de $D$ à $D'$, on obtient donc $f(x)=\tau^{-1}(\tau(x)+1)$ et $a=\tau^{-1}(0)$ pour satisfaire l'existence pour l'ensemble $D$.
$\wedge_{i=2}^n E_i$ possède toujours des solutions contrairement à $\wedge_{i=2}^{+\infty} E_i$
507: sans perdre de généralité $D=\mathbb N$ (*)
On pose $f(x)=0$ si $x \in E \backslash \mathbb N$ et $f(x)=x+1$ sinon.
[size=x-small](*)variante: pour les gens qui considèrent qu'un ensemble fini est dénombrable $D= \mathbb Z / n \mathbb Z$[/size]
EDIT: il n'existe pas de telle application: considérer $a \in D$, poser $E'=\{f^n(a)|n\in \mathbb N\}$ et raisonner comme dans le post où l'exo original avait été proposé.
Pour 504 non. Le système composé des équations $X=n+Y_n^2$ montre que la réponse est non. Ton argument (très concis) montre que la réponse à 505 serait oui si on stipulait que le nombre total d'inconnues est fini
pardon je vois que tu as déjà répondu en fait
Soit $A$ l'ensemble des relations réflexives et transitives $\leq$ sur $(\N^2)$ telles que $\forall n,p,k,q:$
1) si $n\leq q$ alors $(n,q)\leq (k,p)$
2) $(n,p)\geq (n+1,p+1)$
3) $(n,p)\geq (kn,kp)$
4) $non[(n+1,p)\leq (n,p)]$ sauf si $n+1\leq p$
5) si $k>1$ alors $non[(n,p)\leq (kn,kp)]$ sauf si $n\leq p$
Quel est le cardinal de $A$. S'il est fini, décrire tous ses éléments?
$x\geq y$ abrège $y\leq x$
edit : $A$ est l'ensemble des relations transitives sur $(\N^*)^2$
Question510:
Donner une caractérisation simple des anneaux commutatifs unitaires $A$ ayant la propriété suivante:
pour tout système $S$ d'équations affines à coefficients dans $A$ et tout suranneau $B$ de $A$, si $S$ a une solution dans $B$ alors il a une solution dans $A$.
Evidemment, quand $A$ n'a pas de nilpotents, il s'agit des corps. Mais quand $A$ possède des nilpotents non triviaux...
On fait intervenir la notion de "regroupement" en établissant des ensembles de couples d'entiers naturels qui possèdent des propriétés homologues.
Premièrement, le regroupement des négatifs est l'ensemble $\text{negatifs} = \{ (x,y) : x\le y\}$ pour lequel, selon 1) deux éléments de l'ensemble sont égaux entre eux et un élément de ce regroupement est forcément plus petit ou égal à un autre couple.
A.1) $A,B\in{\text{negatifs}} \Rightarrow A\le B \& B \le A$
A.2) $A\in{\text{negatifs}}, B\in\mathbb{N^2} \Rightarrow A\le B$
Pour les nombres positifs (non négatifs) maintenant, on peut commencer par en énumérer une liste non exhaustive ($(1,0), (2,0), (2,1), (3,0)$) et on s'intéresse à une reformulation du 4) qui devient:
4²) $n+1>p \Rightarrow (n+1,p) > (n,p)$
Cela signifie que si un couple est positif, alors celui-ci est plus grand que tout couple ayant un premier élément strictement inférieur. C'est-à-dire par exemple que $(3,0) > (2,0) > (1,0)$ ou encore que $(3,1) > (2,1)$. On peut donc déjà commencer à parler de l'ordre d'un couple positif en disant que celui-ci est son premier élément (on définit ainsi la notion de regroupement suivant l'ordre).
On reformule ensuite le 5) en:
5²) $k>1 et n>p \Rightarrow (n,p)>(kn, kp)$
Or du coup, $(1,0)>(2,0)$, ce qui est contradictoire avec ce que disais 4²). Donc l'ensemble A est vide.
PS: J'ai vu que je me suis fait grillé mais j'espère avoir fourni une autre méthode pour prouver que A est vide, et puis voir si ma démonstration est bonne aussi (elle est sûrement réductible par contre).
EDIT: Bien joué pubmeh, j'ai juste écrit des choses inutiles au début parce que je ne savais pas sur quoi j'allais aboutir mais la démonstration est je pense, au choix des propriétés de $\le$ qui sont utilisées près, identiques.
Ceci n'est qu'une petite partie d'une plus grande démonstration (sur laquelle je travaille), cette partie traite uniquement des couples négatifs, voici ce que ça donne.
Propriétés de $\le$ équivalentes:
1) $n \le q \Rightarrow (n,q) \le (k,p)$
2) $(n+1,p+1) \le (n,p)$
3) $(kn,kp) \le (n,p)$
4) $n+1>p \Rightarrow (n+1,p) \not\le (n,p)$
5) $n>p\ et\ k>1 \Rightarrow (n,p) \not\le (kn, kp)$
$Ne = \{ (x,y) \in (\mathbb{N^*})^2 : x \le y \}$
$Po = \{ (x,y) \in (\mathbb{N^*})^2 : x > y \}$
Selon 1), on sait que si $X \in Ne$ et $Y \in (\mathbb{N^*})^2$, alors $X \le Y$.
On définit un axe comme étant un ensemble de couples ayant pour second élément un même et unique élément qui est l'ordre de l'axe. Par exemple l'axe d'ordre 6 représente $\{(x,6) \in (\mathbb{N^*})^2 \}$ et l'axe des positifs d'ordre 6 $\{(x,6) \in Po \}$. La diagonale limitante est l'ensemble $\{(x+1,x) \in Po\}$ qui entre en bijection avec l'ensemble des axes.
Si $A \le B$, avec $B \in Ne$, alors $A \le X$ pour tout $X \in Ne$ selon la transitivité. Or, selon 4) les couples positifs $(x+1,x) \not\le (x,x)$ donc ces couples sont $\not\le$ que tous les négatifs (pour rappel les négatifs sont les membres de $Ne$ et les positifs ceux de $Po$).
De plus si $(a, b) \le$ un négatif, alors $(a,b) \le (a,a)$ or $(a,a) \le (a-1,b)$ c'est-à-dire que du coup $(a,b) \le (a-1,b)$ ce qui est faux selon 4), donc tout nombre positif est forcément $\not\le$ que tout nombre négatif.
La démonstration complète arrivera sûrement, ceci n'est qu'un bout qui ne répond pas réellement à la question mais qui permet d'y répondre. Actuellement je bloque sur le couple $((3,1), (2,1))$ car je ne sais pas si il appartient à la relation $\le$ ou non (si celle-ci est unique), ou alors est-ce que je dois en déduire que $Card(A) > 1$ ce qui compliquerait énormément la démonstration.
Soient 4 entiers naturels non nuls $n,p,n',p'$.
On s'intéresse au rectangle $R:= n\times p'$. Soit $T$ un ensemble ayant au plus $p$ éléments constitué de lignes, de colonnes ou de paires d'éléments du rectangle.
De plus, quand un élément de $T$ est inclus dans une colonne, il ne peut pas contenir plus de $n'$ éléments. On suppose qu'on peut recouvrir $R$ avec les éléments de $T$.
On note $p=qp'+r$ la division euclidienne de $p$ par $p'$.
Peut-on déduire de ces seules hypothèses que $n \leq qn'+r$?
* si $\det M$ est non-diviseur de zéro dans $A$, alors il est inversible par hypothèse et donc $M$ admet un inverse à coefficients dans $A$ et l'unique solution du système est $x=M^{-1}v\in A^n$. Ainsi, si le système admet une solution dans un suranneau $B$, alors il en a une dans $A$.
* si $\det M$ est un diviseur de zéro, alors $\exists \lambda\in A,\lambda\neq 0$ tel que $\lambda\det M=0$. On remarque que si $x$ est solution, alors $\lambda {}^t\mathrm{com}(M)Mx = \lambda {}^t\mathrm{com}(M)v =: v'$ soit $\lambda\det M.x =0x=v'$. Si le système admet une solution sur $B$ alors $v'=0$ et alors le système admet une solution sur $A$ (et même plus d'une !).
Bref, on a gagné pour les systèmes carrés. Mais pour les autres, je n'ai pas d'idée.
Question 512:
Soit $K$ un corps, $Y$ un ensemble et $E$ l'espace vectoriel des applications de $Y$ dans $K$. Soit $f_1,...,f_n$ dans $E$. Il est évident que s'il existe $x_1,...,x_n$ tels que la matrice dont chaque pième ligne est $(f_1(x_p),...,f_n(x_p))$ a ses colonnes libres alors $(f_1,...,f_n)$ est une famille libre de $E$.
Soient des $f_i$ et supposons que $(f_1,...,f_n)$ est une famille libre de $E$. A-t-on forcément qu'il existe $x_1,...,x_n$ tels que la matrice dont chaque pième ligne est $(f_1(x_p),...,f_n(x_p))$ a ses colonnes libres
(Je pense que oui et je devine que c'est un classique mais je me trompe peut-être)
edit: merci à paf, j'avais écrit $E$ à la place de $Y$
Soient $f_1,...,f_n:Y \to K$ quelconques. Soit $V \in K^n$ le sous-espace vectoriel de $K^n$ engendré par $\{(f_1(x),...,f_n(x))| x \in Y\}$. Si $V \neq K^n$, il est contenu dans un hyperplan autrement dit il existe $a_1,...,a_n \in K$ non tous nuls, tels que $\forall (u_1,...,u_n) \in V, \sum_{i=1}^n a_i u_i=0$ et en particulier, $\sum_{i=1}^n a_i f_i=0$ et donc $(f_1,...,f_n)$ n'est pas libre.
Donc si cette famille est libre $V=K^n$. Donc $\{(f_1(x),...,f_n(x))| x \in Y\}$, qui engendre $V$, contient une base $(f_1(x_p),...,f_n(x_p))_{1 \leq p \leq n}$.
[small]* si E est un espace vectoriel A une partie de E alors si vect(A) n'est pas E alors il existe un hyperplan qui contient vect(A)[/small]
[small]* si E est un espace vectoriel A une partie de E alors si vect(A)=E alors il existe une base de E formée d'éléments de A[/small]
L'ensemble des énoncés vrais dans $(\Z, \leq )$ est-il récursif?
Question 514:
L'ensemble des énoncés vrais dans $(\Z, \leq , + )$ est-il récursif?
Question 515:
L'ensemble des énoncés vrais dans $(\Z, + )$ est-il récursif?
Question 516:
L'ensemble des énoncés vrais dans $(\Z, \leq )$ est-il récursif?
Question 517:
L'ensemble des énoncés vrais dans $(\Z, \leq, \times )$ est-il récursif?
Question 518:
Existe-t-il une fonction récursive et un modèle $( M , \in ) $ de $ZFC$ tel que pour tout énoncé clos $P$, $(M, \in) \models P\iff (M, \subseteq ) \models f(P)$Rappel:
1) un ensemble $A$ est récursif quand il existe un programme P (par exemple en C), tel que pour tout $x$ (du format adapté au contexte) $x\in A$ ssi $P$ répond "oui" quand on lui donne $x$ en entrée, avec en outre que $P$ termine sur toute entrée en répondant "oui" ou "non"
2) on utilise souvent la tournure poétique $X$ vrai dans $Y$ à la place de $Y\models X$.
Existe-t-il pour tout cardinal $a$, un cardinal $b$ tel que pour tout espace topologique (pas forcément séparé) $X$, s'il existe une partie dense de cardinal $\leq a$ dans $X$ alors tout sous-espace de $X$ est tel qu'il existe une partie dense de lui dans lui de cardinal $\leq b$?
(question qui m'a été inspirée par H suite à une remarque qu'il a faite dans un autre fil)
Léa et Bob jouent au jeu (à information parfaite) suivant:
Bob propose $x_1\in \R$, puis Léa répond par $y_1\in \R$. Bob joue $x_2\in \R$ puis Léa répond par $y_2$, etc, etc. A la fin, au bout de IN coup, $Bob$ propose une application $f:C^{\infty }$ de $\R\to \R$. Puis Léa propose $g:C^{\infty }$ de $\R\to \R$. Si $f=g$ Bob est déclaré gagnant, sinon: Léa gagne ssi la phrase suivante est vraie:
Qui des deux a une stratégie infaillible pour gagner à ce jeu?
Cette question m'est insprée par le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1008965,1008965#msg-1008965
Soit $(E,T)$ un espace compact, et $*$ une application de $E^2\to E$ telle que $\forall a\in E: x\mapsto a*x$ est continue. Soit $\equiv$ une relation d'équivalence (quelconque) telle que $\forall a,b,c$ dans $E: a*(b*c) \equiv (a*b)*c$.
Existe-t-il (forcément) $a\in E$ tel que $a*a\equiv a$?
On note $[a/b]$ le plus petit entier $k$ tel que $kb\geq a$
Soient des entiers naturels non nuls $n,p,n',p'$. Soit $a$ un entier naturel (pas forcément non nul, lui) tel que $a\leq n$. On note $p=qp'+r$ la division euclidienne de $p$ par $p'$. On suppose que:
$$[a/n'] × p' + n \leq p+a$$
Peut-on déduire que $n\leq qn'+r$?edit: je dis juste un truc en l'air en passant, je suis dysccalculique de toute façon:
en écrivant $[a/n'] × p' + n \leq qp'+r+a$
n'est-on pas amené à rechercher à prouver que $qp'+r+a-[a/n']p' \leq qn'+r$?
Je ne fais que citer http://images.math.cnrs.fr/Quelques-problemes-ouverts-de.html
Une question dont je ne connais pas la réponse:
Est-ce que l'existence d'une partie de $\R$, de même cardinal que $\R$, qui intersecte tout fermé d'intérieur vide en un ensemble dénombrable entraine l'hypothèse du continu?
Elle m'est inspirée par le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1012467,1013091#msg-1013091
Il est "bien connu" qu'en présence de l'axiome du choix***, si $(E,d)$ est un espace métrique séparable alors pour toute partie $A$ de $E$, il existe une partie dénombrable $X$ de $A$ telle que $adh(X)\supseteq A$.
Est-ce que ZF à lui tout seul démontre cet énoncé?
[small]*** j'en rappelle une preuve parmi d'autre, celle qui vient le plus rapidement à l'esprit. Pour chaque entier $n$, soit $X_n$ une partie de $A$ maximal parmi les parties de $A$ à vérifier la condition: $\forall x,y$ distincts dans $X: d(x,y)\geq 1/n$. Chaque $X_n$ est inclus dans $A$ et est dénombrable. La réunion des $X_n$ quand $n$ parcourt $\N$ convient. On a utilisé Zorn[/small]