"Il est facile de 2"

Maxtimax · July 2019

Bah du coup 1073 : prendre un des rectangles dans un coin : si son côté horizontal est de longueur entière, retirer la "bande" verticale du rectangle qu'il détermine. Sinon, si c'est le côté vertical, retirer la bande horizontale qu'il détermine. Puisqu'on retire une longueur entière, l'hypothèse reste vérifiée dans le nouveau rectangle, qui est recouvert de strictement moins de rectangle : par récurrence, on gagne (preuve qui n'est pas de moi).
Elle s'adapte en remplaçant $\Z$ par un sous-groupe additif de $\R$

christophe c · July 2019

De mon téléphone bravo. Je crois qu'Anatole ne parlait pas d'analyse mais d'État d'esprit. L'équivalence avec Brouwer se voit mieux en prenant 2 groupes l'un pour la direction horizontale et l'autre pour la verticale. De mon téléphone

Georges Abitbol · July 2019

@Christophe : Tu peux détailler ?

christophe c · July 2019

Oui, la formulation initiale d'Anatole avait probablement une vocation pedago, il ne m'a pas dit. J'ai retapé l'énoncé en rajoutant ce qui de mon point de vue en fait un "gros parent" de Brouwer, c'est à dire en le formulant comme suit:

[large]Enoncé 1075:[/large]

Si un hyperrectangle de dimension $n$ est pavé en petit hyperrectangles, partitionnés en $P_1,..,P_n$ morceaux alors dans l'un de ses directions $i$ (dans le plan, il y en a 2: verticale/horizontale), son diamètre est somme de diamètres avec éventuellement des $(-1)$ devant certains d'hyperrectangles TOUS dans $P_i$ (et attention, c'est le même $i$).

Selon lui, on obtient ces choses en utilisant 3 lignes de calculs intégral remixé pour que ça s'adapte aux groupes quelconques, mais il le propose avec $\Z$ par simplicité. Il m'a dit que "c'était une bonne occasion" d'aborder ainsi l'esprit "Brouwer - Stokes". Mais je t'avouerai que dégoulinant de sueur avec même débit qu'une douche, la période n'est pas idéal pour moi pour attaquer une réflexion là dessus. De plus, Anatole considère souvent comme simples des choses qu'il connait mais qui in fine, demandent familiarité.

Champ-Pot-Lion · July 2019

Je me souviens avoir vu la 1073 dans un article de JP Delahaye qui renvoie vers cet article : www.diegm.uniud.it/casagrande/Other_things/Wagon.pdf
J'avais réfléchi à une preuve et il me semble me souvenir que ce que dit Maxtimax ne fonctionne pas... Tu pourrais détailler pourquoi l'hypothèse de récurrence est vérifiée à l'étape suivante ? Voir la preuve 8 de l'article de Wagon "bipartite graph".
Voilà un autre lien : http://www.mathoman.com/index.php/1499-les-rectangles-revisites (compléments dans les commentaires)

christophe c · July 2019

[large]Question 1076:[/large] l'énoncé suivant est-il consistant avec $ZF$ ? (attention, il contredit toutes les formes D'AC, même faibles).

Je note $A$ l'ensemble des parties dénombrables de $\R$. Pour toute partie $S$ de $\R^2$, on note $\phi(S)$ l'ensemble des couples $(D,x)$ tels que $D$ dénombrable $x\in \R$ et:

$$ \forall z: [ (\forall y\in

(y,z)\in S) \to (\forall y\in

(y,x)\in S) ]$$

Pour toute partie $S$ de $\R^2$, on note $S^\perp :=\{(x,y) \mid (y,x)\in \R^2\setminus S\}$

On dit que $S$ est couverte quand il existe $f,g$ allant, pour $f$ de $\R$ dans $A$ et pour $g$ de $\R$ dans $\R$ vérifiant :

$$\forall (x,y): [ (f(x), y)\in \phi(S) \to (x,g(y))\in S]$$

Enoncé 1076: $\forall S\subseteq \R^2$, ou bien $S$ n'est pas couverte ou bien $S^\perp$ n'est pas couverte

Maxtimax · July 2019

Champ-Pot-Lion :

disons pour se fixer les idées qu'on regarde le rectangle du coin en haut à droite et que son côté vertical (selon les ordonnées) est de longueur entière. Je retire alors la bande déterminée par ça (de côté horizontal le côté du gros rectangle et de côté vertical le côté du petit rectangle).

Si je prends un petit rectangle qui reste alors : ou bien initialement son côté horizontal était de longueur entière, auquel cas comme il ne change pas donc il vérifie toujours l'hypothèse.
Ou bien initialement son côté vertical était de longueur entière, auquel cas au mieux je ne l'ai pas touché, au pire je lui ai retiré une longueur entière donc ça reste entier (Passage en gras n'est a priori pas vrai; je comprends ton souci : je n'avais pas fait gaffe !! )
Bon.... je sais pas si ça se corrige, peut-être en choisissant mieux le pivot ?
(J'avais prévenu que c'était pas ma preuve :-D)

christophe c · July 2019

De mon téléphone pardon je ne t'avais pas vu CPL. Effectivement selon Anatole les variations autour de 1073 ou celles autour de Brouwer auraient les mêmes niveaux de difficulté. En gros une preuve easy de l'un inspirerait une preuve easy de l'autre.

christophe c · July 2019

Un autre énoncé parent et peut être plus facile à tester avec un ordi. On prend un matrice à coefficients dans un groupe commutatif. On suppose que toutes les lignes ont la même somme ainsi que toutes les colonnes. On partitionne en deux les cases. Alors là sommed'une des deux directions peut être obtenue avec sa couleur (en additionnant les elets de cette couleur. De mon téléphone et d'une aire d'autoroute où je viens de voir sans mentir sur les chiffres latrmperature passer de 42 à 20 enCINQ MINUTES CHRONO. (Orage)

Tonm · July 2019

Bonjour, le 1073, 1/ On prend notre rectangle $R$ remplie de rectangles plus petits dont les cotés sont parallèles à $R$. On commence un chemin du côté coin droit supérieur et on suit les côtés entières suivant un seul sens Ouest sud, alors si on sort du bas notre vertical est entière si on sort du gauche notre horizontale est entière.
Merci.
Ça se généralise pour n'importe quelle dimension. (On prend un quadrant comme sens)

Ce n' est pas juste...
Edit

christophe c · July 2019

Bienvenue en brouweries. Ça fait 25ans que je dis qu'il manque un théorème de logique qui trivialise tout ça (ie qui rend valides les approches intuitives). Cet énoncé serait court , banalement ensembliste , déjà souvent vu et considéré comme "tellement évidemment faux que pas la peine de chercher un contre exemple" :-D et entraînerait trivialement à titres de cas particuliers tous ou presque les théorèmes actuels "vip publics" des topologie et géométrie algébriques (enfin pour la GA juste la partir non arithmétique évidemment)

J'espère être sur le point d'aboutir. J'attends encore quelques contre exemples qu'Anatole cherche mais j'ai des candidats. Ensuite pour ce qui est de le prouver ce sera une autre affaire (0=1 marcherait ) , mais j'ai la preuve à E_0 équivalence près actuellement donc il reste la partie finitistes.

Tu viens de subir les habituelles météos du territoire Brouweries.

Maxtimax · July 2019

Christophe : est-ce que tu saurais citer au moins un théorème actuel de topo ou géométrie algébrique ? (sans nécessairement le comprendre) Parce que ça fait longtemps qu'on n'y parle plus de Brouwer...

christophe c · July 2019

De mon téléphone : selon Anatole (qui lui est connaisseur) on y décline essentiellement Brouwer dans tous les sens, mais le point d'encrage est Brouwer (il compare avec Wedderburn qui donne le départ vers Jacobson etc). Par exemple le rébus:

Brouwer est à Lefdchetz
Ce que
Wedderburn est à Jacobson.

Mais de toute façon la question n'est pas la pour moi. Les multitudes d'outils construits en aval ont-ils une "cause entendable commune" en amont?

Peut être que la réponse est non, mais c'est cette question que je me pose. On peut prouver les gaps d'une manière générale (ie le fait que pour n assez grand il y a toujours un énoncé court qui plie les nombreux précédents). La question que je me pose est précisément celle de trouver un gap pour ces spécialités.

La raison est simple: elles donnent l'impression d'être physiques. À savoir que par d'exemple les groupes d'homotopie seraient comme du pétrole et ce qui en a été fait comme de l'essence. Pour moi c'est important de trancher entre l'emergent ou l'atomique. Pour Brouwer je "ressens" intuitivement que c'est l'atomique qui gagnera, que les outils seront élucidés. Pour la GA la question est plus affaire de programmation que de pétrole ou diamants trouves dans caverne.

En résumé cela me semble faire trop longtemps qu'on n'a pas découvert un nouvel axiome pour ne pas s'inquiéter (j'entends ici par "axiome" plus un éventuel "lemme assisté par axiomes" qu'axiome pur).

Je prends un exemple extérieur à ces machins. Exercice: pour tout ensemble T de réels et suite croissante pour l'inclusion A dont la réunion est IR, si pour chaque n entier , il existe un borélien B_n qui calcule bien T sur A_n alors T est borélien. Attention le borélien succès pour n peut se tromper dans N'IMPORTE QUEL sens pour les elts non dans A_n.

Et bien ce lemme "évident" intuitivement (c'est une instance d'un des seuls théorèmes que j'ai publié papier) n'a pas de preuve"propre" non plus à ma connaissance et pourtant rien à voir avec GA ou TA

De toute façon les exemples pullulent.

Que les maths soient indécidables est une chose mais que certains phénomènes (la déchirure de tissu chez Brouwer etc) "sûrs" n'aient pas de preuves "propres" m'interpelle.

christophe c · July 2019

Autre exemple: le bord d'un compact métrique est l'ensemble des points à distance maximale d'un elt du compact. Pour toute f continue d'un compact sur son bord la dist (x,f(x)) atteint son max FORCEMENT SUR LE BORD.

Idem: général mais pas de preuve "propre" connue (ou en tout cas célèbre).

christophe c · July 2019

Sans parler de "tout homotope à une constante a un point fixe" qui n'est même pas un théorème car pas eu de débroussaillage des conditions de validité.

Bref: je crois plus à une faune émergente d'un même principe atomique *** qu'à des spécialités multiples "forcément" au sens godeliens difficile

*** comme dit même connu de tous comme .... faux de sorte qu'on n'a ni chercher à le prouver ni chercher à l'infirmer tant c'était "déraisonnable".

Maxtimax · July 2019

En bref : tu ne sais pas ce que sont les thèmes de recherche actuels ni des théorèmes récents :-D mais tu cherches à les réduire malgré tout (qui est une entreprise en soi louable), sans savoir de quoi il s'agit 8-)

Foys · July 2019

Si $A$ est un théorème de maths et $B$ un énoncé quelconque, alors $B \Rightarrow A$ est aussi un théorème et donc chaque théorème peut être vu comme conséquence d'autre chose dans un certain sens.
Ainsi tout théorème de géométrie algébrique (comme le théorème des zéros de Hilbert par exemple) est conséquence du fait que toute fonction continue réelle possède une primitive.

Cela dit tu exagères christophe c, ce que tu dis revient à dire que tous les résultats de cohomologie qui existent (il y en a combien !!!) sont des cas particuliers de Brouwer.

christophe c · July 2019

Attention j'ai résumé de mon téléphone et surtout c'est un espoir , un desir disons quelsue peu étayé. En plus j'ai foiré mes exemples à cause de la fatigue du trajet (mais nous ne les avez peut être pas lus et tant mieux). Et à Max: je j'appellerais pas ça une "réduction" dans le sens où je crains que tu l'entends.

Je ne prétends AUCINEMENT que l'énoncé atomique que j'ai en ligne de mire soit prouvable dans la même consistency stregtnh que la famille des énoncés impliqués. Il se pourrait par exemple qu'il soit deductoble de AD ou même ALL Lebesgue mesurables.

Ce dont je suis persuadé c'est qu'on a une grosse famille d'énoncés de ces deux grandes familles qui disent tous à peu près la même chose sous des nuances déguisées et qu'il "manque" un truc qu'on admet pas parce qu'on le croit faux par préjugé plus que parce qu'on n'y a jamais pensé.

Et si tu me trouves inculte dis moi des énoncés simples et accessibles que la topologie algébrique aurait trouvé récemment autre que des habituelles fiertés (Lefdchetz Brouwer BUlam)?

Cela fait plusieurs fois que tu évoques que la TA ne "s'occupe plus de ça".

christophe c · July 2019

@foys sur ta dernière phrase : ce n'est pas moi c'est plutôt une extension d'une conviction d'Anatole pour le coup. Je l'ai peut-être un peu simplifiée mais lui il les connaît presque tous donc il s'exprime sur ce qu'il voit contrairement à moi.

Maxtimax · July 2019

Je ne suis pas au fait des développements les plus récents, mais un exemple qui est déjà plus récent (thèse de Serre) que Brouwer et ses amis, tu as : $\pi_k(S^n)$ est fini sauf si $k=n$ ou si $n$ est pair et $k=2n-1$; en d'autres termes : rien à voir avec Borsuk-Ulam ou Brouwer.

Ou encore un théorème (toujours de Serre il me semble) qui dit quand la $p$-torsion apparaît dans $\pi_k(S^n)$.
Après tu demandes des résultats simples et accessibles : forcément ceux-là sont vieux, car la recherche récente (dans tout domaine) est spécialisée et les résultats compréhensibles par un quidam en dehors du domaine sont extrêmement rares : ce ne sont pas eux qui forment la majeure partie d'un domaine !
En plus inaccessible et plus récent, il y a la preuve de Lurie de l'hypothèse de cobordisme; ou encore le calcul des la $K$-théorie algébrique des corps fini par Quillen (on peut débattre de s'il s'agit bien de TA, mais vu la définition de la $K$-théorie supérieure, on aurait du mal à croire que ce n'en est pas). Bien sûr ce serait long à développer et énoncer, mais à nouveau, c'est ça le principe de la recherche : on bâtit sur ce qui s'est fait avant.
Bien entendu là je n'ai cité que des gros noms et des gros théorèmes, mais il suffit de faire quelques recherches (e.g. sur arXiv, ou sur MathOverflow) pour se rendre compte que la recherche moderne en TA est (en grande partie - je dirais largement majoritaire) très loin des Brouweries; et je ne suis pas sûr que la recherche en GA en ait jamais été proche...

En bref, si tu comptes trouver "l'évidence" qui trivialise la TA et/ou la GA (je connais ton principe "tout théorème est cas particulier d'une évidence"; et je comprends -en partie du moins - ton désir de trouver une telle évidence pour différents résultats), il serait bon de se renseigner sur ce dont ces domaines parlent. Après si tu veux trivialiser juste les Brouweries, tu peux aussi, fais-toi plaisir :-D mais dans ce cas-là, le dire comme tel, et pas parler de "la TA et la GA"

christophe c · July 2019

De mon téléphone (un peu moins abruti après une nuit de repos): merci pour ces exemples. J'ai toujours été d'accord que quand une spécialité se développe elle devient ésotérique. C'est la normalité de la recherche quotidienne. (Ésotérique = réservé aux initiés)

Mais souvent on a un travail qui est fait DES DEUX COTÉS de la balance à cause des enseignements de Godel. Précisément on "fait attention" à ne pas se perdre dans une complexité apparente SANS GARANTIE qu'elle est nécessaire.

C'est là à mon sens où il existe un vrai risque de gâchis. On peut toujours postuler l'irreductibilite de cette complexité ça ne mange pas de pain mais ça ne change rien (on découvre les maths on ne les inventé pas).

Dans les cas présents et surtout en TA mon ressenti est qu'on n'a pas DU TOUT de représentants de l'autre côté (ie des gens qui cherchent à prouver des théorèmes d'irreductibilite) alors MEME qu'on a un FORT SENTIMENT que ça l'est (ie que l'ensemble de TOUS les énoncés vrais de cette catégorie est Turing équivalent à celui des equadioph ayant des solutions).

En GA c'est différent car c'est assumé que les pros cherchent du diophantien.

En variétés différentielles j'ai le vague souvenir que celles de dim4 ont une classification universelle récursivement enumerable mais c'est légèrement différent.

L'important est que tu comprennes mon désir et n'y vois qu'un pari et non un jugement. Je n'ai aucun doute que ce sont des classifications difficiles.

christophe c · July 2019

Tu parles de groupe fini d'homotopie prouvé. Mais par exemple je suis assez convaincu que si on ne les connait pas précisément (par exemple groupe trivial) c'est à cause de la complexité éreintante des outils et non à cause d'une obstruction qualitative. Et je crois pouvoir le prouver et pas qu'un peu, puisque j'ai un lemme concernant tous les compacts séparables (mais je pense en fait tous les compacts) qui en gros dit qu'on "peut savoir en temps fini" avec borne explicite (je ne parle pas des groupes d'homotopie seulement mais je pense qu'à sont inclus dedans).

Or ce que je constate quand je le prouve est qu'il detype les choses pour marcher (en gros je mélange ANS et AD, incompatibles mais je récupère validité par absoluite).

En bref je pense qu'il existe un principe abstrait de recurrence qui couvre tout ça.

Maxtimax · July 2019

Non il y a des obstructions bien réelles; et il y a des résultats de réduction/d'indécidabilité en topologie; notamment car on peut "plonger la théorie des groupes" dans l'homotopie pour des raisons évidentes.
Avec quelques recherches rapides je tombe vite sur des choses comme "the computation of rational homotopy groups is #p-hard" , ou encore "the extension problem [extension d'une application continue à un sur-complexe] is undecidable outside of the stable range, i.e. [condition sur la dimension]" ; ou encore "Indeed, by a result of Adjan and of Rabin, it is undecidable whether the fundamental group of a given finite simplicial complex Y is trivial, even if Y is assumed to be 2-dimensional" ou encore ". For each even k $\geq$ 2 it is NP-hard to decide, given simplicial complexes X and Y, where Y is k-connected and dim X = 2k, whether there is a nontrivial map X $\to$ Y ."

etc.etc. Je pourrais continuer : la recherche n'est pas en reste; et elle tend à montrer que calculer des groupes d'homotopie, ou même montrer qu'ils sont non nuls, ce n'est pas "facile" (voire "impossible", on se comprend)

christophe c · July 2019

Merci pour ces énoncés édifiants, mais as-tu des résultats de non recursive-enumerabilite? Habituellement par "indécidable" les titres entendent "non récursifs" . C'est une tradition. Or je crois qu'on sait de toute façon que le problème des noeuds est non recursif. Pour les lecteurs, en gros nos petits jeux formels avec des lettres (par essence non récursifs) se traduisent de la manière dont t tout le monde s'y attend en problemes de jeux de ficelles (à condition que ces ficelles théoriques ne cassent pas :-D mais soient élastiques). Donc on ne peut pas espérer faire mieux.

Par contre la question (selon ma.sensibilite PERDONNELLE) plus philosophique est de savoir s'il existe une question de cette nature qui ne puisse pas être traduite en équation diophantienne. "Cette nature" est un mot vague. En gros ça veut dire "le oui" et "le non" sont à distance non nulle en gros.

Maxtimax · July 2019

J'ai pas tout lu mais ce document parle de calculabilité en TA et il y a des passages sur des équa dioph donc ça pourra peut-être répondre à ta dernière question.

(par ailleurs, ici je crois que les preuves d'indécidabilité se font en simulant le problème de l'arrêt donc ça répondra à ta première question)

christophe c · July 2019

Ah mais c'est complètement génial tu es une BR à toi tout seul. En 2019 à Bagniere Luchon sous un doux soleil je prends mon téléphone et charge une thèse d'un tchèque via toi.

J'ai connu la naissance de la tele couleur quand même!!

En écho à ce que tu dis j'ai d'ailleurs une marotte: la thèse de Church. Et JUSTEMENT ma question de fond est de savoir si l'humain peut la tendre fausse à coup de TA. Et comme dit, je pense que non. Par contre tre, comme je l'ai déjà dit je pourrais bien la croire fausse un jour mais autrement. En TA l'espoir est très limité car il faudrait admettre un ensemble de transition qui ne doit pas ouvert ET fermé. Or s'il l'est et que l'espace est compact c'est dead (on a un nombre fini d'etats).

christophe c · July 2019

Et le MERCI va donc de soi!

Maxtimax · July 2019

J'ignore ce que signifie BR (Banque de Références ? ) - mais j'ai juste tapé quelques mots clés dans mon moteur de recherche et c'était pas compliqué à trouver :-D

christophe c · July 2019

Bibliothèque de recherche

claude quitté · July 2019

Coucou
Fort possible que je sois hors sujet, tant pis. Bien entendu, je ne vais pas parler de résultats importants (récents ou pas) en Géométrie Algébrique ou en Topologie Algébrique, pour la bonne raison que j'en suis incapable vu que je n'y connais rien (je sais tout de même que la GA ne se limite pas au théorème des zéros de Hilbert). Il en serait de même en Algèbre commutative, un domaine que je connais un peu mieux.

Alors ? Je vais juste parler d'un truc que j'ai cotoyé. En citant un énoncé que je comprends (j'aime bien les énoncés que je comprends, pas vous ?). Il s'agit du nombre maximum de champs de vecteurs linéairement indépendants sur les sphères. C'est du vieux (début des années 1960). Après tout, Isabel Vogt in http://www.mit.edu/~ivogt/VectorFieldsonSpheres.pdf page 2 parle de ``one of the first big successes of $K$-theory'' (je confesse : je ne sais pas ce qu'est la $K$-théorie mais on s'en fiche ici). Et puis c'est l'occasion de mentionner J.F. Adams, un des fondateurs de l'homotopie si l'on en croit https://fr.wikipedia.org/wiki/Frank_Adams. Et qui a écrit un certain nombre d'ouvrages, cf http://www.google.com/search?client=safari&rls=en&q=J.F.+Adams&ie=UTF-8&oe=UTF-8

Dans l'introduction attachée ci-dessous, on voit de quoi cause le théorème d'Adams avec le nombre $\alpha_n = 8d + 2^c - 1$ attaché à $n = \text {impair} . 2^c . 16^d$ (et pas $n = \text {impair} . 2^c . 8^d$ comme écrit la première fois, merci GBZM) avec $0 \le c < 4$, qui représente le nombre maximum de champs de vecteurs sur la sphère $S^{n-1}$ (attention pas $S^n$) linéairement indépendants en tout point. Si bien par exemple que sur toute sphère de dimension paire, tout champ de vecteurs (sous-entendu continu) s'annule (eh oui, si $n-1$ est pair, c'est que $n$ est impair, donc $c=d=0$ et $\alpha_n = 0$).

Le résultat d'Adams est prouvé dans l'ouvrage (1966, 300 pages) Fibre Bundles de Husemoller. C'est un ouvrage qui mêle topologie algébrique, $K$-théorie, algèbre (Clifford algebras) ...etc.. La preuve du théorème d'Adams arrive à la fin de la partie II (chapitre 15, page 203).

Anecdote : je m'étais inspiré de Husemoller en ce qui concerne la partie facile (exhiber les $\alpha_n$ champs de vecteurs) pour fabriquer l'épreuve (la petite, celle de 4h) de Lyon 91 mais j'ai perdu toutes mes notes. Il n'y avait évidemment ni algèbre de Clifford ni produit tensoriel. L'an dernier, j'ai pris 5 minutes pour essayer, à partir de Husemoller et Isabel Vogt, de retrouver mon cheminement mais je n'y suis pas arrivé ! J'en ai déduit deux leçons : en 5 minutes, on ne peut pas faire grand chose (bémol : je ne suis pas capable de ..). La seconde leçon, c'est que je vieillis. Quand je dis que j'ai tout perdu : y compris le corrigé. J'ai cherché sur le net sans succès. Le fortiche en recherche sur la toile, j'ai nommé Gai-Requin, a quand même retrouvé l'épreuve. J'attache.

Ajout : Dieudonné, dans son Panorama des mathématiques pures, le choix Bourbachique, ne parle pas du résultat d'Adams. Enfin pas vu. Alors peut-être que ce n'est pas important ou que c'est du petit lait ? OUPS : faux, il en parle, cf à la fin. Dans Abrégé d'Histoire des Mathématiques, tome II, le théorème d'Adams est mentionné en bas de la page 235 dans une section ``Champ de vecteurs''.

Quitte à être décousu, je parle d'autre chose. Rien à voir donc. Il s'agit du lien entre le problème du mot dans les semi-groupes & groupes et la topologie algébrique. Voici ce que dit le malicieux D.J. Collins in https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256044631

In my experience, many topologists suffer acute anxiety when it occurs to them that some fundamental group they are working with may have unsolvable word problem. One form of therapy I have known to be employed is to say that groups with unsolvable word problems are monstrous, complicated objects and that no-one could ever write one down in his lifetime. The object of this note is to deny even this succour by giving, in a modest amount of space and in complete detail, a group presentation with unsolvable word problem. As will be apparent, such an example exists, implicitly, in the literature and this article simply makes the example explicit.

Note : j'ai un faible pour le semi-groupe de Céjtin (j'en ai déjà parlé) à 5 générateurs, 7 relations, qui figure en bas de la page 231.
It's all. Sorry d'avoir parlé de ``l'intérieur'' (en particulier de mézigue) et pas de ``l'extérieur''.

OUPS Dieudonné en parle dans son Choix Bourbachique à la page 24 et cite le théorème d'Adams (et dans la bonne section, Topologie algébrique et différentielle, comment ai-je pu louper le truc ?). Et Adams est mentionné page 29 parmi les ``initiateurs'' (théorie des variétés ...etc..). D'autre part le résultat d'Adams a été exposé en 1962 au séminaire Bourbaki par Bernard Morin. http://www.numdam.org/article/SB_1961-1962__7__163_0.pdf. De nos jours, rien de tel que la toile pour retrouver ses billes. 88862

GaBuZoMeu · July 2019

Claude, dans l'écriture de $n$ c'est $16^d$ et pas $8^d$.

claude quitté · July 2019

@GBZM Vu et merci. Ca fait pas sérieux. J'ai corrigé de manière bien visible.

christophe c · July 2019

Un immense merci. Je suis en Espagne. De mon téléphone.

Pour l'heure on semble "d'accord" que on semble parvenir "à peu près" à faire équivaloir dans les deux sens questions de TA et équations diophantiennes ceci etant dû à l'intuition que on peut VOIR des contre exemples quand ils existent

Mais cette dernière remarque de comptoir que je fais s'applique surtout aux courbes lisses se baladant dans des espaces IR^n avec n pas trop grand.

Pour n grand enfin pour tout n je ne sais pas si on dispose d'un algo intuitif ou formel qui dit "quand le problème est global et ne pose de souci local alors on peut lui faire correspondre une équation diophantienne (ie une question semi décidable)"?

christophe c · July 2019

De mon téléphone:

QUEDTION 1077: existe g il un énoncé "indubitablement TA" (c'est la partie vague de la question) dont on puisse prouver qu'il est équivalent à P=NP?

christophe c · August 2019

Question 1078: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,1850640,page=9#msg-1850640

christophe c · August 2019

Question 1079 (annule et remplace la 1078)

K corps, n entiers naturel et E sous espace VECTORIEL de F:=Mn(K) ne rencontrant pas GLn(K)

Existe t il forcément deux sev U,V de K^n (édit et non pas de F) avec dimU>dimV tels que tout élément A de E envoie U dans V?

Le cas où dimE=2 est résolu par oui sur le forum récent.

marco · August 2019

Est-ce que $U$ et $V$ ne sont pas plutôt deux sev de $K^n$ (et pas de $F$) ?

christophe c · August 2019

Ah oui merci beaucoup Marco, erreur de frappe de ma part!!!

marco · August 2019

Si $\dim E=2$ et si $K$ est de cardinal $>n$, alors, il existe deux matrices $A$ et $B$ telles que $E=KA+KB$. Comme $E \cap GL_n(K)=\emptyset$, on a $\det(A+\lambda

=0$ pour tout $\lambda \in K$.

On choisit alors $n+1$ éléments distincts de $K$: $\lambda_1, \dots,\lambda_{n+1}$. Pour tout $i$, $A+\lambda_i B$ n'est pas inversible, donc il existe $x_i \in K^n$, avec $x_i \neq 0$ tel que $A(x_i)+\lambda_i B(x_i)=0$.
Comme $\dim K^n=n$, les $x_1, \dots, x_{n+1}$ sont liés. Soit $L$ une sous-famille liée minimale de $(x_1,\dots, x_{n+1})$.
Par exemple, $L=(x_1, \dots, x_{k+1})$. Alors $(x_1,\dots, x_k)$ est une famille libre (par minimalité de $L$), et il existe $\alpha_1, \dots, \alpha_k \in K$, tous non nuls (par minimalité), tels que $x_{k+1}=\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i$.

Alors, on a $A(x_{k+1})=\sum_{i=1}^k\alpha_i A(x_i)=-\sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_i B(x_i)$

D'autre part, $A(x_{k+1})=-\lambda_{k+1} B(x_{k+1})=-\sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_{k+1} B(x_i)$.

Donc, $\sum_{i=1}^k \alpha_i (\lambda_{k+1}-\lambda_i) B(x_i)=0$.

Comme les $\alpha_i$ sont non nuls, et les $\lambda_i$ distincts, on déduit que la famille $(B(x_1), \dots, B(x_k))$ est liée.

Donc $\dim Vect(B(x_1), \dots, B(x_k))<k=\dim Vect(x_1, \dots, x_k)$.
De plus $Vect(A(x_1), \dots, A(x_k)) \subset Vect(B(x_1), \dots, B(x_k))$.

Donc on choisit $U=Vect(x_1, \dots, x_k)$ et $V=Vect(B(x_1), \dots, B(x_k))$

marco · August 2019

J'ai posté la solution pour $\dim E=2$, car je ne l'ai pas trouvée sur le forum.

christophe c · August 2019

Tu me fais penser à la légende du Roi Arthur. En fait, ce truc à fait bavarder.plein de gens, dont moi, et donné lieu à un amusant fil.

Et toi tu arrives, prends l'épée naturellement... :-D avec une solution élémentaire basique.

marco · August 2019

Effectivement, je n'avais pas fait le lien avec le fil "Preuves avec des notations incompréhensibles"...:-D

christophe c · October 2019

[size=x-large]Question 1081[/size]

christophe c · October 2019

La question qui suit est posée par Martial.

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Question 1082

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Foys · November 2019

Question 1083
Bob joue au jeu suivant: il a une liste finie d'entiers $L (n_0,...,n_d)$ (la concaténation des listes $a,b$ sera notée $a++b$ dans la suite): il choisit un indice $k<d$ tel que $n_k > n_{k+1}$ et:
-si $n_{k+1}\geq 1$, $L$ est remplacée par $(n_1,...,n_{k-1},n_{k+1},n_k,n_{k+2} ... n_d)$ (i.e. $n_k$ et $n_{k+1}$ sont échangés, les autres termes restent en place)
-si $n_{k+1}=0$, $L$ est remplacée par l'une des listes suivantes au choix (en notant $a:=(n_0,n_1,...,n_{k-1})$ et $b:= (n_{k+2},...,n_d)$, de sorte que $L=a++(n_k,0) ++b$)
(i) $a ++ (0) ++ b$
(ii) $a ++ (0,p) ++ b$ où $p\in \N$ est quelconque
(iii) $a ++ (0,q,q+1) ++ b$ où $q \geq 1$.

Ensuite il recommence avec la liste nouvellement obtenue.
Bob perd si aucun coup n'est possible (i.e. si la liste est classée dans l'ordre croissant).

Question: existe-t-il des listes de départ telles que Bob peut jouer indéfiniment?
(edit: résolu !!)

christophe c · November 2019

Merci Foys. Accepterais-tu de nous dire l'origine de cet arbre (dont tu demandes s'il est bien fondé) ?

Foys · November 2019

Cet arbre apparaît dans une tentative de preuve simple du théorème de standardisation (si un terme de logique combinatoire admet ne forme normale, elle est atteinte en réduisant systématiquement le rédex le plus à gauche de l'arbre). Bon, l'idée ne marche pas (l'exo ci-dessus admet des contre-exemples assez élémentaires).

christophe c · December 2019

[size=x-large]Question 1084[/size]

marco · December 2019

1084: On raisonne par contraposée. Soit $F$ le compactifié de Stone-Cech de $E$. Si $E$ n'est pas compact, alors $F \neq E$. Donc, il existe $x \in F \setminus E$. Pour tout ouvert $V$ de $F$, contenant $x$, soit $O_V=(F \setminus \overline{V}) \cap E$, ouvert de $E$. Alors, comme le compactifié $F$ est séparé (à vérifier), la famille des $(O_V)$ recouvre $E$ ($V$ décrivant l'ensemble des ouverts de $F$ contenant $x$).
Pour tout $V$ ouvert de $F$ contenant $x$, $O_V \cap V =\emptyset$ (à vérifier)
Pour toute famille finie d'ouverts $(V_1, \dots, V_n)$ de $F$ contenant $x$, $O_{V_1} \cup \dots \cup O_{V_n}$ ne rencontre pas $V_1 \cap \dots \cap V_n$. Or $x$ est dans l'adhérence de $E$, donc $(V_1 \cap \dots \cap V_n) \cap E \neq \emptyset$. Soit $y \in (V_1 \cap \dots \cap V_n) \cap E$, alors $y \notin \overline{ O_{V_1} \cup \dots \cup O_{V_n}}$.
Donc, on ne peut pas extraire de la famille des $(O_V)$ une famille finie dont l'adhérence recouvre $E$.

christophe c · December 2019

@marco, merci. Mais:

Ton argument est celui que j'ai donné dans le fil en lien, mais je pense que tout est dans "le compactifié de SC est séparé".

Dans l'autre fil, pour un ultrafiltre ne convergeant pas $W$, ton admission de la séparation du compactifié de SC a comme cas particulier qu'il existe deux ouverts $U,V$ disjoints avec $U\in W$ et $b\in V$. Or c'est toute la question justement.

"Il est facile de 2"

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