Pardon, consultant mon mail, je viens de trouver cette question envoyée en MP: Je n'arrive même plus à me rappeler si j'avais déjà répondu à l'auteur. Je la numérote :
[large]Question 1107[/large]
Si tu peux le proposer en question 1157 ou X de ton forum "il est facile de" (à Ulm, il ont vu les ultraproduits, peut-être que Calli pourra répondre).
[size=medium]Soit $I$ un ensemble dénombrable, et $D$ un ultrafiltre sur $I$.
Pour chaque $i \in I$, soit $M_i$ une $L$-structure finie, et soit $M^* = \prod_{i \in I} M_i / D$.
Montrer que $\lvert M^* \rvert$ est finie, ou bien égale à $2^{\aleph_0}$.[/size]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai vu un de tes exposés, cela ne se voit pas (Asperger sûrement).
(J'évite de trop m'épancher sur le sujet sinon AD va fermer la discussion, je souffre moi même d'une maladie congénitale qui m'a bien compliquée la vie et qui me la complique toujours... C'est un peu l'axiome de base de mes problèmes de santé, psychiques ou autres).
[small][small]:-D Pardon, c'était plusune façon de parler, je ne suis "qu'un peu" autiste (sans adjectif) et le diagnostic est "auto" plus que médical au sens où les rares fois où j'en ai parlé c'était "comme ça", les psys m'ont proposé des parcours pour vérifier et la flemme... En tout cas, ce n'est pas très prononcé, ça se voit plus en visitant mon compte en banque, ma cuisine, la mémoire de mon pc ou mon apart qu'en me regardant parler :-D[/small][/small]
Je suis sur mon pc, je te rédige la chose que tu demandais 1157:
Hypothèses: $f:\N\to \N$ et $W$ ultrafiltre sur $\N$. On s'intéresse à $S:=\{g\in \N\to \N \mid \forall^W p: f(p)\leq f(n) \}$ quotienté par le blabla que tu sais et je note $U$ l'image de $W$ par $f$ au sens des ultrafiltres, ie $X\in U$ ssi $\{x\mid f(x)\in X\}\in W$.
Si tu supposes $U$ trivial, c'est terminé et gagné et sinon, en notant $h_x: q \in \N\mapsto PartieEntiere(q\times x)$, tu as que $x\mapsto h_x\circ f$ est une injection de $[0,1]$ dans $S$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour 1108, je ne sais pas mais au musée des horreurs il y a le sous anneau $\mathbf H$ ("quaternions") des matrices de $M_2(\C)$ de la forme $\begin{pmatrix}a & b \\ -\overline b & \overline a \end{pmatrix}$ avec $a,b$ complexes. Bien sûr c'est un corps (le déterminant de la matrice ci-dessus vaut $|a|^2 + |b| ^2$ et les inverses se calculent avec une formule dont tu as dit que tu la connaissais).
Dans $\mathbf H$, le polynôme $X^2+1$ a une infinité de racines (il y a tous les conjugués de $\begin{pmatrix} i & 0 \\ -0 & -i \end{pmatrix}$ par exemple).
Bref les polynômes non commutatifs c'est pas vraiment ça.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
[large]Question 1109 :[/large]existe-t-il un cardinal $k$ tel que pour tout ordre total complet $(E,\leq)$, il existe deux parties adjacentes $(A,B)$ de $E$ vérifiant : $max(card(A),card(B)) <k$?
En précisant que $A,B$ adjacentes signifie (1) et (2) avec:
(1) $\forall x\in A\forall y\in B: x<y$
(2) $\{t\in E\mid \forall x\in A\forall y\in B: x\leq t\leq y\}$ contient au plus un élément
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
$A$ un anneau commutatif ordonné est un anneau où il existe une partie $P$ telle que $-P=\{-x|x \in P\},\{0\}, P$ est une partition de $A$ et $P$ est stable par somme et par produit.
On note alors $x <_A y := y-x \in P$ et $x \leq_A y:= x<_A y \vee x = y$. On vérifie immédiatement que $\leq_A$ est une relation d'ordre total sur $A$ compatible avec les opérations et que $A$ est un anneau intègre (digression: $frac (A)$ est muni d'une structure de corps ordonné (en définissant alors $P':= \left \{ \frac x y \mid xy \in P\right \}$) prolongeant celle définie par $P$ (ce procédé fournit un moyen effectif de construire des corps ordonnés).
Soit donc $(A,P)$ ordonné comme précédemment. Alors sur $A[X]$ on note $n(P)$ l'ensemble des polynômes non nuls de $A[X]$ dont le coefficient non nul de plus petit degré est dans $P$. On vérifie que $(A[X],n(P))$ est ordonné comme ci-dessus, que $A$ s'injecte de façon croissante dans $A[X]$ pour cet ordre et que pour tous $a,b\in A[X]$ distincts, $\N$ s'injecte dans $]a,b[$ (en fait $X$ est "infiniment petit").
Donc soit $A_0:= \Z$ (muni de l'ordre usuel, obtenu avec $P_0:=\N$). On définit une famille d'anneaux ordonnés par induction de la façon suivante: si $\alpha$ est un ordinal, si $\alpha =\beta \cup \{\beta\}$ on pose $A_{\alpha}:= A_{\beta} [X]$ et $P_{\alpha}:= \nu \left ( P_{\beta}\right )$ et sinon si $\alpha$ est limite, on pose $A_{\alpha} = \lim \limits_{\rightarrow} \left (A_{\gamma}, P_{\gamma} \right )$ où $\gamma <\alpha$ (limite inductive; en fait $A_{\alpha}$ s'identifie à la réunion de ces anneaux).
Soit $\kappa$ un cardinal régulier (il en existe d'arbitrairement grands) et $a<b$ dans $A_{\kappa}$. Si $\lambda < \kappa$ et si une famille décroissante $(x_i)_{i\in \lambda}$ appartient à $]a,b[$, alors il existe $\mu: \lambda \to \kappa$ tel que $x_i \in A_{\mu(i)}$.
$\mu$ est bornée par un $\theta<\kappa$ et si on note$A_{\theta+1} =: A_{\theta}[X_{\theta}]$, $a+X_{\theta}$ minore strictement la famille $(x_i)_{i \in I}$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En même temps on peut considérer l'ensemble $B_{\kappa}$ des parties $S$ de $A_{\kappa}$ telles que pour tous $x, y\in A_{\kappa}$, si $x<y$ et $y\in S$ alors $x\in S$ (comme les coupures de Dedekind; $A_{\kappa}$ s'identifie à une partie dense de cet ordre avec le plongement $u\in A_{\kappa} \mapsto \{y\in A_{\kappa} \mid y < x\}$). $B_{\kappa}$ est complet bien sûr.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
C'est lors de la complétion que les choses ne sont pas évidentes. Qu'appelles-tu "k-saturé"?
Un fois complet, tu as des tas d'éléments borne sup de suites ou bornes inf de suites. La question porte sur le fait de trouver un élément qui serait à la fois borne sup d'un petit petit ensemble et aussi borne inf d'un petit ensemble. Je n'ai pas regardé de près, on voit bien le genre de constructions qui peuvent aboutir, le problème étant qu'il faut se poser et les mener au bout pour les faire aboutir.
D'où publication de cette question ici.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
La question suivante ne doit pas être confondue avec http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2154456 où j'ai fini par changer de définition pour le mot "mériter d'avoir une solution" (qui n'est plus la non constance, mais le fait d'en avoir une dans au moins une extension)
[large]Question 1110 :[/large] existe-t-il un corps non commutatif où tout polynôme non contant est surjectif?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Soit $K$ un corps commutatif. On suppose que pour toute suite $f$ d'applications polynomiales telles que $\forall n: f_n: K^{n+1}\to K^n$, il existe une suite $u$ telle que $\forall n : f_n(u_{n+1}) = u_n\in K^n$.
Est-ce qu'alors, forcément, $K$ est algébriquement clos?
[large]Question 1114 :[/large]
Soit $K$ un "corps" pas forcément commutatif. On suppose que pour toute suite $f$ d'applications polynomiales telles que $\forall n: f_n: K^{n+1}\to K^n$, il existe une suite $u$ telle que $\forall n : f_n(u_{n+1}) = u_n\in K^n$.
Est-ce qu'alors, forcément, $K$ est est tel que toute équation algébrique ayant une solution dans une extension de $K$ en a une dans $K$?
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@christophe c: Je voulais dire $\kappa$-saturé au sens où pour deux ensembles $A,B$ avec $card(A),card(B)<\kappa$ et $A<B$, il existe $y$ avec $A<y<B$. Le problème est que tu laisses la possibilité d'avoir des ensembles adjacents de la forme $A,\{\sup A\}$, ce qui donne une réponse positive pour tous les cardinaux non nuls. Si tu interdis que $A$ ait un maximum ou que $B$ ait un minimum, alors on peut prendre, un cardinal $\kappa \geq \aleph_0$ étant donné, un ordre $\kappa$-saruté et dense $E$. Alors étant donné $(A,B)$ avec $A,B$ adjacents et $card(A),card(B)<\kappa$, puisque le plongement de $E$ dans son complété est dense, on peut trouver $A',B' \subseteq E$ qui "réalisent la même coupure" et qui sont de mêmes cardinaux, ce qui contredit la saturation; c'est ça que je voulais dire.
Pour les histoires de corps non commutatifs je me rends compte que je ne connais quasiment pas d'exemples intéressants. Je vais poster un fil dans la section algèbre pour en recueillir.
Merci Palabra, je suis d'accord que mon énoncé buggue en autorisant des choses non voulues avec les singletons. J'aurais dû dire qu'on se limite aux couples où $A$ n'a pas de maximum et $B$ n'a pas de minimum.
Là où je ne te capte pas trop bien, c'est dans ta phrase "tu réalises la même coupure". En effet, pour un contre exemple on souhaite prouver un :
"pour toute coupure blabla***"
La densité et ce qui est vérifié dans le sous ordre dense pour toutes ses coupures à lui ne suffit pas de manière évidente à l'assurer pour toutes les nouvelles coupures. Je ne dis pas que ça ne peut pas se faire de manière non évidente pour autant.
*** blabla := l'un des deux côtés au moins a une forte cofinalité (je le dis comme ça à toi, car je pense que tu comprends)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je prends la version où $A$ doit être sans max et $B$ doit être sans min. Un cardinal $\kappa>\aleph_0$ étant donné, on se place dans le complété $\widetilde{E}$ d'un ordre total dense $E$ qui est $\kappa$-saturé. Je vois $\widetilde{E}$ comme l'ensemble des parties $\leq$-initiales de $E$, muni de l'inclusion. Le plongement naturel $\varphi:E\longrightarrow \widetilde{E}$ est dense, car pour deux parties $\leq$-initiales $I,J$ de $E$ avec $I\subsetneq J$, on a un $x \in E$ avec $x \in J\setminus I$, et donc $x>I$ par initialité de $I$, donc $I\subsetneq\varphi(i)\subsetneq J$.
Supposons qu'il existe $A,B$ adjacents dans $\widetilde{E}$ avec $card(A),card(B)<\kappa$. Puisque $E$ est dense dans $\widetilde{E}$, pour chaque $a<a'$ dans $A$, on peut choisir un $a''$ dans $E$ avec $a<a''<a'$. Je note $A_0$ l'ensemble des tels $a''$. De sorte que $A_0$ est un sous-ensemble de $E$ de cardinal $\leq card(A)$. On fait la même chose pour $B$, obtenant un ensemble $B_0$. Pour tout $a$ dans $A$, il existe $a'$ dans $A$ avec $a<a'$ et donc il existe $a''$ dans $A_0$ avec $a<a''$. Même chose pour $B$, et on a bien $A_0<B_0$ car on a $A_0<B$ et $B$ coinitial par rapport à $B_0$. Enfin $A_0$ et $B_0$ sont bien adjacents car on a l'équivalence $\forall y \in \widetilde{E},(A<y<B\longleftrightarrow A_0<y<B_0)$. Mais comme $E$ est $\kappa$-saturé, on a en fait déjà plusieurs éléments $z$ dans $E$, et donc dans son complété, avec $A_0<z<B_0$, donc $A<z<B$. Cela contredit la supposition que $A$ et $B$ sont adjacents.
Bravo et merci à toi. En plus tu viens d'illustrer à quel point une simple "coquille" qui "ne change pas la compréhension intuitive d'une question peut en changer ... la réponse!!!
Cette question concerne les anneaux commutatifs unitaires.
Un idéal est dit fiable quand il a propriété suivante: chaque fois qu'il contient (comme sous-ensemble) une intersection d'un nombre fini d'idéaux principaux, il contient l'un d'entre eux.
Construire un anneau où l'intersection de tous les idéaux fiables n'est pas nulle.
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Un compact $E$ sera dit bleu s'il a la propriété suivante: pour tout entier $n$ et toute application continue $f: E^n\to E^n$, il existe $x\in E^n: f(x)=x$.
On ne suppose pas l'axiome du choix.
Soit $A$ un ensemble dont tous les éléments sont des compacts bleus. Existe-t-il forcément une fonction $f$ définie sur $A$ telle que pour tout $E\in A$, l'ensemble $f(E)$ est une partie ni vide, ni pleine de $E$?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
T'as raison. La prochaine fois je lui dirais aussi que la réponse est tellement triviale que je le laisse chercher pour ne pas lui gâcher le plaisir, comme il aime bien le faire lui-même B-)- (en plus c'est vrai que c'était pas très dur de trouver là).
[large]Question 1118 :[/large]est-ce que pour tout cardinal $a$, il existe un cardinal $b$ tel que pour tout anneau commutatif unitaire $A$ :
si tout ensemble totalement ordonné par l'inclusion d'idéaux de $A$ est de cardinal $<a$ alors le cardinal des idéaux premiers minimaux dans $A$ est $<b$?
Alors je précise, c'est vrai (grands cardinaux utilisés) mais la question précise est de borner $b$ en fonction de $a$ dans ZFC seul sans grand cardinaux.
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soit $E$ un espace compact et $n$ un entier. On dit que $E$ est $n$-ok quand il existe $S\subset P(E)$ tel que $S$ engendre la topologie de $E$ et tout recouvrement par des éléments de $S$ contient un sous-recouvrement de cardinal $n$. On note $ccdim(E)$ le plus petit $n$ tel que $E$ soit $n$-ok, s'il existe.
1119.1/ Calculer les $ccdim$ des hypercubes $[0,1]^n$ de $\R^n$
1119.2/ Construire un compact qui n'a pas de ccdim finie.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Euuu si si pardon, excuse-moi, c'est que j'ai eu le réflexe de mettre "question". Je pense savoir prouver que la réponse est que ça ne peut pas exister, mais je t'avoue que je n'ai pas rédigé, des erreurs sont possibles.
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Réponses
[large]Question 1107[/large]
Merci.
Wlog I= IN
Dans chaque Mn tu indices ses IN premiers éléments (ou moins) en comptant binaire
Dans ultrapuissance ou bien ça s'arrête (fini) ou bien l'indicage apparaît comme l'instant toutes les suites de 0 et de 1.
L'écriture décimale marche aussi.
WLOG tu as une fonction f de IN dans IN.
Ton ultrafiltre est un entier virtuel n.
Si f(n) est fini bin c'est réglé.
Sinon tu as l'injection suivante de [0,1] dans f(n) :
x |
> partie entière de (x fois f(n))
(J'évite de trop m'épancher sur le sujet sinon AD va fermer la discussion, je souffre moi même d'une maladie congénitale qui m'a bien compliquée la vie et qui me la complique toujours... C'est un peu l'axiome de base de mes problèmes de santé, psychiques ou autres).
Je suis sur mon pc, je te rédige la chose que tu demandais 1157:
Hypothèses: $f:\N\to \N$ et $W$ ultrafiltre sur $\N$. On s'intéresse à $S:=\{g\in \N\to \N \mid \forall^W p: f(p)\leq f(n) \}$ quotienté par le blabla que tu sais et je note $U$ l'image de $W$ par $f$ au sens des ultrafiltres, ie $X\in U$ ssi $\{x\mid f(x)\in X\}\in W$.
Si tu supposes $U$ trivial, c'est terminé et gagné et sinon, en notant $h_x: q \in \N\mapsto PartieEntiere(q\times x)$, tu as que $x\mapsto h_x\circ f$ est une injection de $[0,1]$ dans $S$.
Dans $\mathbf H$, le polynôme $X^2+1$ a une infinité de racines (il y a tous les conjugués de $\begin{pmatrix} i & 0 \\ -0 & -i \end{pmatrix}$ par exemple).
Bref les polynômes non commutatifs c'est pas vraiment ça.
[large]Question 1109 :[/large] existe-t-il un cardinal $k$ tel que pour tout ordre total complet $(E,\leq)$, il existe deux parties adjacentes $(A,B)$ de $E$ vérifiant : $max(card(A),card(B)) <k$?
En précisant que $A,B$ adjacentes signifie (1) et (2) avec:
(1) $\forall x\in A\forall y\in B: x<y$
(2) $\{t\in E\mid \forall x\in A\forall y\in B: x\leq t\leq y\}$ contient au plus un élément
$A$ un anneau commutatif ordonné est un anneau où il existe une partie $P$ telle que $-P=\{-x|x \in P\},\{0\}, P$ est une partition de $A$ et $P$ est stable par somme et par produit.
On note alors $x <_A y := y-x \in P$ et $x \leq_A y:= x<_A y \vee x = y$. On vérifie immédiatement que $\leq_A$ est une relation d'ordre total sur $A$ compatible avec les opérations et que $A$ est un anneau intègre (digression: $frac (A)$ est muni d'une structure de corps ordonné (en définissant alors $P':= \left \{ \frac x y \mid xy \in P\right \}$) prolongeant celle définie par $P$ (ce procédé fournit un moyen effectif de construire des corps ordonnés).
Soit donc $(A,P)$ ordonné comme précédemment. Alors sur $A[X]$ on note $n(P)$ l'ensemble des polynômes non nuls de $A[X]$ dont le coefficient non nul de plus petit degré est dans $P$. On vérifie que $(A[X],n(P))$ est ordonné comme ci-dessus, que $A$ s'injecte de façon croissante dans $A[X]$ pour cet ordre et que pour tous $a,b\in A[X]$ distincts, $\N$ s'injecte dans $]a,b[$ (en fait $X$ est "infiniment petit").
Donc soit $A_0:= \Z$ (muni de l'ordre usuel, obtenu avec $P_0:=\N$). On définit une famille d'anneaux ordonnés par induction de la façon suivante: si $\alpha$ est un ordinal, si $\alpha =\beta \cup \{\beta\}$ on pose $A_{\alpha}:= A_{\beta} [X]$ et $P_{\alpha}:= \nu \left ( P_{\beta}\right )$ et sinon si $\alpha$ est limite, on pose $A_{\alpha} = \lim \limits_{\rightarrow} \left (A_{\gamma}, P_{\gamma} \right )$ où $\gamma <\alpha$ (limite inductive; en fait $A_{\alpha}$ s'identifie à la réunion de ces anneaux).
Soit $\kappa$ un cardinal régulier (il en existe d'arbitrairement grands) et $a<b$ dans $A_{\kappa}$. Si $\lambda < \kappa$ et si une famille décroissante $(x_i)_{i\in \lambda}$ appartient à $]a,b[$, alors il existe $\mu: \lambda \to \kappa$ tel que $x_i \in A_{\mu(i)}$.
$\mu$ est bornée par un $\theta<\kappa$ et si on note$A_{\theta+1} =: A_{\theta}[X_{\theta}]$, $a+X_{\theta}$ minore strictement la famille $(x_i)_{i \in I}$.
Un fois complet, tu as des tas d'éléments borne sup de suites ou bornes inf de suites. La question porte sur le fait de trouver un élément qui serait à la fois borne sup d'un petit petit ensemble et aussi borne inf d'un petit ensemble. Je n'ai pas regardé de près, on voit bien le genre de constructions qui peuvent aboutir, le problème étant qu'il faut se poser et les mener au bout pour les faire aboutir.
D'où publication de cette question ici.
[large]Question 1110 :[/large] existe-t-il un corps non commutatif où tout polynôme non contant est surjectif?
$A$ est un anneau unitaire, pas forcément commutatif.
$M$ est une matrice à coefficient dans $A$ avec 9 lignes et 8 colonnes.
Etant donné trois colonnes de mêmes tailles U,V,W on note $\phi(U,V,W)$ la somme des $U_iV_iW_i$.
Existe-t-il forcément deux colonnes $a,b$ avec 9 cases, aucune n'étant nulle, telles que pour toute colonne $c$ de $M$, on a:
$$ \phi(a,c,b)=0$$
Evidemment, vous l'aurez compris, j'ai utilisé $8,9$ en lieu et place de $n,n+1$ pour vous faire gagner en antistress de lecture.
Existe-t-il un cardinal $k$ tel que tout espace de Hilbert puisse être recouvert par strictement moins de $k$ de ses parties discrètes?
(J'espère que ce n'est pas une redite, ma sénilité a progressé)
Soit $K$ un corps commutatif. On suppose que pour toute suite $f$ d'applications polynomiales telles que $\forall n: f_n: K^{n+1}\to K^n$, il existe une suite $u$ telle que $\forall n : f_n(u_{n+1}) = u_n\in K^n$.
Est-ce qu'alors, forcément, $K$ est algébriquement clos?
[large]Question 1114 :[/large]
Soit $K$ un "corps" pas forcément commutatif. On suppose que pour toute suite $f$ d'applications polynomiales telles que $\forall n: f_n: K^{n+1}\to K^n$, il existe une suite $u$ telle que $\forall n : f_n(u_{n+1}) = u_n\in K^n$.
Est-ce qu'alors, forcément, $K$ est est tel que toute équation algébrique ayant une solution dans une extension de $K$ en a une dans $K$?
Pour les histoires de corps non commutatifs je me rends compte que je ne connais quasiment pas d'exemples intéressants. Je vais poster un fil dans la section algèbre pour en recueillir.
Là où je ne te capte pas trop bien, c'est dans ta phrase "tu réalises la même coupure". En effet, pour un contre exemple on souhaite prouver un :
La densité et ce qui est vérifié dans le sous ordre dense pour toutes ses coupures à lui ne suffit pas de manière évidente à l'assurer pour toutes les nouvelles coupures. Je ne dis pas que ça ne peut pas se faire de manière non évidente pour autant.
*** blabla := l'un des deux côtés au moins a une forte cofinalité (je le dis comme ça à toi, car je pense que tu comprends)
Supposons qu'il existe $A,B$ adjacents dans $\widetilde{E}$ avec $card(A),card(B)<\kappa$. Puisque $E$ est dense dans $\widetilde{E}$, pour chaque $a<a'$ dans $A$, on peut choisir un $a''$ dans $E$ avec $a<a''<a'$. Je note $A_0$ l'ensemble des tels $a''$. De sorte que $A_0$ est un sous-ensemble de $E$ de cardinal $\leq card(A)$. On fait la même chose pour $B$, obtenant un ensemble $B_0$. Pour tout $a$ dans $A$, il existe $a'$ dans $A$ avec $a<a'$ et donc il existe $a''$ dans $A_0$ avec $a<a''$. Même chose pour $B$, et on a bien $A_0<B_0$ car on a $A_0<B$ et $B$ coinitial par rapport à $B_0$. Enfin $A_0$ et $B_0$ sont bien adjacents car on a l'équivalence $\forall y \in \widetilde{E},(A<y<B\longleftrightarrow A_0<y<B_0)$. Mais comme $E$ est $\kappa$-saturé, on a en fait déjà plusieurs éléments $z$ dans $E$, et donc dans son complété, avec $A_0<z<B_0$, donc $A<z<B$. Cela contredit la supposition que $A$ et $B$ sont adjacents.
Je n'avais même pas encore fait l'edit de cette coquille la considérant comme pas grave
Cette question concerne les anneaux commutatifs unitaires.
Un idéal est dit fiable quand il a propriété suivante: chaque fois qu'il contient (comme sous-ensemble) une intersection d'un nombre fini d'idéaux principaux, il contient l'un d'entre eux.
Construire un anneau où l'intersection de tous les idéaux fiables n'est pas nulle.
Un compact $E$ sera dit bleu s'il a la propriété suivante: pour tout entier $n$ et toute application continue $f: E^n\to E^n$, il existe $x\in E^n: f(x)=x$.
On ne suppose pas l'axiome du choix.
Soit $A$ un ensemble dont tous les éléments sont des compacts bleus. Existe-t-il forcément une fonction $f$ définie sur $A$ telle que pour tout $E\in A$, l'ensemble $f(E)$ est une partie ni vide, ni pleine de $E$?
soit $A$ un anneau commutatif topologique (ie ses opérations sont continues) qui n'est pas unitaire, et qui est compact.
Existe-t-il forcément dans $A$ un élément $e$ tel que $A=(e)$?
Non. Exemple : $(2\Bbb Z/4\Bbb Z)^2$.
Et ne me martyrisez pas, je suis un vieux bonhomme fragile, hein... ;-)
si tout ensemble totalement ordonné par l'inclusion d'idéaux de $A$ est de cardinal $<a$ alors le cardinal des idéaux premiers minimaux dans $A$ est $<b$?
Alors je précise, c'est vrai (grands cardinaux utilisés) mais la question précise est de borner $b$ en fonction de $a$ dans ZFC seul sans grand cardinaux.
soit $E$ un espace compact et $n$ un entier. On dit que $E$ est $n$-ok quand il existe $S\subset P(E)$ tel que $S$ engendre la topologie de $E$ et tout recouvrement par des éléments de $S$ contient un sous-recouvrement de cardinal $n$. On note $ccdim(E)$ le plus petit $n$ tel que $E$ soit $n$-ok, s'il existe.
1119.1/ Calculer les $ccdim$ des hypercubes $[0,1]^n$ de $\R^n$
1119.2/ Construire un compact qui n'a pas de ccdim finie.
Qu'est-ce qu'y faut faire, Dr ?
Toute application linéaire est combinaison linéaire de projecteurs (je le mets au présent de l'indicatif)
[large]Question 1125[/large]
Soit $A$ un anneau noethérien commutatif. Soit $L$ un ensemble d'idéaux de $A$. Existe-t-il forcément une partie $D$ de $L$, dénombrable, telle que
$$\bigcap(D)=\bigcap(L)$$
[large]Question 1127[/large]
soit $A$ un anneau commutatif unitaire, $E$ un ensemble, $F$ un ensemble FINI d'applications de $E$ dans $A$.
Soit $L$ une applicatoin de $F$ dans $A$, telle que $\forall f,g,h$ toutes les trois dans $F:$
si $f+g=h$ alors $L(h) = L(f) + L(g)$
Existe-t-il forcément un entier $n$ et un uplet $((a_1,x_1),(a_2,x_2),..(a_n,x_n))$, les $a_i$ étant dans $A$ et les $x_i$ dans $E$
tel que pour toute $f\in F: $
$$ L(f) = \sum a_if(x_i)$$