Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
201 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Erreur dans Bourbaki ?

Envoyé par Syddoux 
Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Bonjour,
dans le livre Théorie des ensembles du traité de Bourbaki, je ne comprends pas comment on peux etablir que le critère C33 (page 35) n'est pas vrai dans le cas ou x figure dans R. Intuitivement ca tombe sous le sens, mais en reprenant le principe de verification du critere (que je ne recopie pas ici car il faut de toutes facons connaitre les rouages du formalisme introduit par Bourbaki pour pouvoir m'aider) on voit bien que si x figure dans R, alors on peut vérifier que (quel que soit x) (R ou S) équivaut à ((quel que soit x)R ou (quel que soit x)S).
Merci d'avance.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Syddoux.
Re: Erreur dans Bourbaki?
il y a quatre années
avatar
Citation

Je sais bien que si x figure dans R, alors on peux verifier que (quel que soit x) (R ou S) equivaut à ((quel que soit x)R ou (quel que soit x)S)

Ceci n'est pas vrai. Contre-exemple : en se plaçant parmi les entiers, prendre « $x$ est pair » pour $R$ et « $x$ est impair » pour $S$.

Bourbaki fait d'ailleurs une remarque en ce sens juste avant d'énoncer C33.
Re: Erreur dans Bourbaki?
il y a quatre années
Evidemment, ce n'est pas vrai intuitivement, et c'est là que le bat blesse. En effet je ne vois pas ce qui empeche, en utilisant les methodes de demonstrations et les critères precedemment etablis dans le chapitre, d'etablir le critere C33 en considerant que x est une lettre potentiellement presente dans R, et donc à plus forte raison le critère suivant:

Soient R et S des relations de T, et x une lettre. La relation suivante est un theoreme:
[(quel que soit x)(R ou S)] equivaut à [(quel que soit x) R ou (quel que soit x)S]

Me fais-je bien comprendre?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Syddoux.
Re: Erreur dans Bourbaki?
il y a quatre années
J'ai edité la question pour plus de clarté.
Re: Erreur dans Bourbaki?
il y a quatre années
Pour montrer que $\text{non }R \Rightarrow \forall x\ S$ est un théorème de $\mathcal{T}'$, l'hypothèse que $x$ ne figure pas dans $R$ est explicitement utilisée.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Mais je ne vois pas en quoi elle est utile?
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Elle est indispensable. Ca marche avec en utilisant C27, ça ne marche pas sans. Ou alors, tu montres comment ça marche sans. grinning smiley
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
C27 requiert juste que la lettre x ne soit pas une constante. Puisqu'on prouve le theoreme du critere C33 dans T0, une theorie sans axiome explicite, on peut utiliser C27.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Syddoux.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Nan, ça ne va pas du tout, ce que tu racontes. Tu ne fournis pas la preuve que je te demande !
On prouve $\forall x\ S$ dans $\mathcal{T}'$ auquel on adjoint $\text{non }R$, de la manière suivante. Comme $x$ n'est pas une constante dans cette théorie (puisque la lettre $x$ ne figure pas dans $\text{non }R$) et que $S$ est un théorème de cette théorie, $\forall x\ S$ est aussi un théorème de cette théorie par C27. Ceci nécessite de manière cruciale que $x$ ne figure pas dans $R$ (donc pas non plus dans $\text{non }R$), sinon ça se casse la figure.
Tu sais, pour trouver des erreurs dans Bourbaki, il faut être un peu plus solide que ça.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Malgré ce que laisse penser le titre, je me doute bien que je ne vais pas trouver d'erreur dans Bourbaki. Par contre, c'est toi qui ne m'a pas l'air suffisement solide pour m'aider.
Relis le principe de verification du critère en question: pourquoi peut on admettre que x n'est pas une constante? Je cite: "En effet, il suffit d'etablir le critère dans T0 dont x n'est pas une constante". Puis:"Soit T' la theorie obtenue en adjoignant (Quel que soit x)(R ou S) aux axiomes de T0.
La demonstration du theoreme en decoule naturellement, que x figure dans R ou pas.

Edit:c'est bon j'ai compris, merci pour ton aide.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Syddoux.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
Tu dis vraiment n'importe quoi, il faut lire la démonstration ! (ou au moins, lire ce que j'écris et faire l'effort de le comprendre, ce que tu ne fais pas).
Je cite :
Citation
Bourbaki
Dans $\mathcal{T}'$, "$R \text{ ou } S$", donc $\text{non } R \Rightarrow S$ sont des théorèmes. Si "$\text{non } R$" est vraie (hypothèse où $x$ ne figure pas), $S$ donc aussi $\forall x\ S$, sont vraies.
Je t'ai déjà détaillé ce passage, je recommence puisque tu n'as pas compris : on ajoute à $\mathcal{T}'$ l'hypothèse $\text{non } R$, on obtient une nouvelle théorie $\mathcal{T}''$ dans laquelle $x$ n'est toujours pas une constante puisque $x$ ne figure pas dans $\text{non } R$. Dans la théorie $\mathcal{T}''$, $S$ est vraie (modus ponens) donc aussi $\forall x\ S$ par application de C27.

Si tu penses vraiment qu'on ne se sert pas du fait que $x$ ne figure pas dans $R$, explique-moi comment on démontre sans ça que dans $\mathcal{T}'$ à laquelle on ajoute l'hypothèse $R$, la formule $\forall x\ S$ est vraie.

Edit : mon message s'est croisé avec la modification de ton message précédent. Ouf, on s'en sort !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
il y a quatre années
avatar
Bonsoir,

Soit ${\scr T}_0$ la théorie dont les signes sont ceux de ${\scr T}$ et dont les axiomes sont fournis par les seuls schémas S1 à S5. La théorie ${\scr T}$ est plus forte que ${\scr T}_0$. L'on se place à présent dans la théorie ${\scr T}_0$ dépourvues d'axiomes explicites et donc de constantes. Soit ${\scr T}_1$ la théorie déduite de ${\scr T}_0$ par adjonction de la relation $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)$ aux axiomes de ${\scr T}_0$. En vertu de C30, la relation $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)\Rightarrow(R\text{ ou }S)$ est un théorème de ${\scr T}_1$, ce qui fait de $R\text{ ou }S$ un théorème de ${\scr T}_1$ en vertu de C1. D'autre part, par application de C24, il vient que $(R\text{ ou }S)\Leftrightarrow((\text{non }R)\Rightarrow S))$ est un théorème de ${\scr T}_1$, ce qui fait de $(\text{non }R)\Rightarrow S$ un théorème de ${\scr T}_1$. Considérons la théorie ${\scr T}_2$ déduite de ${\scr T}_1$ par adjonction de la relation $\text{non }R$ aux axiomes de ${\scr T}_1$. Comme $(\text{non }R)\Rightarrow S$ y est un théorème, il s'ensuit, par application de C1 que $S$ l'est également. Or, comme la lettre $x$ n'est pas une constante de ${\scr T}_2$, le critère C27 donne que $(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_2$, alors qu'une application de C7 donne que $(\forall\,x)S\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est un théorème de ${\scr T}_2$. Une application de C1 donne alors que $R\text{ ou }(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_2$, de sorte que, par application de C14, $(\text{non }R)\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est un théorème de ${\scr T}_1$. Or, d'après C10, $R\text{ ou }(\text{non }R)$ est un théorème de ${\scr T}_1$ et $R\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ y est un axiome implicite par application du schéma d'axiomes S2 aux relations $R$ et $(\forall\,x)S$ de ${\scr T}_1$. Finalement, l'application de C18 donne que $R\text{ ou }(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_1$, de sorte que, par application de C14, $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est bien un théorème de ${\scr T}_0$.

Il reste à établir que $(R\text{ ou }(\forall\,x)S)\Rightarrow(\forall\,x)(R\text{ ou }S)$ est un théorème de ${\scr T}_0$.

Cordialement,

Thierry



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Thierry POMA.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Bonjour à tous,

J'ai eu le même problème que l'OP et en réfléchissant je suis arrivé à cette démonstration:

Soit R une relation, et x une lettre.
On se place dans T0:
C30: Avec T étant x, (pour tout x, R) implique (R)
C27: Avec x non constante, (R) implique (pour tout x, R)
C20 et définition: (Pour tout x, R) équivaut à (R) (***)
(***): Avec R étant non R, (Pour tout x, non R) équivaut à (non R)
C29: (Pour tout x, non R) équivaut à (non(il existe x tel que R))
C22: (non R) équivaut à (non(il existe x tel que R))
C23 et C1: (R) équivaut à (il existe x tel que R)
C22 et (***): (pour tout x, R) équivaut à (il existe x tel que R)

Donc là je suis un peu perplexe, je ne pense pas qu'on ait pu aller si loin en maths avec cette situation. Personnellement, je pense que (il existe x tel que R) équivaut à (non non R) a du sens puisque R ne peut être faux. Mais après ... Bref, quelqu'un peut me contredire svp?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Algoman.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
J'adresse un salut amical à Siméon, ce fil me rappelant qu'on ne le voit plus sur le forum, sauf erreur?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
J'avais la même pensée winking smiley
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Ah bah, il doit avoir une notification de remontée de vieux fil (ça m'arrive aussi), car: [www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Ha oui ça doit être ça winking smiley
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
avatar
Salut Christophe ! Bon courage pour ta plongée dans le finitisme.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Merci, c'est comme passer de l'eau aux solides, le passage de l'infini à l'étude du fini.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Je up!
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Bonjour

Concernant les deux premières lignes de ton raisonnement.

1) Le critère C30 te montre que $(\forall x)R \Rightarrow R$ est un théorème de $T_0$.
2) Le critère C27 te montre que si $R$ est un théorème de $T_0$, alors $(\forall x)R$ est un théorème de $T_0$.
Il ne te dit pas que $R\Rightarrow (\forall x)R$ est un théorème de $T_0$. Cette dernière phrase est plus forte !

Je n'ai pas lu la suite.

La "chaine" d'équivalences $(\forall x)R \Leftrightarrow R \Leftrightarrow (\exists x)R$ est valable lorsque $x$ ne figure pas dans $R$.





[1è Edit : correction de fautes d'orthographe]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par petit-o.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
Ah ok c'est vrai. Merci de ta réponse
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
avatar
Bonsoir,

de fait, concernant la théorie des ensembles vue par Bourbaki, le fil ne mérite pas le "?" de son titire: leur vision est datée (ça arrive) mais surtout fausse, du moins les abus de langage qu'elle induit, ce qui semble bien inévitable, sont loins d'être anodins.
A ce propos et dans de multiples détails: "Hilbert, Bourbaki and the scorning of logic", dans "infinity and truth" par A. Mathias.

(ouh là, vais-je déclencher l'ire de cc???)

Bien amicalement,

F.D.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
@FD bien sûr que non pas d'ire, d'autant que c'est connu. Par exemple toute la partie syntaxe de Bourbaki est vraiment très très mauvaise (euphémisme).

Mais attention: il ne faut pas retirer à B l'État d'esprit qui a présidé l'entreprise qui lui est parfait et devrait être très largement publicité aujourd'hui. Pour le reste ils ont fait comme ils pouvaient et c'est déjà bien. Il ne fait pas oublier qu'ils n'avaient pas de formation en logique et que l'époque était de toute façon balbutiante à ce niveau.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Erreur dans Bourbaki ?
l’an passé
avatar
Bonsoir,

dans l'article que je mentionne l'auteur reconnait que 89 ans après c'est un peu facile et qu'en-dehors de cette partie syntaxique l'entreprise est louable.
Je peux aussi rappeler qu'Herbrand était un des membres fondateurs et que le destin n'a pas été clément en la matière...

Amicalement,

F.D.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 729, Messages: 1 322 217, Utilisateurs: 24 183.
Notre dernier utilisateur inscrit khayem.


Ce forum
Discussions: 2 089, Messages: 40 511.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page