Erreur dans Bourbaki ?

Je sais bien que si x figure dans R, alors on peux verifier que (quel que soit x) (R ou S) equivaut à ((quel que soit x)R ou (quel que soit x)S)

Ceci n'est pas vrai. Contre-exemple : en se plaçant parmi les entiers, prendre « $x$ est pair » pour $R$ et « $x$ est impair » pour $S$.

Bourbaki fait d'ailleurs une remarque en ce sens juste avant d'énoncer C33.

Bonsoir,

Soit ${\scr T}_0$ la théorie dont les signes sont ceux de ${\scr T}$ et dont les axiomes sont fournis par les seuls schémas S1 à S5. La théorie ${\scr T}$ est plus forte que ${\scr T}_0$. L'on se place à présent dans la théorie ${\scr T}_0$ dépourvues d'axiomes explicites et donc de constantes. Soit ${\scr T}_1$ la théorie déduite de ${\scr T}_0$ par adjonction de la relation $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)$ aux axiomes de ${\scr T}_0$. En vertu de C30, la relation $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)\Rightarrow(R\text{ ou }S)$ est un théorème de ${\scr T}_1$, ce qui fait de $R\text{ ou }S$ un théorème de ${\scr T}_1$ en vertu de C1. D'autre part, par application de C24, il vient que $(R\text{ ou }S)\Leftrightarrow((\text{non }R)\Rightarrow S))$ est un théorème de ${\scr T}_1$, ce qui fait de $(\text{non }R)\Rightarrow S$ un théorème de ${\scr T}_1$. Considérons la théorie ${\scr T}_2$ déduite de ${\scr T}_1$ par adjonction de la relation $\text{non }R$ aux axiomes de ${\scr T}_1$. Comme $(\text{non }R)\Rightarrow S$ y est un théorème, il s'ensuit, par application de C1 que $S$ l'est également. Or, comme la lettre $x$ n'est pas une constante de ${\scr T}_2$, le critère C27 donne que $(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_2$, alors qu'une application de C7 donne que $(\forall\,x)S\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est un théorème de ${\scr T}_2$. Une application de C1 donne alors que $R\text{ ou }(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_2$, de sorte que, par application de C14, $(\text{non }R)\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est un théorème de ${\scr T}_1$. Or, d'après C10, $R\text{ ou }(\text{non }R)$ est un théorème de ${\scr T}_1$ et $R\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ y est un axiome implicite par application du schéma d'axiomes S2 aux relations $R$ et $(\forall\,x)S$ de ${\scr T}_1$. Finalement, l'application de C18 donne que $R\text{ ou }(\forall\,x)S$ est un théorème de ${\scr T}_1$, de sorte que, par application de C14, $(\forall\,x)(R\text{ ou }S)\Rightarrow(R\text{ ou }(\forall\,x)S)$ est bien un théorème de ${\scr T}_0$.

Il reste à établir que $(R\text{ ou }(\forall\,x)S)\Rightarrow(\forall\,x)(R\text{ ou }S)$ est un théorème de ${\scr T}_0$.

Cordialement,

Thierry

J'adresse un salut amical à Siméon, ce fil me rappelant qu'on ne le voit plus sur le forum, sauf erreur?

Ah bah, il doit avoir une notification de remontée de vieux fil (ça m'arrive aussi), car: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1685260,1685324#msg-1685324

Salut Christophe ! Bon courage pour ta plongée dans le finitisme.

Je up!

Ah ok c'est vrai. Merci de ta réponse

@FD bien sûr que non pas d'ire, d'autant que c'est connu. Par exemple toute la partie syntaxe de Bourbaki est vraiment très très mauvaise (euphémisme).

Mais attention: il ne faut pas retirer à B l'État d'esprit qui a présidé l'entreprise qui lui est parfait et devrait être très largement publicité aujourd'hui. Pour le reste ils ont fait comme ils pouvaient et c'est déjà bien. Il ne fait pas oublier qu'ils n'avaient pas de formation en logique et que l'époque était de toute façon balbutiante à ce niveau.