$A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
Bonjour
Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$
J'ai essayé de construire un contre-exemple pour la réciproque : $$A\cup B =E \implies \overline A\subset B $$
je désigne par $\overline A=\mathcal{C}_{E}^{A}=\{ x\in E \mid x\notin A \}$ complemantaire de A dans E
Donc j'ai donné :
$E=\{ 1,2,3,4,5 \},\quad A=\{ 2; 5\},\quad \overline A=\{ 1,3,4 \},\quad B=\{1,3,4,5\}$ donc on a $\overline A \subset B$ mais $A\cup B=E$ est vérifié.
Je voudrais trouver un contre-exemple simple.
Merci beaucoup.
Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$
J'ai essayé de construire un contre-exemple pour la réciproque : $$A\cup B =E \implies \overline A\subset B $$
je désigne par $\overline A=\mathcal{C}_{E}^{A}=\{ x\in E \mid x\notin A \}$ complemantaire de A dans E
Donc j'ai donné :
$E=\{ 1,2,3,4,5 \},\quad A=\{ 2; 5\},\quad \overline A=\{ 1,3,4 \},\quad B=\{1,3,4,5\}$ donc on a $\overline A \subset B$ mais $A\cup B=E$ est vérifié.
Je voudrais trouver un contre-exemple simple.
Merci beaucoup.
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Réponses
c'est pas La topologie mais plutot la theore des ensembles et je désigne par A barre le complémentaire de A dans E
Merci d'avance
je voudrais montrer qu'on a pas l’équivalence c'est a dire que la proposition suivante
$$\overline A\subset B \implies A\cup B =E$$
est fausse. Merci d'avance
Bruno
j'ai mis a jour mon pose
Merci de me corriger
[small]** seul $(A\vee \to ((\neg A)\to $ est démontrable de manière intuitionniste. La réciproque pour tous $A,B$ est carrément un axiome qu'il suffit de rajouter à la logique intuitionniste pour obtenir la logique classique.[/small]
Avec tes notations, Educ, si $X$ et $Y$ sont de parties de $E$, et si $X \subset Y$, comment sont liées $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ ?
Peux-t-on considère le diagramme de Venn une preuve mathématique pour démontrer des proposition dans la théorie des ensembles
Merci d'avance
Bruno
@bruno
Merci et voila j'ai rectifie la figure
Merci d'avance
Bruno
je pense que j'ai deux possibilité pour B afin de dessiner le diagramme de Venn $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$ :
Soit $B=\overline A$ soit $ B=E$
$B=\overline A\quad $ ($A\cup B=A\cup \overline A =E \implies \overline A\subset B$ )
$B=E\quad $ ($A\cup B=A\cup E =E \implies \overline A\subset B$ )
n'est ce pas ou bien je dois essayé
Merci d'avance
$\bf A$ est le disque rouge limité par le cercle rouge et $\bf B$ est la couronne vert claire limitée par les deux cercles bleus.
Bruno
Merci ben si j'ai bien compris le voila :
mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas
Merci d'avance
P.S: il ya pas vert que jaune
> mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas
Bien sûr que si !!!
Cordialement,
Rescassol
non je pense pas car :
Reference
Un dessin peut vraiment aider à illustrer l'idée impliquée, mais il ne expliquent pas toujours la connexion à la logique que vous travaillez au sein. Il y a aussi un énorme inconvénient de prouver les choses par diagramme de Venn: vos idées préconçues visuels peuvent vous tromper en faisant une erreur. Cela ne peut se produire (ou arrive à un bien moindre degré) lorsque vous travaillez dans la langue de la théorie des ensembles.
Je ne comprends pas pourquoi tu t'obstines à prendre des "patates" concentriques. Il te suffit de prendre une patate pour A, une autre pour B; avec une partie commune et des parties distinctes, puis de traduire ton hypothèse en faisant apparaître E (qui est $A\cup . On voit alors très bien la conclusion apparaître.
Cordialement.
Bien sûr que non!
Exemple ?
Cordialement,
Rescassol
CC, qu'as tu contre ça ?
Cordilement,
Rescassol
Voir la discussion sur Stackexchange :
http://www.stackprinter.com/export?service=math.stackexchange&question=304173&printer=false&linktohome=true
qui cite l'article de Ian Stewart dont Educ a donné un extrait, et que j'aimerais bien avoir in extenso
De plus, la confection pratique du diagramme de Venn devient compliquée dès qu'on a plus de trois ensembles. Déjà les patates circulaires ne suffisent plus car pour $n>3$ des cercles en nombre $n$ ne partagent plus le plan en $2^n$ régions.
Il faut des convexes dont les frontières se coupent en plus de deux points, mais quatre points suffisent-ils ? Sinon, il faudrait des patates non convexes, ce qui compliquerait au lieu de simplifier.
Je joins une photo (1969) d'un professeur (que certains reconnaîtront peut-être) qui utilise des patates rectangulaires.
Voir aussi :
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Symmetrical_5-set_Venn_diagram.svg
pour cinq patates ovales, pas si simple...
J'avais remarqué ceci dans le fil sur l'associativité de la différence symétrique mais je n'avais pas eu le loisir d'intervenir. Une propriété observée sur un diagramme de Venn peut se traduire au moyen d'une table de vérité, ou bien au moyen de fonctions caractéristiques (resp. indicatrices). Ce sont deux façons de prouver la propriété en question.
Bonne journée.
F. Ch.
Bruno
Je rappelle la définition du mot "preuve": c'est une suite finie $<u_0,..,u_n>$ d'énoncés telle que pour tout $i\leq n$ l'énoncé $(u_0\wedge u_1\wedge ..\wedge u_{i-1}) \to u_i$ est un axiome* (on peut appeler aussi ça un "admis", si tu veux étendre la communauté des gens qui échangent des arguments de maths).
Le symbole $\wedge$ veut dire "et". $(H_1\wedge H_2\wedge ..\wedge H_n) \to C$ abrège $H_1\to (H_2\to (H_3\to ...\to (H_n\to C))))...)$***
Remarque: on n'écrit rarement des preuves correctes, parce qu'on abrège ou commet des abus de langage.
* en admettant que si $(\wedge_{i\in J} A_i) \to B$ est un axiome alors $(\wedge_{i\in K} A_i) \to B$ en est un aussi quand $J\subset K$
Exemple d'étapes dans une preuves:
.
.
.
.
$A\to B$
$A$
$B$
.
.
.
via l'axiome $((A\to \wedge A)\to B$ lui-même abréviation (selon ***) de $(A\to \to (A\to $ que tout le monde admet.
Je suis bien d'accord pour convenir que ce n'est pas très commode au delà de $3$ sous ensembles, bien qu'il ait été démontré que c'était toujours dessinable avec des patates connexes (mais non convexes) quand il y a $n$ sous ensembles (quel que soit n).
Quant à l'aspect démonstratif de la chose, c'est un symbolisme qui en vaut un autre, à condition de disposer du vocabulaire (ou dictionnaire, ou lexique) convenable.
Par exemple, sur la figure dont j'ai déjà donné le lien (et que je redonne):
$1$ signifie $A\cap B\cap C$.
$2$ signifie $A\cap \overline{B} \cap \overline{C}$
$3$ signifie $A\cap B \cap \overline{C}$
$5$ signifie $A\cap \overline{B} \cap C$
$A=1235$ signifie$A=(A\cap B\cap C)\cup (A\cap \overline{B} \cap \overline{C})\cup (A\cap B \cap \overline{C})\cup (A\cap \overline{B} \cap C)$ et ainsi de suite.
Il n'y aurait pas de preuves dans le livre "Proofs without words" ?
Cordialement,
Rescassol
En 1961, André Warusfel publie son petit livre "Les nombres et leurs mystères", qui exprime son enthousiasme de jeune homme pour les mathématiques, dans la collection Microcosme-Seuil, qui est encore réédité jusqu'à ce jour.
En 1969 il publie dans la même collection "Les mathématiques modernes", qui a moins de succès. En page 2 de ce dernier il y a la photo en question. En couverture, Venn-rectangles à 4 ensembles.
Bonne santé et longue vie à André Warusfel.
Bonne journée.
F. Ch.
Et également, "Structures algébriques finies".
Et il était à mon jury d'oral d'agreg, il y a un certain temps.
Cordialement,
Rescassol
Bruno
J'ai rencontré plusieurs fois André Warusfel quand il était professeur. Un jour il m'a dit qu'il tenait beaucoup à ce livre (parmi tout ce qu'il a pu écrire), et qu'il s'était toujours refusé à apporter la moindre modification à ses éditions successives, même si on lui signalait une erreur de détail.
Sinon "un diagramme de Venn est une preuve" : oui s'il constitue un contre-exemple à une propriété fausse!!!
Bien amicalement,
F.D.
Voir ici :
<http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-8642>
tome second, à partir de la p. 103 (14 février 1761 et après).
Bonne journée.
F. Ch.