$A\cup B =E \implies \overline A\subset B$

Tu auras du mal. Dans un topos, peut-être ...

Lundi : des patates. Mardi : des patates...

Avec tes notations, Educ, si $X$ et $Y$ sont de parties de $E$, et si $X \subset Y$, comment sont liées $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ ?

Jolie la figure, mais ce n'est pas $\overline A \subset \mathbf E$ que l'on étudie. D'autre part, pourquoi as-tu choisi $B = \overline A$ ?

Bruno

On ne s'est pas compris . $E = A \cup \overline A$ , mais $B$ n'est pas $E$ comme le suggère ton dessin. Encore un petit effort et tu vas y arriver :-).

Bruno

Voici un diagramme type :

$\bf A$ est le disque rouge limité par le cercle rouge et $\bf B$ est la couronne vert claire limitée par les deux cercles bleus.

Bruno

Bonsoir,

> mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas

Bien sûr que si !!!

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir Educ.

Je ne comprends pas pourquoi tu t'obstines à prendre des "patates" concentriques. Il te suffit de prendre une patate pour A, une autre pour B; avec une partie commune et des parties distinctes, puis de traduire ton hypothèse en faisant apparaître E (qui est $A\cup . On voit alors très bien la conclusion apparaître.

Cordialement.

Bonne nuit,

Exemple ?

Cordialement,

Rescassol

Je ne pense pas qu'un diagramme de Venn (ou Euler-Venn) soit une démonstration, tout au plus une "monstration" comme dans les mathématiques chinoises anciennes, où l'auteur faisait une figure et disait : "vois !". Le diagramme peut être utile pour trouver, comme une figure en géométrie, mais ne saurait se substituer au raisonnement.

Voir la discussion sur Stackexchange :
http://www.stackprinter.com/export?service=math.stackexchange&question=304173&printer=false&linktohome=true
qui cite l'article de Ian Stewart dont Educ a donné un extrait, et que j'aimerais bien avoir in extenso

De plus, la confection pratique du diagramme de Venn devient compliquée dès qu'on a plus de trois ensembles. Déjà les patates circulaires ne suffisent plus car pour $n>3$ des cercles en nombre $n$ ne partagent plus le plan en $2^n$ régions.
Il faut des convexes dont les frontières se coupent en plus de deux points, mais quatre points suffisent-ils ? Sinon, il faudrait des patates non convexes, ce qui compliquerait au lieu de simplifier.

Je joins une photo (1969) d'un professeur (que certains reconnaîtront peut-être) qui utilise des patates rectangulaires.
Voir aussi :
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Symmetrical_5-set_Venn_diagram.svg
pour cinq patates ovales, pas si simple...

J'avais remarqué ceci dans le fil sur l'associativité de la différence symétrique mais je n'avais pas eu le loisir d'intervenir. Une propriété observée sur un diagramme de Venn peut se traduire au moyen d'une table de vérité, ou bien au moyen de fonctions caractéristiques (resp. indicatrices). Ce sont deux façons de prouver la propriété en question.

Bonne journée.
F. Ch.

@Rescassol: je n'ai rien contre, ce n'est juste pas une preuve. Après, tu peux redéfinir le mot "preuve" et lui donner un sens où ton dessin (convaincant?) entrera dedans.

Je rappelle la définition du mot "preuve": c'est une suite finie $<u_0,..,u_n>$ d'énoncés telle que pour tout $i\leq n$ l'énoncé $(u_0\wedge u_1\wedge ..\wedge u_{i-1}) \to u_i$ est un axiome* (on peut appeler aussi ça un "admis", si tu veux étendre la communauté des gens qui échangent des arguments de maths).

Le symbole $\wedge$ veut dire "et". $(H_1\wedge H_2\wedge ..\wedge H_n) \to C$ abrège $H_1\to (H_2\to (H_3\to ...\to (H_n\to C))))...)$***

Remarque: on n'écrit rarement des preuves correctes, parce qu'on abrège ou commet des abus de langage.

* en admettant que si $(\wedge_{i\in J} A_i) \to B$ est un axiome alors $(\wedge_{i\in K} A_i) \to B$ en est un aussi quand $J\subset K$

Exemple d'étapes dans une preuves:

.
.
.
.
$A\to B$
$A$
$B$
.
.
.
via l'axiome $((A\to \wedge A)\to B$ lui-même abréviation (selon ***) de $(A\to \to (A\to $ que tout le monde admet.

Bravo Bruno !
En 1961, André Warusfel publie son petit livre "Les nombres et leurs mystères", qui exprime son enthousiasme de jeune homme pour les mathématiques, dans la collection Microcosme-Seuil, qui est encore réédité jusqu'à ce jour.
En 1969 il publie dans la même collection "Les mathématiques modernes", qui a moins de succès. En page 2 de ce dernier il y a la photo en question. En couverture, Venn-rectangles à 4 ensembles.
Bonne santé et longue vie à André Warusfel.
Bonne journée.
F. Ch.

"Les nombres et leurs mystères". Voilà un bouquin qui m'a poussé vers ma carrière :-). Je n'ai jamais osé le dire à Waru quand nous étions au jury de Capes.

Bruno

Moi aussi j'ai lu et aimé "les nombres et leurs mystères" même si j'ai été conquis par l'aventure des nombres de Gilles Godefroy.

Sinon "un diagramme de Venn est une preuve" : oui s'il constitue un contre-exemple à une propriété fausse!!!

Bien amicalement,

F.D.