Bijection à partir d'une surjection?
Bonjour
J'ai une question peut être très simple mais je n'arrive pas à y trouver d'éléments de réponse.
Si $f$ est une surjection de $\R$ dans $\R$, existe-t-il $g : \R \to \R$ telle que $f \circ g$ soit une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
J'ai une question peut être très simple mais je n'arrive pas à y trouver d'éléments de réponse.
Si $f$ est une surjection de $\R$ dans $\R$, existe-t-il $g : \R \to \R$ telle que $f \circ g$ soit une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
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Réponses
Si $f:E\to F$ est surjective et $\phi:P(E)\to E$ est telle que $\forall X\subset E: X=\emptyset$ ou $\phi(X)\in X$ alors $g:y\in F\mapsto \phi(\{x\in E\mid f(x)=y\})$ vérifie $\forall y\in F : f(g(y))=y$
"Ce résultat" implique en retour l'axiome du choix. Le démontrer en exercice
Mais @christophe c, je trouve que tu as simplement dit que : je trouve une application de F vers F qui à y associe y, et rien d'autre !
tu as mal lu les notations de Christophe. les g(y) sont des $\phi(X)$ avec $X\subset E$ donc des éléments de $X$, donc des éléments de E.
Christophe a simplement formalisé l'idée : "avec l'axiome du choix on prend pour chaque y un et un seul de ses antécédents.
Cordialement.
Cordialement.
tu n'as rien compris. Tant pis !!
Si $f:E\to F$ est surjective, pour tout $y\in F$, on choisit un antécédent $g(y)\in E$ (c'est possible car $\prod_{y\in F}f^{-1}(\{y\})$ est non vide par l'axiome du choix). Alors $g:F\to E$ vérifie $f\circ g=Id_F$.
L'autre sens t'est laissé à titre d'exo.
Il serait bien que tu précises ce genre de réparti, chaurien. Ca peut apparaitre comme assez "agressif" et "buté" comme remarque, d'autant qu'on te voit corriger souvent des sujets rabâchés de programmes de cpge (donc du très scolaire), mais pourrais-tu mettre des liens où tu commences toi, à donner l'exemple, c'est à dire à "faire des maths stricto sensu". Je n'ai rien contre tes posts scolaires, et je n'ai peut-être pas tout lu, mais dans ce cas, j'aimerais pouvoir cliquer sur des posts où tu fais des maths et serais heureux qu'ils existent.
Quand à l'axiome du choix, j'ai lu sous ta plume (éventuellement je mettrai un lien) qu'il était stupide de ne pas le prendre, si si... Tu étaus même très méprisant dans tes propos à l'égard des maths qui s'étaient développées sans (excuse du peu, le labo entier d'analyse de Paris6, qui adore AD par exemple, et constitué d'éminents anciens élèves de Choquet)
@Greg, "alambiqué", je ne sais pas, disons que j'ai voulu éviter toute ambiguité, donc ça a rajouté un zeste de cabalisitique typo. Mais quand on dit "pour chaque $y$, on choisit un $g(y)$ dans " on a presque l'air d'avoir honte de dire "on prend $g$ telle que pour tout $y$, $g(y)$ est dans", ie on met le "pour chaque" avant le "g(y)", ce qui introduit un petit aspect hésitant. Je pense qu'il faut assumer pleinement que l'axiome du choix est un axiome (donc qu'on prend une $g$ telle que pour tout $y$), plutôt qu'utiliser une tournure qui laisse penser qu'on voudrait "le faire passer comme moins qu'un simple axiome" (comme une sorte d'obligation logique). Mais c'est un avis personnel