paradoxe de Russell

En effet, j'avais à peu près les mêmes "problèmes" avec les écritures.
On m'avait tellement dit que x "appartient à" x ne s'écrit pas et que c'est plutôt x "inclus dans" x que l'on peut écrire (le sens n'étant pas le même cependant) que j'en étais dérouté.

Ce n'est pas un problème de niveau, rassure-toi.

Un problème de définition des symboles, peut-être...

Des adeptes de ce forum vont t'expliquer tout ça de manière plus juste et plus complète que moi.

Quoi qu'on puisse penser de son œuvre, de ses opinions et de ses activités, Lord Bertrand Russell (1872-1970) a droit à ses deux "l".

@mousse je l'ai déjà raconté 200 fois au moins sur le forum, mais ça me couterait plus en temps de chercher des liens.

1) C'est vraiment une très mauvaise présentation que de considérer un truc qui aboutit à $A\iff (nonA)$, car cette conclusion n'est pas une contradiction: il y a encore à peu près un travail équivalent à faire pour l'emmener à une contradiction.

Prends donc plutôt $e:=\{ x \mid x\in x \Rightarrow 7=4\}$. C'est largement plus pur et clair.

2) Tu as
$e\in e\Rightarrow (e\in e\Rightarrow 7=4)$
donc $e\in e\Rightarrow 7=4$
donc $e\in e$
donc $7=4$.

3) Il n'y a aucun problème, tu es là devant un théorème de mathématique tout à fait banal et qui plus est sans axiome: tu as déduit $7=4$ de $\forall x [x\in e \iff (x\in x\Rightarrow 7=4)]$

4) ZF contient un axiome qui dit la chose suivante: $\forall a\exists b \forall x \ [x\in b\iff (x\in a \ et\ (x\in x\Rightarrow 7=4))]$. Il s'en suit que si $a$ est tel que $\forall x: x\in a$, d'après ce qui précède, tu déduis $7=4$.

5) citation: A-t'on le droit. En maths, on a tous les droits du moment qu'on est précis et signale ce qu'on suppose. Ca n'aurait d'ailleurs aucun sens de limiter les choses, ce serait arbitraire et tomberait sous l'accusation de dogme (or la science se doit d'être sans dogme). Lorsque tu supposes quelque chose et en déduis un truc avec, ta seule obligation c'est de rappeler que tu l'as supposé. Présentement, tu as prouvé sans axiome que $(\forall x[..])\to 7=4$. C'est tout.

6) le mot "collectivisant" renvoie à un passé platonicien un peu nostalgique, mais c'est pas grave. $R$ est collectivisant abrège $\exists a\forall x [x\in a\iff R(x)]$

7) @Bruno: Citation: Pour l'existence d'un objet mathématique, le définition habituelle est un terme (objet) existe si la théorie ZF + existeTn'est pas contradictoire. . Non, ça ne marche pas de penser comme ça (tu voulais peut-être dire autre chose). Tu prends n'importe quel énoncé $A$ qui est indécidable dans $ZF$ et ton critère entraine que $\{x \mid A\}$ existe et $\{x\mid non(A)\}$ existe aussi.

@Christophe : Je lis avec attention ce que tu écris à propos des démonstrations dans ce fil.

Est-ce que tu peux, pour ta démonstration

Christophe a écrit:

Prends donc plutôt $e:=\{ x \mid x\in x
\Rightarrow 7=4\}$. C'est largement plus pur et
clair.
2) Tu as
$e\in e\Rightarrow (e\in e\Rightarrow 7=4)$
donc $e\in e\Rightarrow 7=4$
donc $e\in e$
donc $7=4$.

la mettre sous la forme décrite dans ton fil ? C'est-à-dire, à la fin de chaque ligne, donner les numéros des hypothèses que tu fais ? Parce que la ligne "donc $e\in e$", je ne vois pas quelles hypothèses elle prend... La deuxième ligne, tu supposes l'axiome du cloneur, c'est bien ça ? Mais la troisième, je sais pas.

D'autre part, comment obtiens-tu

Christophe a écrit:

3) Il n'y a aucun problème, tu es là devant un
théorème de mathématique tout à fait banal et
qui plus est sans axiome: tu as déduit $7=4$ de
$\forall x [x\in e \iff (x\in x\Rightarrow 7=4)]$

puisque dans ta démonstration, il n'y a nulle part de $x$ ?

Enfin bref, pour moi, le théorème démontré est le suivant :

$\begin{array}{ll}
\left[\left(e \in e \Rightarrow (e \in e \Rightarrow 7 = 4)\right)\right. &\wedge \\
\left(\left(e \in e \Rightarrow (e \in e \Rightarrow 7 = 4)\right)\right) \Rightarrow (e \in e \Rightarrow 7 = 4) &\wedge \\
\left(\left(e \in e \Rightarrow (e \in e \Rightarrow 7 = 4)\right) \wedge (e \in e \Rightarrow 7 = 4)\right) \Rightarrow e \in e&\left.\right]\\
\Rightarrow 7 = 4&\\
\end{array}$

D'autre part, pourquoi est-ce qu'aboutir à $A \Leftrightarrow non(A)$ n'est pas satisfaisant ? Je vais essayer quelque chose ! En fait, c'est assez compliqué parce que je ne sais pas trop ce qu'est une contradiction...

1) $a \rightarrow (a \rightarrow tout)$
2) $(a \rightarrow tout) \rightarrow a$
3) $a \rightarrow tout$ d'après 1)
4) $a$ d'après 2) et 3)

Autrement dit, je démontre $a$ à partir de $a \rightarrow (a \rightarrow tout)$
et $(a \rightarrow tout) \rightarrow a$ et de certains axiomes logiques (cloneur ou trucs plus faibles).

Et puis sinon,

1) $a \rightarrow (a \rightarrow tout)$
2) $(a \rightarrow tout) \rightarrow a$
3) $a \rightarrow tout$ d'après 1)
4) $a$ d'après 2) et 3)
5) $a \rightarrow tout$ d'après 1) et 4)

Autrement dit, je démontre $a$ à partir de $a \rightarrow (a \rightarrow tout)$
et $(a \rightarrow tout) \rightarrow a$ et de certains axiomes logiques (cloneur ou trucs plus faibles).

En résumé, en partant des deux hypothèses $a \rightarrow (a \rightarrow tout)$
et $(a \rightarrow tout) \rightarrow a$, je peux démontrer à la fois $a$ et $a \rightarrow tout$ dans la logique minimale. C'est pas satisfaisant, ça ?

@Georges:

réponse à ta première question: j'abrège $e\in e$ par $a$ et $7=4$ par $Z$ et $ET$ par $\otimes$

1/ $a\to (a\to Z)$
2/ $a\to Z$ car 1
3/ $a$ car 2
4/ $Z$ car 2 et 3

Le théorème démontré (par ces lignes) est [(a\to (a\to Z))\otimes cloneur \otimes ((a\to Z)\to a)\otimes (X\to X)]\to Z$

D'autre part, pourquoi est-ce qu'aboutir à ... n'est pas satisfaisant ? Je vais essayer quelque chose ! En fait, c'est assez compliqué parce que je ne sais pas trop ce qu'est une contradiction...

Tu réponds toi-même à la question en faisant le boulot qui suit ta question: tu refais la preuve une deuxième fois pour montrer "tout". Alors qu'une fois suffit ci-dessus.

Remarque: j'en ai souvent parlé en le qualifiant de théorème historique,
$$ ((A\to \to A) \to ((A\to (A\to )\to $$
est un théorème intuitionniste amusant, c'est lui qui est au coeur du "paradoxe" de Russel (qui n'est qu'un théorème et non un paradoxe).

Il est plus facile à constater certain en réécrivant $ ((A\to \to A) \to ((A\to (A\to )\to $ sous la forme
$$ ((A\to \to A) \to ((A\to \to ((A\to \to )$$
qui remplace le dernier $A$ de l'évidence $((A\to \to A) \to ((A\to \to A)$
par $(A\to \to B$ (vu que $A\to [(A\to \to B]$ est évident comme rien d'autre que $(A\to \to (A\to $ dans lequel on a permuté les deux hypothèses)

@Georges, je détaille un détail:

[ (A=>B) => A ] => [ (A=>B) => A ]

[ (A=>B) => A ] => [ (A=>B) => ((A=>B)=>B) ] remplacement de A par (A=>B)=>B

[ (A=>B) => A ] => [ (A=>B) =>B] cloneur

[ (A=>B) => A ] => [ (A => (A=>B)) =>B] cloneur

Nan, t'inquiète, je te disais juste que ta phrase est à changer, parce que si on l'applique à la lettre (tant que faire se peut), on rajoute trop.

Dans tous les cas, l'un des deux est l'ensemble vide et l'autre n'est pas un ensemble

Le raisonnement que tu fais qui précède cette phrase est différent: tu dis en substance "s'il est VRAI que A alors truc n'est pas un ensemble", mais ça n'est pas synonyme de "s'il est consistant que A alors truc n'est pas un ensemble"

J'ai réagi avant tout à ton

si la théorie ZF + existeT n'est pas contradictoire.

qui n'est pas synonyme de si la théorie ZF + existeT "est vraie" (cette dernière phrase est d'ailleurs peu sensée, mais peu importe).

@Georges, je n'avais pas compris ton problème. Mais enfin il fait partie des hypothèses (ça n'a rien d'un théorème :-D ) que $\forall x: [x\in e\iff (x\in x\to 7=4)]$, et en particulier donc que $e\in e\iff (e\in e\to 7=4)$, c'est aussi bête que ça.

Oui, tu as parfaitement compris.

comment est-ce qu'on appelle une phrase telle que si on la suppose, on peut démontrer tout avec les axiomes logiques ?

En calcul propositionnel, une "antilogie" :-D (à ma connaissance et selon mes vagues souvenirs, ce n'est pas très usité). Disons qu'en maths général, ça doit s'appeler un antithéorème.

Et si oui, tu peux me conseiller un livre où c'est écrit de la manière dont tu le présentes ?

De manière exactement pareil, il n'y en pas à ma connaissance. De manière approchant, il y en peut-être quelques uns, gens "introduction à la logique" de Raffali ou peut-être la Cori-Lascar, faut voir.

Sur le forum, je fais une synthèse entre diverses choses peu présentes dans un seul livre ou un seul article:

1) la correspondance de Curry Howard
2) La logique formelle "habituelle" un peu remixée, en particulier, sur le forum, je signale beaucoup d'infos sur les sytèmes de Hilbert ce que peu de livres font (il faut dire que sans la CorCuHo, c'est chiant)
3) La logique combinatoire (et ses combinateurs) que j'ai peut-être bien remixés aussi un peu
4) Le second ordre et le lambda calcul typé (il y a un livre de Krivine très rigoureux et exhaustif + sa page internet)
5) un remixage personnel en vue de "que ce soit parlant": par exemple depuis des années j'utilise "tout" à la place de "faux". Le nom officiel de "tout" est l'énoncé $[\forall X: X]$ en logique minimal du second ordre

@mousse
Attention, j'ai utilisé le symbole $\in $ et pas $\subset$.

Exemple: soit l'ensemble $E=\{\{a\}, \{a,b\},c\} $ où "a", "b", et "c" désignent des ensembles.
Alors on a :$a \notin E, \{a\} \in E, \{\{a\}, \{a,b\} \}\subset E $.

Ici il n'est question que d'appartenance.

...oui enfin bon on va dire 25 lignes en gros , j'ajoute deux lemmes afin de partir vraiment avec rien que les trois axiomes

franchement c'est pas la mort