Paradoxe de Zénon

Zénon n’a jamais prétendu tout ça.
De mémoire, le but était surtout de soulever un petit problème sur la notion d’infini en acte.

Une somme infinie de durées de plus en plus petites peut donner une durée finie, c'est essentiellement ce que Félix dit à la fin, concernant le segment, si je ne me trompe pas

Ou au tout début dans le livre I, quand il justifie les cas d’égalité des triangles si je me souviens bien.

Les apories de Zénon (l'Éléate, pas le stoïcien) sont en effet dirigées contre les «atomistes» - à commencer par les pythagoriciens - lesquels affirment que tout est nombre (entendons : de l'ordre du dénombrable) et que, par conséquent, l'espace et le temps eux-mêmes sont composés «d'atomes». Zénon veut démontrer par l'absurde que l'idée ne tient pas la route. (Je n'emploie sans doute pas l'expression «par l'absurde» au sens technique qu'elle a aujourd'hui en mathématique.)
Mais ce n'est pas l'argument de la flèche qu'a exposé Satan, c'est celui de la dichotomie : je n'atteindrai jamais mon but parce que je dois d'abord atteindre le milieu de la distance qui m'en sépare, etc. Il rejoint l'argument dit «d'Achille et la tortue». L'argument de la flèche est le suivant : à chaque atome de temps, la pointe de la flèche occupe un atome d'espace ; elle est donc immobile à tout instant et, par suite, ne se meut jamais. Ce troisième argument rejoint celui dit «du stade». Dans la dichotomie, les atomes interdisent la divisibilité à l'infini de l'espace et du temps. Dans la flèche, celle-ci ne pourrait se déplacer qu'en sautant magiquement d'un atome d'espace à l'atome contigu, d'un atome de temps au suivant. Dans le stade, c'est encore plus net : des masses se croisent «entre» deux atomes de temps.
Tout cela en n'oubliant pas qu'on se situe deux siècles avant Euclide.

Bonjour, je suis nouveau ici.

Ie(s) paradoxe(s) de Zénon (essentieIIement, ceIui d'AchiIIe et Ia Tortue) me turIupine depuis pas maI d'années pour au moins trois raisons.

1) II est teIIement bien formuIé qu'on y croirait presque !
2) Je n'ai jamais compris pourquoi tout Ie monde dit qu'on Ie réfute grace aux séries (je crois que ceIa date de D'AIembert), aIors qu'iI suffit de considérer Ia distance qu'iI reste à parcourir pour s'en passer.
3) Ies Iimites de suites non triviaIes ne sont pas atteintes, aIors, suite ou série !...

II me sembIe qu'iI y a une réfutation toute simpIe qui consiste à dire que Ie rapide rattrape Ie Ient (cf. Aristote, physique, Iivre VI, qu'on trouve en biIingue sur Ia toiIe) en un point qui n'est égaI à aucun des points de "fin d'étapes" définis par Zénon : fin d'étape 1 : M1 : point de départ de Ia tortue, fin d'étape 2 : M2 : point où se trouve Ia tortue au moment où Ie Iièvre est en M1, etc.... Ie point de rencontre M est "au-deIà" de tous Ies Mn (c'est Ie point Iimite de Ia suite des Mn, mais c'est presque anecdotique).

P.S. J'ai été surpris que J.-P. DeIahaye, reprenne ce vieiI argument dans un de ses bouquins.

Qu'en pensez-vous ?

P.P.S. Ia touche "I" de mon cIavier ne fontionne pIus, je tape un "i" majuscuIe à Ia pIace. DésoIé.

serge wodrascka a écrit:

Bonjour, je suis nouveau ici.

Bonjour et bienvenue.


Zenon dit : Tout mouvement est impossible.

Ma pomme rétorque : Bah, oui, t'as juste à arrêter le temps. Qu'est-ce que t'attends, banane !
Qu'est-ce qu'en dit ?

(...)

Hein ? Parle plus fort !

e.v.

[P.S. Il semblerait que Zenon n'ait jamais entendu parler de banane. Ou qu'il en avait une dans l'oreille.]

@serge : mais la durée elle, est atteinte. Donc à moins de remettre en cause l'existence du temps (ce que tu peux faire, mais il te faudra des outils et des arguments physiques d'un niveau bien supérieur à Zénon pour qu'on te prenne au sérieux), l'argument des séries marche. Tu peux "dépasser l'infini", si tant est que les trucs que tu ajoutes deviennent assez petit.
De toute manière, énormément de choses tendent à faire penser que l'espace physique est discret, et de toute manière l'argument de Zénon échoue dés que $2^{-n} <$ distance de Planck.

Explications plus approfondies utilisant les sommes de Riemann (Calcul Intégral):
Achille, la tortue et Rieman

Avant que la flèche n'atteigne son but elle doit d'abord parcourir la moitié du trajet, et avant qu'elle n'atteigne la moitié de son trajet la flèche doit encore parcourir la moitié de la moitié de son trajet, et la moitié du quart, et la moitié du huitième, et ainsi de suite qui fait que la flèche n'atteint jamais son but et à la limite ne part jamais..
De même pendant qu'Achille atteint le point où se trouvait la Tortue, cette dernière entre-temps à eu le temps de parcourir une certaine longueur, aussi minime soit-elle, qui fait qu'Achille ne rattrape jamais la Tortue..
Zénon d'Elée, sophiste ou authentique génie? Les deux mon lieutenant. Zénon est un escroc, mais un escroc qui pose des questions sublimes, insondables, et essentielles sur l'espace, le temps, l'infini, la réalité ou la non-réalité du mouvement..
On va s'arrêter sur le Zénon escroc. On laisse le Zénon sublime aux philosophes..
On dit "Achille atteint le point où se trouvait la tortue", très bien. "Le point" c'est quoi? En mathématiques un point n'a pas de dimensions: le point est une abstraction. Comment dès lors pourrait-on rattraper une abstraction? C'est impossible: plus on avance vers le point, plus celui-ci diminue, se dérobe, s'évanouit.. C'est pourquoi les physiciens et les mécaniciens, pour éviter cet obstacle, parlent toujours de "point matériel".. On le voit bien, l'astuce trompeuse de Zénon consiste à amalgamer des objets réels (les corps physiques d'Achille et de la Tortue, la pointe de la flèche, la cible de la flèche), avec des abstractions ne possédant aucune dimension (le milieu du trajet de la flèche, le quart du trajet, le "point" où se trouvait la Tortue).. Il suffit de donner une dimension au "point", le "point" où se trouvait la Tortue, pour que le paradoxe tombe à l'eau: on va dire que le point où était la Tortue mesure un dixième de millimètre: quand l'écart ( qui diminue toujours) entre Achille et la Tortue atteindra une valeur inférieure à un dixième de millimètre, alors et alors seulement on pourra dire sans mentir aucunement qu'Achille vient de rattraper la Tortue. Voilà le grand paradoxe de la tortue explosé par un petit dixième de mm..

Achille et la Tortue font la course dans les escaliers. La Tortue monte marche par marche, l'une après l'autre, une marche par seconde. Achille, qui a des jambes plus longues, monte les marches deux par deux. En une seconde aussi. Les enjambées de la Tortue valent une marche par seconde, les enjambées d'un seul tenant d'Achille valent deux marches par seconde.
Photo départ: Achille est sur la marche n° 1, la Tortue est sur la marche n° 3 .
Première seconde: la Tortue grimpe d'une marche, elle se retrouve sur la quatrième marche; Achille d'une seule enjambée grimpe de deux marches, il se retrouve sur la troisième marche, il atteint le point où se trouvait la Tortue au départ.
Photo à la fin de la première seconde: Achille est sur la marche n° 3, la Tortue est sur la marche n° 4 .
Deuxième seconde: Achille d'une seule enjambée grimpe encore de deux marches, il va se retrouver sur la cinquième marche: au milieu de sa course, au milieu de son pas, au milieu de son enjambée il survole la quatrième marche, celle où se trouvait précisément la Tortue, mais ne s'y arrête pas: à ce moment précis du survol par Achille de la 4ème marche la Tortue est quelque part entre la 4ème et la 5ème marche, donc effectivement avec une avance sur Achille.. Mais à ce moment-là ni Achille ni la Tortue n'ont fini leur pas: nous ne sommes qu'à la moitié de la deuxième seconde.. Achille continue son pas et à la fin de la deuxième seconde Achille pose son pied sur la cinquième marche. A ce moment précis la Tortue pose elle aussi son pied sur la 5ème marche: Achille et la Tortue sont sur la même marche, Achille vient de rattraper la Tortue.
On peut démonter les paradoxes de Zénon avec des mots simples, des mots de tous les jours que tout le monde comprend. Pas besoin de suites convergentes.

Bien vu, MohaRam, et ce fut l'erreur de la physique classique de croire qu'on pouvait construire la physique sur la base de l'espace et du temps divisibles à l'infini des mathématiciens. En cinématique mathématique, la vitesse d'un point géométrique ne peut avoir aucune limite. La partie purement cinématique de la relativité restreinte repose toute entière sur l'observation qu'il existe bien une vitesse limite pour tout objet physique, fût-il immatériel (sans masse «au repos»). On en déduit directement la transformation de Lorentz, la formule d'addition des vitesses et l'impossibilité d'un référentiel absolu. Si, comme Pythagore, on part de l'hypothèse que l'espace et le temps sont discrets, la vitesse limite est une évidence : c'est celle qui consiste, pour le mobile, à passer d'un quantum d'espace au quantum voisin tout en passant d'un quantum de temps au quantum suivant. Si la découverte de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré embarrassa Pythagore, c'est parce que, lui non plus, ne distingua pas le monde des objets mathématiques de celui des objets physiques. Il est clair qu'il n'existe pas de carré physique, sinon au niveau macroscopique, à une excellente approximation près, compte tenu de la petitesse du quantum d'espace. Par nature, les mathématiques seules ne peuvent rien dire ni du fonctionnement du monde extérieur à l'esprit, ni du fonctionnement de l'esprit sur un plan autre que le plan rationnel, par exemple sur les plans de la perception, de l'émotion, du sentiment... Quant à affirmer que les vérités mathématiques sont absolues, c'est un acte de foi consistant à croire que tout esprit possible fonctionne nécessairement comme le nôtre sur le plan rationnel. (Les religions exigent un acte de foi diamétralement opposé : elles demandent de croire en rejetant la raison humaine.)

Absolument faux.
Tu les regardes courir.
Tu vois Achille rattraper, atteindre, puis dépasser la tortue.
Tu peux affirmer que l'énoncé est faux.
Tu n'as en rien mis le doigt sur l'erreur de raisonnement.

Je reprends ma petite saynète au moment où Achille est sur la 3ème marche, et qu'il enjambe la 4ème marche pour poser son pied sur la 5ème.. Et je pose qu'Achille est obligé sous peine de mort de suivre à la lettre les consignes de Zénon: que va faire Achille? Eh bien pour obéir à Zénon et éviter la mort, Achille va poser son pied à l'endroit précis où se trouvait la Tortue avant que lui-même n'amorce son deuxième pas: c'est-à-dire qu'il va se poser sur la quatrième marche, c-à-d qu'il va réduire de moitié et sous la contrainte l'amplitude de ses pas pour tomber pile sur l'ancienne position de la Tortue, ce qui est on le voit bien parfaitement ridicule.. Au pas prochain Achille placera son pied quelque part entre la 4ème et la 5ème marche, et il se cassera la gueule, pour faire plaisir à Zénon et à Félix..
C'est ce que je voulais dire dans la première saynète, en pensant que les gens comprendraient..

Mathématiquement les paradoxes de Zénon sont inattaquables.. Mathématiquement il n'y a aucune faute dans le raisonnement de Zénon.. Mathématiquement Zénon est irréprochable: il est dans l'orthodoxie mathématique la plus pure et respecte tous les principes, axiomes et postulats mathématiques.. Or l'expérience de tous les jours nous montre que Zénon a tort: les flèches atteignent leurs cibles et les balles rattrapent les lapins.. Alors quoi? La réponse est simple: hors échelle les Mathématiques sont fautives et aberrantes (j'entends des dents qui grincent).. Aller chercher midi à quatorze heures, inventer des séries con verge hante et autres niaiseries, pour prendre Zénon en défaut ne grandit pas les Mathématiques. En fait c'est Zénon qui prend les mathématiques en défaut et délit d'aberration.. L'erreur vient de ce que les Mathématiques divisent allégrement et sans aucun état d'âme le temps et l'espace à l'infini, ce qui est une ânerie en plus d'une impossibilité: diviser un électron, un proton, un photon, un quark, un charme, n'a aucun sens. Les mathématiques c'est mesurer, et pour mesurer il faut des repères: on peut à la limite mesurer l'écart entre deux photons, mais comment mesurer à l'"intérieur" du photon-même (expression qui ne veut rien dire d'ailleurs).. Idem pour le Temps: à tous les coups il doit y avoir une unité minimale de temps, en dessous de laquelle il est impossible d'aller ( mais où les Mathématiciens vont: rien ne les arrête..)..
Il y a une autre solution: Zénon a raison, les Mathématiques ont raison: mais alors dans ce cas l'Espace est un Néant, le Temps une singularité, le Mouvement une illusion: nos âmes sont toutes serrées les unes contre les autres, immobiles, et elles rêvent qu'elles marchent: la vie est un songe.. Bon là c'est plus des maths, c'est du radicalisme religieux: j'entends le gign qui monte les escaliers.. Bonsoir les poteaux

michelr a écrit:

Bien vu, MohaRam, et ce fut l'erreur de la physique classique de croire qu'on pouvait construire la physique sur la base de l'espace et du temps divisibles à l'infini des mathématiciens

Je ne pense nullement que ce fut une «erreur». Je considère que les outils introduits par Newton, Leibniz et consorts nous ont fait faire des pas de géant dans notre compréhension de la nature. Le méthodes "infinitiste", restent des outils incontournables aujourd'hui.
Je pense néanmoins que les approches avec un espace-temps discret peuvent également apporter un éclairage différents, et éventuellement permettre d'unifier la gravité et la MQ. Cf par exemple cet article (en anglais) qui aborde cette question (il parle de Zénon d'ailleurs). Il cite cette réflexion intéressante de Riemann sur la métrique d'une variété différentielle : celle-ci est incluses dans la variété discrète, alors que pour les variété continues, elle doit être apportée de manière exogène.

Il est incontestable que l'intuition nous livre l'espace et le temps comme deux continuums indépendants que l'on peut diviser indéfiniment. C'est de cet espace et de ce temps intuitifs dont traite la géométrie et la cinématique mathématique et tout ce qu'elles en disent est parfaitement prouvé.

Malheureusement, le mouvement de l'énergie dans le vide s'effectue comme si elle respectait un quantum d'espace (la longueur de Planck) et un quantum de temps (le temps de Planck) dont le rapport correspond à une vitesse finie, la même dans tous les référentiels. C'est une simple observation et la question ne se pose plus depuis un siècle. Il est désormais impossible de parler des objets conçus par les physiciens sans tenir compte de ce qu'ils respectent ces quanta d'espace et de temps et, partant, de ce que l'espace et le temps ne sont pas indépendants pour eux. Certes, c'est contre-intuitif, mais c'est un fait : le fonctionnement des objets physiques ne correspond pas à notre intuition de l'espace et du temps.

Revenons à Zénon. Son maître, Parménide, affirmait que l'«Être» est unique et indivisible. On lui objecta qu'il ne pouvait pas expliquer le mouvement. Zénon veut simplement rendre aux opposants la monnaie de leur pièce en montrant qu'eux aussi en sont incapables. Mais ses apories sont fausses, tant la dichotomie et l'Achille (contre l'espace et le temps continus) que la flèche et le stade (contre l'espace et le temps discret). Pour Parménide, la discussion n'avait guère d'intérêt car, pour lui, les phénomènes ne sont que pure illusion. Autant que l'on sache, il n'y avait alors aucune relation entre l'Inde et l'Italie. C'est pourtant exactement ce que disent les brahmanes à la même époque : c'est le voile de la connaissance qui empêche de voir la vérité.

À MohaRam : je n'ai pas dit «faute», j'ai simplement dit «erreur», et encore, uniquement pour ce qui est de rendre compte au mieux des phénomènes physiques. D'ailleurs, Newton lui-même était était déjà turlupiné par son histoire d'action instantanée à distance et il déclare textuellement : «Hypotheses non fingo».

Oui, il est intéressant de noter que le "miracle grec" n'a pas eu lieu en Grèce même.
Ces philosophes dont le projet était de rejeter l'explication de la création du monde par une théogonie, l'action des dieux, et de la remplacer par celle de l'eau, du feu, des éléments, d'un principe premier, d'un Etre unique, se trouvaient dans des colonies périphériques.
D'une part les ioniens, les milésiens, à l'est : côte ouest de la Turquie actuelle, et les îles proches.
De l'autre à l'ouest la "Grande Grèce", qui se situait en Italie du sud. Parménide, Zénon, Pythagore...

Pourquoi cela ?
On explique que ces cités florissantes se sont mis à dégager suffisamment de surplus pour entretenir une classe d'"oisifs", dont la principale occupation était la réflexion.
On peut aussi penser que vivre dans les cités centrales, en guerre quasi permanente entre elles, ne permettait guère le recul nécessaire.
Socrate a été soldat.
Ce n'est qu'après qu'Athènes, avec Socrate, Platon et d'autres, est devenue un centre attractif pour les philosophes.

Hors sujet dans ce contexte, rappelons qu'Archimède, un peu plus tard, était syracusain, la Sicile étant essentiellement constituée de colonies grecques. C'es d'ailleurs lorsque Rome a décidé de mettre fin à cette autonomie, au cours de son affrontement contre Carthage, que Marcellus mit le siège devant Syracuse et que l'un des ses soldats, malgré ses ordres, tua Archimède.

Bonne nuit.