Implication et déduction.

Je ne suis pas sûr de comprendre.

L'implication (en mathématique) est un connecteur logique.

Ce que tu appelles "déduction" est-il le modus ponens ?

Crois-tu que la vérité existe, Ottman ?

S

Si tu définis ''déduire B de A" := "Écrire une démonstration dans laquelle on prouves B en se servant de la véracité de A" alors une implication n'est pas toujours une déduction.

En effet, pour prouver que $A \Longrightarrow B$ est vraie, il faut prouver que $non~A~ou~B$ est vraie.

• Si $non~A$ est vraie il n'y a rien à démontrer. Tu ne déduis pas B de A
• Si $A$ est vraie tu dois fournir une démonstration de $B$ et alors :
  • Soit tu peux démontrer $B$ en utilisant axiomes et théorèmes des maths sans te servir de $A$ donc Tu ne déduis pas B de A
  • Soit pour démontrer $B$ tu utilises des axiomes et théorèmes des maths et tu utilises aussi $A$. Et là Tu déduis B de A

j'aimerais qu'on me dise si la phrase suivante est vraie ou fausse:



On obtient une phrase fausse lorsqu'on reproduit le texte suivant une fois sans guillemets, puis qu'on met un deux-points, puis qu'on reproduit le même texte entre guillemets, puis qu'on met un point final:"On obtient une phrase fausse lorsqu'on reproduit le texte suivant une fois sans guillemets, puis qu'on met un deux-points, puis qu'on reproduit le même texte entre guillemets, puis qu'on met un point final".

Le mot "déduction" a un synonyme partiel peut-être un peu plus neutre qui est "inférence". C'est le passer, dans un texte, de passer d'un énoncé (ou d'une liste d'énoncés que l'on regarde comme l'énoncé qui les conjoncte) à un énoncé "arrivée" et écrivant "donc" entre les 2 entités.

Si on appelle ça une inférence, ie si on écrit "A donc B" et que quelqu'un appelle cet extrait une inférence, on n'ajoutera rien comme commentaire

Si on appelle ça "une déduction" ** , on ajoutera en commentaire que tu as utilisé l'axiome "si A alors B".

Tout ceci n'a rien à voir avec l'implication qui, comme déjà dit plus haut est un connecteur logique banal au même titre que "et ", que "ou", etc.

** ceci venant du fait qu'on attache plus au mot déduction qu'au mot inférence le devoir d'être "scientifiquement irréfutable" (par exemple l'expression "hypothético-déductif" renvoie à la nature des maths d'être infaillibles). Le mot "inférence" étant plus tolérant, on n'a pas besoin de commenter "A donc B" (ie on peut dire au gars "dis donc, ton inférence "A donc B", blablabla". Il ne ressentira pas le besoin de préciser quel est son niveau de garantie).

Par contre si tu dis au gars "dis donc ta déduction "A donc B", blabla", cela renvoie à son évaluation formelle en tant qu'évidence. Et comme rien n'est jamais évident, il est obligé d'admettre qu'il utilise "si A alors B" tacitement, quand il l'écrit. Par exemple s'li écrit "A donc A", on peut lui "comptabiliser " qu'il a utilisé "si A alors A".

«Tout ceci n'a rien à voir avec l'implication...» (c.c.)

Ben, pour un élève sachant parler, si. Car il est incontestable que la signification linguistique des tournures «si A alors B» et «A implique B» est bel et bien «de la vérité de A découle nécessairement la vérité de B» ce qui en fait de parfaits synonymes de «A donc B». Et c'est bien dans ce sens-là qu'elles sont utilisées pour raisonner : si Marie est mère d'Alice alors Marie est plus âgée qu'Alice.
En math, on définit l'implication comme un simple connecteur.On peut alors avoir des «implications» vraies au sens mathématique mais fausses au sens linguistique : Je vois mal comment un prof de math pourrait ne pas insister lourdement sur cette distinction.

il est incontestable que la signification linguistique des tournures «si A alors B» et «A implique B» est bel et bien «de la vérité de A découle nécessairement la vérité de B» ce qui en fait de parfaits synonymes de «A donc B».

Je conteste. "Si ma tante en avait, alors elle s'appellerait mon oncle" n'est pas un parfait synonyme de "Ma tante en a, donc elle s'appelle mon oncle".

À GaBuZoMeu : exemple plaisant, mais pour la seule et unique raison que l'implication est absurde (fausse) du point de vue linguistique. «Si une femme en a, c'est un homme» : en logique usuelle, il ne découle jamais rien d'une prémisse toujours fausse. Consulte un dictionnaire : le verbe «impliquer» est indissociable de la notion de conséquence (et le faux ne peut avoir aucune conséquence).

À Bruno : en l'occurrence, le fait de prétendre qu'on a le droit, du point de vue du sens linguistique, d'utiliser le verbe «implique» alors qu'il n'y a aucun rapport de cause à conséquence et, en particulier, qu'on a le droit de l'utiliser après une proposition toujours fausse ou avant une proposition toujours vraie. (Bien entendu, cela n'interdit pas de le faire par erreur ou, consciemment et délibérément, en manière de plaisanterie.) Or, on a parfaitement le droit d'utiliser le verbe «implique» au sens mathématique dans ces circonstances. C'est pourquoi, encore une fois, je ne vois pas comment un prof de math pourrait ne pas insister lourdement sur cette différence, car il est évident que le sens usuel du verbe «impliquer» est profondément ancré en chacun. Ce serait comme laisser croire qu'un nombre «rationnel» est un nombre conforme à la raison (et, par conséquent, un nombre irrationnel, un nombre absurde) ou qu'un nombre «transcendant» est un nombre exceptionnel (cf., pour un ado : un footballeur transcendant).Sauf que la confusion possible à propos de «implique» me semble nettement plus gênante.

@michelr : tu ergotes, mais tu as tort.
Pour prendre un autre exemple bateau :
"Si tu avances, je tire" n'est absolument pas synonyme de "Tu avances, donc je tire". Tout le monde (sauf toi ?) comprend bien que le "si A alors B " ne contient pas une affirmation de la prémisse A, tandis "A, donc B" contient une affirmation de A.

À GaBoZuMeu : «Si tu avances, je tire». N'importe qui (sauf toi ?) comprend qu'il y a un rapport de cause à effet entre «tu avances» et «je tire». Je dis que «si A alors B» et «A implique B» expriment toujours un rapport de cause à conséquence au sens usuel. Ce n'est qu'en mathématique que mon affirmation est fausse. Quant à la différence de sens que tu perçois entre «si A alors B» et «A donc B», bien sûr qu'elle est réelle, mais elle signifie simplement que je n'ai pas le droit, au sens usuel, d'utiliser la formule «si A alors B» lorsque je ne peux pas la remplacer par «A donc B» à supposer (c'est la valeur du «si») que A soit vrai. Bref, au sens usuel, «si A alors B» n'a absolument pas le sens d'un simple connecteur.

michelr a écrit:

mais elle signifie simplement que je n'ai pas le droit, au sens usuel, d'utiliser la formule «si A alors B» lorsque je ne peux pas la remplacer par «A donc B»

Bonjour michelr,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre le sens de cette phrase
Il me semble qu'il y a beaucoup de situations quotidiennes où on utilise une formule «si A alors B» sans que la prémisse ne soit destinée à être vraie : "Si je l'avais su, je te l'aurais dit", affirmée pour montrer indirectement sa contraposée «si non B alors non A».
Ai-je mal interprété ton propos ?

O.K. J'aurais mieux fait d'écrire : «... lorsqu'on ne peut pas la remplacer par «A donc B» lorsque A est vrai. »

Mais l'important, c'est quand même le fait suivant. Soit l'énoncé : «Si 2 et 2 font 4, la lune est jaune». Pour le mathématicien c'est une implication et, accessoirement, elle est vraie. Pour le premier quidam venu, au sens usuel donc, ce n'est pas une implication parce qu'il n'y a aucun rapport de cause à conséquence et, partant, on n'a le droit ni d'utiliser le mot «implique» ni d'énoncer une telle phrase, sauf à vouloir sciemment énoncer une contre-vérité, à savoir que la lune est jaune parce que deux et deux font quatre. Loin de moi l'idée de vouloir interdire à quelque science que ce soit d'emprunter un mot à la langue ordinaire en lui attribuant un sens technique particulier. Je dis simplement qu'il faut prévenir, et en premier lieu les élèves, qu'en math, le mot «implique» et la tournure «si... alors...», ne sont pas toujours employés dans leur sens usuel.

P.S. : je note que les «contre-exemples» avancés sont systématiquement au futur ou au conditionnel. En principe, dans un raisonnement à portée générale, on utilise plutôt le présent gnomique, non ? C'est bien ce que l'on fait habituellement en math, non ? Et, dans ce cas, la question de savoir
si la prémisse sera ou serait ou est considérée comme vraie ou fausse, ne se pose plus.

Si l'on reste dans le cadre du calcul propositionnel, l'implication est un connecteur binaire, c'est-à-dire une application de $\mathfrak B^2$ dans $\mathfrak B$ (qui désigne l'algèbre de Boole à deux éléments ou $\mathbb Z_2$). La déduction, quant à elle, est une relation de préordre sur l'ensemble des schémas fonctionnels propositionnels. Ce sont donc des objets logiques totalement distincts.

Bruno

P.S. Si j'ai utilisé des notions non familières à Ottman, notamment, je suis prêt à les expliciter.

@michelr: je crois que tu as pas mal répété, en tout cas suffisamment, que tu prétends "dénoncer" (au sens neutre) une différence d'utilisation de "implique" en français et en maths (pour le dire vite, et pour ne pas reprendre ton terme "usuel" auquel je préfère "français").

Personne n'ignore ça (l'exemple comique ultra-célèbre et rabaché étant: "si tu ne manges pas tes haricots, tu prends une baffe")

Par contre, je crois que tu n'as pas vu ce qu'il t'était répondu: ce n'est pas ça que tes interlocuteurs contestent. C'est quand tu dis un deuxième truc, ce deuxième truc étant que dans le cadre "usuel", c'est à dire en français, tu prétends que A=>B veut dire "A donc B".

Ce point-là est très clairement contesté par tes interlocuteurs, même s'il s'agit d'un point non pas de maths mais de langue française.

[small]Par ailleurs, je signale "en passant" que "si j'avais faim alors je mangerais" n'a strictement rien d'une implication, ni au sens usuel, ni en maths. En maths, le conditionnel n'existe pas (c'est des grands trucs, des grands problèmes ouverts contemporains) et en français, c'est un mécanisme dont on ne sait que depuis très peu de temps qu'il nous vient probablement de la Nature (une perception instinctive inconsciente de la réalité quantique, c'est dire ...)[/small]

Un dernier point: en maths comme en français, les mauvais écrivains abrègent souvent par une implication A=>B un énoncé qui n'en est pas une, puisqu'il s'agit en fait de dire $\forall x: (A(x)\to B(x))$. Ce n'est pas à proprement parler une différence entre maths et français, mais une bête et méchante confusion due à un abus de langage (qui devrait d'ailleurs être combattu, mais bon). L'énoncé abrégé qui commence par $\forall x$ c'est ça qui donne l'illusion d'une sorte de mécanisme causal. Et rien n'indique que ce ne soit pas le cas en français aussi, puisque dans la plupart des cas l'implication énoncée en français est elle-même une abréviation de $\forall x(..)$.
Donc ces histoires de "causalité" qui semblent de tenir à coeur quand il s'agit du français, bof bof.

michel a écrit:

qu'en français le verbe «impliquer» ne peut s'utiliser que s'il existe une relation de cause à conséquence

Qu'appelles-tu "relation de cause à conséquence"? Tu vois bien que tu mélanges tout. Vouloir régler la grammaire sur de supposées et fumeuses "lois physiques"...

Par ailleurs, ta réponse à GBZM est incompréhensible.