Théorème de Thalès

Bonjour.

Aucun énoncé n'est obligatoirement un axiome. Dans les présentations actuelles comme anciennes de la géométrie, le théorème de Thalès porte bien son nom, il se démontre.
Pourquoi cette question ?

Cordialement.

Dans les présentations actuelles de la géométrie affine, à partir des espaces vectoriels, c'est un simple exercice de calcul vectoriel (2 ou 3 lignes). Avec l'axiomatique d'Euclide, ou avec celle (bien plus saine) de Hilbert, je ne sais plus. Il me semble qu'autrefois on parlait de coefficient de projection orthogonale. Mais je n'ai plus regardé ça depuis 1975 !

Des géomètres du forum te répondront si tu demandes qu'on passe ce sujet en géométrie.

Cordialement.

Le théorème de Thalès possèdes de nombreuses formulations équivalentes. Notamment, l'énoncé suivant : "toute projection est une application affine" (ou conserve les barycentres). Il est clair que dans une axiomatique fondée sur les espaces affines (ou les propriétés des projections), le "théorème" de Thalès est un énoncé démontrable. Dans d'autres axiomatiques, il va falloir le prendre pour axiome.

Bruno

Pourexemple : a écrit:

Donc on a le choix, soit de le prendre comme axiome soit de prendre une théorie équivalente, ou on aura le "plaisir" de le démontrer.

Je ne pense pas que ce soit une histoire de "plaisir". Quand on écrit un texte à visée "pédagogique", on est amené à faire des choix de présentation : dois-je parler de tel développement, Comment vais-je démontrer tel théorème ? etc. Pour citer un exemple concret, il y a une introduction de l’extension de l'anneau des scalaires d'un module que je trouve confortable car on obtient rapidement l'essentiel ; mais que j'ai abandonné dans "les coniques" parce que cette introduction appliquait l’écriture d’un chapitre sur l'algèbre tensorielle ce qui dépassait mon ambition d'exposition. Je me suis donc obligé à écrire une section sur le complexifié d'un espace vectoriel (puis affine et projectif) où je démontrait "à la main" ce que j'aurais pu court-circuiter.

Bruno

On a une preuve avec des aires.
Cela dit, les géomètres grincent des dents car le théorème est plutôt affine qu'euclidien.

La preuve dont je parle suppose connue les axiomes des aires (notion difficile qu'est celle des aires au sens mathématique).
C'est lié à la théorie de la mesure si je n'exagère pas.
Bon, disons qu'on peut partir de l'aire d'un rectangle puis avec quelques propriétés arriver à celle d'un triangle.
Cela suffit pour Thalès.
On a besoin aussi des propriétés sur les quotients (produits en croix etc.).

Une preuve vectorielle est disponible sur wiki.

Ha flûte !
J'entendais "mesure d'aire" d'un rectangle en fonction des "mesures des longueurs" d'un rectangle.
C'est la "demo par les aires" dont je parlais.

Est-ce le déterminant du coup ?

Les rapports d'aires sont invariants pas les applications affines, mais pas les aires. Qu'entends-tu par "objet affine" ?

Bruno