Cardinal inaccessible sans AC
Bonjour,
Comment définit-on le fait d'être fortement limite pour un cardinal, sans AC ?
La définition que je connais et que wikipedia donne est $card(x) < \kappa \implies 2^card(x) < \kappa$ (avec les notations et le quantificateur évidents), mais la définition de $card(x)$ nécessite l'axiome du choix (on pourrait dire qu'on se restreint aux $x$ ordinaux, mais on aurait tout de même le problème de la définition de $2^card(x) < \kappa$ ). J'imagine que le signe $<$ est ici interprété comme "il n'y a pas de surjection de $2^card(x)$ sur $\kappa$ et il y a une injection de $2^card(x)$ dans $\kappa$", mais je ne suis pas persuadé pour la deuxième condition...
Merci
Comment définit-on le fait d'être fortement limite pour un cardinal, sans AC ?
La définition que je connais et que wikipedia donne est $card(x) < \kappa \implies 2^card(x) < \kappa$ (avec les notations et le quantificateur évidents), mais la définition de $card(x)$ nécessite l'axiome du choix (on pourrait dire qu'on se restreint aux $x$ ordinaux, mais on aurait tout de même le problème de la définition de $2^card(x) < \kappa$ ). J'imagine que le signe $<$ est ici interprété comme "il n'y a pas de surjection de $2^card(x)$ sur $\kappa$ et il y a une injection de $2^card(x)$ dans $\kappa$", mais je ne suis pas persuadé pour la deuxième condition...
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Réponses
On peut, dans un premier temps, dire que si "x" et "y" ne sont pas comparable, "x<y" est faux, donc ...
L'avis de CC sera déterminant.
J'en profite d'ailleurs, allant au dodo pour me dépêcher de te présenter des excuses car j'ai un vague souvenir d'avoir reçu un mp et ça doit être toi il y a quelques jours qui me demandait confirmation que AD=>HC et je n'ai pas dû y répondre, faute de temps. En fait, "non", on ne se permet de dire que AD=>HC (ce n'est pas comme ça qu'on en parle) justement parce que n'ayant pas AC (AD est violemment contre AC), HC n'a plus vraiment de sens profond. (Tu disais que toute partie de IR contenant un fermé non dénombrable, il suit que...)
Il y a cependant une exception notoire c'est que HGC entraine AC. Mais c'est bien une exception :-D où on parle d'arithmétique cardinale avec les mots utilisés avec AC sans AC (mais AC est un théorème qui vient aussitôt suite à l'hypothèse).
Concernant les histoires d'inaccessibles, les auteurs précisent toujours les autres dans les moindres détails quand ils n'ont pas AC. Par exemple, AD => omega1 est un cardinal mesurable (et omega2 aussi). Donc les inaccessibles, sans AC, sont pas des bébêtes aussi passionnantes et identifiées que sous AC (ce qui ne t'empêche pas d'en parler de diverses manières). Mais attention, si tu veux "naivement" dire que alpha <k entraine 2 à la puissance alpha <k pour tout alpha tu retombes très (et trop!) vite sur des choses qui entrainent AC (au moins dans un univers sous k par exemple) et ça n'a plus d'intérêt (ie plus d'intérêt dans l'optique d'étudier un monde sans AC).
Un cardinal $\kappa$ est inaccessible si :
pour tout ensemble $X$, s'il existe une injection de $X$ dans $\kappa$ mais pas de bijection de $X$ dans $\kappa$ alors il existe une injection de $\mathfrak{P}(X)$ dans $\kappa$ mais pas de bijection de $\mathfrak{P}(X)$ dans $\kappa$.
Par contre, il n'est pas clair que ce soit une définition intéressante. En particulier cette définition implique que si on a un inaccessible et un ordinal $\alpha<\kappa$, alors $\mathfrak{P}(\alpha)$, $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\alpha))$, etc. sont bien ordonnés. Si on ajoute l'axiome de fondation ça devrait nous impliquer l'axiome du choix sur les "petits" ensembles.
On pourrait changer en disant : "un ensemble $T$ est inaccessible si (...)", mais ça risquerait de causer des problèmes analogues.
$\kappa$ est inaccessible si et seulement si (il est régulier (notion parfaitement sans problème, même sans AC) et si $\lambda < \kappa$ alors il n'y a pas d'injection de $\kappa$ dans $\mathcal{P}(\lambda)$).