(n-x) et (x), je sèche
Soit (n) un entier >1. Pourquoi (n) est premier si et seulement si, pour tout entier (x) tel que 0<x<n, x et n-x sont premiers entre eux?
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Soit (n) un entier >1. Pourquoi (n) est premier si et seulement si, pour tout entier (x) tel que 0<x<n, x et n-x sont premiers entre eux?
Réponses
Ne serait-ce pas plutôt pas de diviseur commun ?
Mais 35 et 33 n'ont pas de diviseur commun et aucun d'eux n'est premier (ici n = 35 et x = 2).
Ne veux-tu pas plutôt dire "n et x premiers entre eux", càd n'ayant pas de facteur commun autre que 1 ?
35 et 33 sont premiers entre eux car 35 = 5 * 7 et 33 = 3 * 11, pas de facteur commun.
Je corrige
n = 40, x = 3 donc n - x = 37
(n - x) et x son premiers entre eux et n n'est pas premier
Mais sa proposition est encore fausse : pour tout entier $x$, $x$ et $1-x$ n'ont pas d'autre facteur commun que $1$ (et $-1$). Pourtant $1$ n'est pas premier.
Ce que je veux dire c'est:
5-1=4 ; 1 et 4 n'ont pas de facteur commun
5-2=3 ; 2 et 3 n'ont pas de facteur commun
5-3=2 ; 3 et 2 n'ont pas de facteur commun
5-4=1 ; 4 et 1 n'ont pas de facteur commun ; Donc 5 et premier
ou aussi:
6-1=5 ; 1 et 5 n'ont pas de facteur commun
6-2=4 ; 2 et 4 ont un facteur commun
6-3=3 ; 3 et 3 ont un facteur commun
6-4=2 ; 4 et 2 ont un facteur commun
6-5=1 ; 5 et 1 n'ont pas de facteur commun ; Donc 6 n'est pas premier
Allons, donnons un énoncé correct.
Soit $n$ un entier $>1$.
$n$ est premier si et seulement si, pour tout entier $x$ tel que $0<x<n$, $x$ et $n-x$ sont premiers entre eux.
Ah :-) ok ok, déjà merci, je comprends un peu, et la réponse est facile je suppose...?
Oui.
Si $n$ et $n-x$ ont un diviseur commun, $n$ et $x$ ont aussi un diviseur commun puisque $(n-x)+x=n$ (équivalente à $x=n-(n-x)$)
J'étais justement en train de revenir pour m'excuser.
Et pourtant FdP avait mis le doigt dessus !
J'avais préparé un petit texte, que je soumets tout de même, après toi et FdP :
Proposons de ne prendre pour n et pour x que les entiers naturels strictement supérieurs à 1 (tu l'as fait le temps que je rédige)
Si on fixe n et qu'on fait défiler tous les x possibles, strictement inférieurs à n, on teste tous les entiers inférieurs à n et on exige qu'aucun d'entre eux ne soit facteur de n.
On n'exige rien sur la (non) primalité de x.
Aucun entier inférieur à n n'étant un des ses facteurs (puisque x prend toutes ces valeurs), n est bien premier.
Mais cela n'apporte rien, c'est juste l'application de la définition d'un nombre premier, non ?
Avec encore mes excuses.
Si $d$ divise $n$ et $n-x$ alors $d$ divise $n$ et $x$.
Démonstration:
On a:
$x=n-(n-x)$
Donc si $d$ divise $n$ et $n-x$ il divise aussi $x$
Merci tout le monde
aucun de ces nombres face à face n'ont de diviseur commun, et que c'est pareil pour des nombres premiers gigantesques...
$\boxed{\text{Soient m,n deux entiers naturels non nuls.}\\
\text{Si }m+n \text{ est un nombre premier alors }\text{PGCD}(m,n)=1}$
Démonstration:
Puisque $m+n$ est un nombre premier alors $\text{PGCD}(m,n)=m+n$ ou $\text{PGCD}(m,n)=1$
Or, $m+n>n$, puisque $m$ est un entier naturel non nul, donc $m+n$ ne divise pas $n$ et donc $\text{PGCD}(m,n)\neq m+n$.
Ainsi, $\text{PGCD}(m,n)=1$