Propriété universelle.
Bonjour , je suis pas sur de poster au bon endroit... J'ai beaucoup de mal à comprendre la notion de propriété universelle ...Si quelque âme charitable peut m'aider , merci à elle ( l'âme)
Amicalement.
Jean-Louis.
Amicalement.
Jean-Louis.
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Réponses
En théorie des catégories, on essaie souvent de voir quand est-ce que des morphismes peuvent se factoriser par un morphisme particulier, en passant par un objet particulier, etc. La particularité de cet objet est souvent exprimée par une "propriété universelle", qui sera de la forme "il y a des morphismes de cet objet vers blabla tels que truc et tralala commutent, et tels que pour tout objet qui a des morphismes qui vérifient la même chose, on a un morphisme dudit objet vers l'objet universel [ou vice-versa, mais les notions ont souvent des notions duales en théorie des catégories] tel que tralala et trilili commutent".
Je résume avec le cas particulier du produit comme exemple :
Essentiellement, on a un diagramme (dans l'exemple, deux objets, sans morphismes), et une propriété qui nous intéresse (dans notre cas, le fait d'avoir une flèche vers chacun des deux objets); et on cherche un objet qui aurait cette propriété, qui serait "le meilleur" (ici, le produit), c'est-à-dire que toute autre solution "passe par lui" (dans le cas du produit, si on a une flèche $X\to A$, $X\to B$, on en déduit une flèche $X\to A\times B$).
EDIT: selon internet, cela peut se formaliser, tout comme la notion de diagramme, avec des foncteurs
C'est un couple $(A, \delta)$, où $A$ est un $R$-module et $\delta$ est une application $R$-bilinéaire de $M \times N \rightarrow A$ telle que pour toute application bilinéaire $f : M \times N \rightarrow B$, il existe une unique application linéaire $\overline{f} : A \rightarrow B$ qui fasse commuter le diagramme, i.e. $f = \overline{f} \circ \delta$. La construction d'un tel objet n'est pas très compliquée (on prend le $R$-module $R^{(M \times N)}$ quotienté par la bonne relation d'équivalence), et l'unicité à isomorphisme unique près provient tout simplement de la propriété universelle. Si $(A, \delta), (A', \delta')$ sont deux solutions, alors $\delta \circ \delta' = id_{A'}$ et $\delta' \circ \delta = id_A$. L'intérêt du produit tensoriel est qu'il permet de transformer un problème bilinéaire en un problème linéaire.
En espérant que ça t'aide à y voir plus clair.
P.S. Autre exemple : un fil récent a beaucoup mentionné la "propriété universelle de l'anneau de fractions". Soit $A$ un anneau commutatif , $S$ une partie multiplicative de $A$. L'anneau de fractions $S^{-1}A$ représente le foncteur qui à un anneau commutatif $B$ associe l'ensemble des morphismes d'anneaux $f:A\to B$ tels que, pour tout $s\in S$, $f(s)$ est inversible dans $B$.
Cordialement.
Jean-Louis.
Bon, assez parlé en l'air, un exemple, toujours pour les anneaux de fractions que j'ai déjà mentionné.
Données : un anneau commutatif $A$ et une partie multiplicative $S$ de $A$.
Le foncteur de la catégorie des anneaux commutatifs dans la catégorie des ensembles que l'on cherche à représenter : à un anneau commutatif $B$ on associe l'ensemble des morphismes d'anneaux $f:A\to B$ tels que, pour tout $s\in S$, $f(s)$ est inversible (et à un morphisme $\varphi: B\to B'$ on associe l'application $f\mapsto \varphi\circ f$).
La catégorie dont on cherche un objet initial : la catégorie des couples $(B,f)$ où $B$ est un anneau commutatif et $f:A\to B$ un morphisme tel que, pour tout $s\in S$, $f(s)$ est inversible (les flèches $\varphi : (B,f)\to (B',f')$ sont les morphismes $\varphi : B\to B'$ tels que $\varphi\circ f=f'$).
Christophe, toi qui jongle avec les $\to$, tu t'apercevras sans peine que c'est vraiment kif-kif. :-D
Ce qui m'a motivé aussi quand j'ai posté c'est que la partie*** quantificateurs de la définition d'un objet initial (ou terminal peu importe) est généralement toujours très bien affichée sur internet, ce qui aide les néophytes à se raccrocher éventuellement quand ils surfent.
*** cette partie est importante et "ne varie plus ensuite"
Pour CC , "n'est plus jeune" est un euphémisme lol...
Cordialement.
Jean-Louis.
Lire ceci.
Bien cordialement,
Thierry