Propriété universelle.

Je ne sais pas si la notion de propriété universelle est définie formellement, mais je crois pouvoir t'en donner l'idée.
En théorie des catégories, on essaie souvent de voir quand est-ce que des morphismes peuvent se factoriser par un morphisme particulier, en passant par un objet particulier, etc. La particularité de cet objet est souvent exprimée par une "propriété universelle", qui sera de la forme "il y a des morphismes de cet objet vers blabla tels que truc et tralala commutent, et tels que pour tout objet qui a des morphismes qui vérifient la même chose, on a un morphisme dudit objet vers l'objet universel [ou vice-versa, mais les notions ont souvent des notions duales en théorie des catégories] tel que tralala et trilili commutent".
Je résume avec le cas particulier du produit comme exemple :
Essentiellement, on a un diagramme (dans l'exemple, deux objets, sans morphismes), et une propriété qui nous intéresse (dans notre cas, le fait d'avoir une flèche vers chacun des deux objets); et on cherche un objet qui aurait cette propriété, qui serait "le meilleur" (ici, le produit), c'est-à-dire que toute autre solution "passe par lui" (dans le cas du produit, si on a une flèche $X\to A$, $X\to B$, on en déduit une flèche $X\to A\times B$).

EDIT: selon internet, cela peut se formaliser, tout comme la notion de diagramme, avec des foncteurs

La notion de propriété universelle se traduit en termes de foncteur représentable. La page wikipedia en lien présente plusieurs exemples, dont ceux déjà mentionnés.

P.S. Autre exemple : un fil récent a beaucoup mentionné la "propriété universelle de l'anneau de fractions". Soit $A$ un anneau commutatif , $S$ une partie multiplicative de $A$. L'anneau de fractions $S^{-1}A$ représente le foncteur qui à un anneau commutatif $B$ associe l'ensemble des morphismes d'anneaux $f:A\to B$ tels que, pour tout $s\in S$, $f(s)$ est inversible dans $B$.

De mon téléphone : si tu veux t'economiser dans un premier temps la compréhension de trop d'histoires de foncteurs tu peux considérer qu'un objet universel dans une catégorie (à condition de bien la choisir) c'est juste un objet initial. Certes c'est un peu provoc mais c'est simple (le prix à payer étant que le bon choix de la catégorie est une boite noire).

@GBZM: je suis d'accord que c'est kif-kif, mais je me remémore ma (longue!!!) période où je ne touchais pas aux catégories et où le seul mot "foncteur" me décourageait. Du coup, c'est pour ça que j'ai posté mon message à JL, des fois que... (Il n'est plus tout jeune).

Ce qui m'a motivé aussi quand j'ai posté c'est que la partie*** quantificateurs de la définition d'un objet initial (ou terminal peu importe) est généralement toujours très bien affichée sur internet, ce qui aide les néophytes à se raccrocher éventuellement quand ils surfent.

*** cette partie est importante et "ne varie plus ensuite"

Comme tu avais dit ton âge publiquement très clairement, je me suis permis ;-)

Bonsoir tout le monde,

Lire ceci.

Bien cordialement,

Thierry