Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
200 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

retour sur l'AO

Envoyé par Ltav 
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 15:11
@Ltav, il ne s'agit pas de position de force ou de faiblesse, etc. Au départ, je n'ai jamais nié ton honnêteté et tu dois le reconnaitre, je t'ai même félicité de proposer des énoncés formels car au moins tu t'engageais, ils étaient faux, tu en fournissais des "démonstrations" et au moins on pouvait te signaler précisément tes erreurs.

Maintenant avec ton choix d'affirmer << moi, Ltav, j'affirme que le théorème qui formalise l'AO est " il existe un ensemble non vide">> il est beaucoup plus difficile de te croire sincère.

Je ne vois pas pourquoi tu ne dis pas << moi, Ltav, j'affirme que le théorème qui formalise l'AO est " 2+2= 4 ">>

Donc que faire? Dans la mesure où tu prétends que X traduit Y, il n'y a rien à te répondre. Ce n'est ni vrai, ni faux, c'est juste une déclaration vide.

Comme nous avons été plusieurs à te le dire, l'AO, si on est honnête et formel dit "les crottes de 500 km de long existent, sinon elles ne pourraient pas mesurer 500 km de long".

Autrement dit, il dit
"X est bleu, or être bleu => exister, donc X existe",


c'est ça sa forme.

Dans l'autre, fil j'ai donné une explication psychologique de l'erreur que font les gens (d'ailleurs, ils ne la font, c'est juste l'argument qui est fautif, donc pas probant pour un sou), qui est de confondre les deux sujets dans "Paris existe" et "Paris est une grande ville", alors que le sujet est le même dans "Paris existe" que dans "Paris est un mot de 5 lettres".

Acceptant cette évidence, tu as proposé 4 ou 5 démonstrations fausses de l'énoncé faux (+ quelques unes toujours d'énoncés faux en MP) qui traduit réellement l'AO une fois corrigé de sa faute***.

Tu as mis énoormément de temps à reconnaitre ces fautes, mais tu les as reconnues.

Maintenant, tu en es rendu à proposer des preuves d'énoncés... triviaux et qui n'ont rien à voir avec la choucroute en disant "moi Ltav, je dis que 2+2=4 est une traduction de l'AO". Que veux-tu qu'on te dise. J'ai envie de te répondre "si tu veux, pourquoi pas? Ce n'est pas une affaire mathématique que de dire si un énoncé de maths est la traduction d'une phrase de poème de toute façon"

*** il s'agit de l'énoncé:

$$(1):=\forall Divin [(\forall x: (x\in Divin\to x\notin \emptyset)) \to (Divin \neq \emptyset)]$$

Autrement dit de l'énoncé:

$$(2):=\forall A [(\forall x: (x\in A\to x\notin \emptyset)) \to (A \neq \emptyset)]$$

dont ce qui m'inquiète le plus, je vais te dire, n'est pas que tu aies cru le prouver alors qu'il est faux, mais que tu ne sembles en fait pas avoir conscience que (1)=(2). Mais ça, je n'aurais pu te taper un petit cours accéléré que si tu le demandes, car ça nécessite un peu de temps et de réflexion sur comment présenter les choses à un débutant.

Le reste, je me doute que tu peux le gérer seul "comme un grand", par contre, ta façon de faire <<habiter les variables liées par des "passions">> (une remarque** de ton dernier post semble d'ailleurs le reconfirmer énièmement) me désole plus car l'expérience de 22ans que j'ai sur les étudiants m'a montré à quel point ce truc peut faire des ravages dans la compréhension des sciences.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 10/04/2017 15:14 par christophe c.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 15:26
@Blue, voilà, comme promis, j'ai barré l'exemple trop vague de la liste et l'ai remplacé par:

Citation
extrait
<<Prenons aux riches pour donner aux pauvres, ainsi les pauvres vivront mieux>>
<<Prenons l'argent des riches pour le donner aux pauvres, ainsi les pauvres vivront mieux>>

Effectivement, le premier n'était pas un bon exemple de l'erreur "ontologique" (pour lui donner un nom). Par contre, le deuxième exemple me semble bien illustrer le propos, au même titre que les autres. Je fais assez souvent la tournée des troquets en ce moment et je peux t'assurer qu'il y a des tas de co-discuteurs-de-zinc qui croient presque autant que Ltav croit à la pertinence de l'argument ontologique que "ça veut dire quelque chose" et correspond à une réalité l'idée de prendre l'argent au riches pour le donner aux pauvres.

Ils sont persuadés que "les impôts" sont un réel "transfert de richesse" une "réelle redistribution". Il n'y a pas que les "philosopheux ou religieux militant" qui croient à l'argument "Dieu existe, car il n'a pas défaut, et ne pas exister est un défaut". Il n'y a pas que les "philosopheux" qui croient que le sujet "être une capitale" dans <<Paris est une capitale>> est le même que celui du verbe exister dans <<Paris existe>> *** .

J'estime à environ 80% de la population française la part de la population qui croient que prélever l'impôt => redistribuer les richesses (ou qu'interdire les licenciements => plus de licenciements, etc) alors que j'estime à environ 0.5% de la population les "philosopheux-qui-aiment-papoter-sur-l'argument-ontologique".

Une forme de raisonnement ne devient pas "plus valable" ou "plus probante" parce que la démocratie l'exige grinning smiley Même si 100% des terriens votent pour 2+2=59, 2+2 continuera imperturbablement d'être 4 (au langage près).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/04/2017 15:27 par christophe c.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 15:40
Bon eh bien je fais partie de ceux qui croient cela, comme redistribution.
Si il y a une part du gâteau égale à 10 et que X possède 1ui (unité monétaire) et Y possède 9ui. Je pense qu'en prélevant 2ui à Y et en les donnant à X, ça le fait pour X, non ?
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 15:59
avatar
Bonjour @Blueberry,

As-tu entendu parler de Valeur présente nette ? C'est la valeur discountée à ce jour de flux monétaires futurs.

On considère une personne sans revenu : elle s'appelle 'Ruinée'. Elle touche 0 l'année 1, 0 l'année 2, etc. et sa valeur présente nette est 0.

On considère une personne qui perçoit une rémunération de l'Education Nationale, disons 2 000 euros par mois : elle s'appelle 'Riche'. L'année 1 elle reçoit 24 000 euros, l'année 2 encore 24 000 euros (déflatés), etc. Sa valeur présente nette (avec un taux de discount de 3%) est d'envrion 470 000 euros.

Une personne charitable, qui aime bien la redistribution, dit : il suffit de redistributer 100 000 euros de Riche et de les donner à Ruinée. Riche ne peut pas se plaindre car 100 000 euros sur 470 000 euros, il lui en reste suffisamment.

Vois-tu le problème ? Comment prendre les 100 000 euros à Riche ? Quand on dit Madame Bethencourt possède 10 milliards d'euros, parle-t-on de valeur présente nette ou de cash disponible ?
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 16:14
@Blue, mon objectif, n'est pas du tout politique, je m'en fiche. Il semble qu'il y ait un malentendu très simple!!! Qui est d'ailleurs révélateur grinning smiley (l'instinct et les sentiments ont repris le pas sur la pensée).

Je ne te dis pas que c'est faux, ou vrai, je parle de la forme du raisonnement.

Quand tu dis "ôôôôô Charila, qui a la propriété que quand je prononce ton nom (celui que je t'ai donné) je m'envole, permets-moi de m'envoler jusqu'à l'Ecosse, j'ai envie de vacances au vert", si tu t'étonnes de tomber sur le sol en laissant aller les muscles de tes jambes, tu commets "l'erreur ontologique".

Exactement la même si tu t'étonnes, croisant un martien, au cours d'un voyage sur Mars, qu'il dédaigne prendre les 50 millions de dollars que tu lui proposes pour te faire écouter sa musique

Exactement la même si tu t'étonnes, ayant saisi les tableaux de grande valeur qui font la fortune d'Anne Sinclair, et, les portant à l'Olympe où habite Dame Nature, dont tu as la chance de disposer de l'adresse, tu ressors frustré que Dame Nature t'ait non quand tu lui as dit "STP, donne-moi 3 millairds de tonnes de tomates et d'eau pour que je les porte en Somalie"


Exactement la même si tu crois en une magie de la société humaine qui ferait que changer un nombre sur un papier (enfin un ordinateur de banque, concernant un numéro de compte-courant d'une vieille dame Alzheimer ) va faire surgir du sol par magie 200000 appartements du sol

En aucun cas, je ne discute de la véracité ou non du fait (étrange) que la société humaine fasse l'effort de faire semblant de "se mettre au garde à vous" quand elle voit des nombres atterrir sur des papiers et que des cohortes entières de jeunes hommes musclés, tatoués semblent comme par magie se lever tôt, aller creuser le sol, conduire des camions et des bateaux de ciment à travers routes et océans, etc, et finalement en quelques années avoir construit des ... appartement pour de lascifs étudiants parisiens ayant 12.3 à leur bac2017. Mais tu vois bien que le fait de changer 3 octets d'un obscur et insignifiant ordinateur dans une obscur banque n'y est absolument pour rien. (J'ai d'ailleurs déjà expliqué dans d'autres fils par le passé comment ce mécanisme est parfaitement équivalent à une écriture BCE (ie planche à billet) et non à une "redistribution")

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 16:33
avatar
Citation
cc
Mais tu vois bien que le fait de changer 3 octets d'un obscur et insignifiant ordinateur dans une obscur banque n'y est absolument pour rien.

Ben le jour où les octets qui gèrent ton compte en banque cesseront d'être modifiés par l'éducation nationale, je doute que tu continueras à aller donner gratuitement tes cours.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 21:19
Bonsoir,

@Shah d'Ock

Tous les raisonnements que tu as cités sont parfaitement valides une fois que l'on a accepté leurs axiomes.
Mon affirmation est dans la droite lignée de ma position sur l'AO. Je vais préciser.

@CC

D'abord, merci pour ta reconnaissance, je la respecte et te la renvoie. Par ailleurs ne t'inquiète pas, ça ne me dérange absolument pas de "dépassionner" les variables utilisées : si je ne le fais pas toujours, c'est surtout pour rappeler le débat initial, mais je suis d'accord avec toi que l'argument ontologique peut s'adapter à d'autres contextes, avec d'autres variables moins "politisées".

Ensuite, j'ai plusieurs choses très importantes à te dire. Allons-y pas à pas sans nous disperser.

O.K. Pour ultra-résumer : selon toi, l'AO se traduit par (je reprends nos notations précédentes pour éviter les confusions) :

$(1):=\forall Parfait [(\forall x: (x\in Parfait => x\notin \emptyset)) => (Parfait \neq \emptyset)]$

(encore une fois, bien sûr, $(1)$ est parfaitement équivalente à ton $(2)$ où tu remplaces $Parfait$ par $A$).

En français, cela donnerait (je sous-entends "pour tout ensemble $Parfait$ d'êtres parfaits et tout élément $Dieu$ de $Parfait$"):

- Dieu est un être parfait.
- Or, tout être parfait existe.
- Donc l'ensemble des êtres parfaits n'est pas vide.

Cette proposition est fausse, nous sommes d'accord, mais est-elle réellement une traduction fidèle de l'AO ? Déjà, ce dernier ne conclue pas par "l'ensemble des êtres parfaits n'est pas vide" mais par "Dieu existe", ce qui donne la nouvelle proposition plus fidèle :

$(1'):=\forall Parfait [\forall x: ((x\in Parfait => x\notin \emptyset) => (x \notin \emptyset))]$

Tu vois immédiatement que $(1')$ est vraie, que $Parfait$ soit vide ou non.

On croirait la différence entre $(1)$ et $(1')$ imperceptible ou nulle...Or, comme $(1)$ est fausse et $(1')$ est vraie, ces deux propositions ne peuvent pas être équivalentes entre elles, malgré leur ressemblance. Par transitivité, l'une d'entre elle (au moins) n'est donc pas équivalente à l'AO. Quitte à choisir, pour moi, c'est sans hésiter $(1)$, car $(1')$ est identique à l'AO dans sa conclusion. Que penses-tu de ça déjà ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/04/2017 22:47 par Ltav.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 22:23
De mon téléphone : hélas, ton 1' est une fois de plus syntaxiquement incorrecte puisque sa variables x n'est pas liée. Mais de toute façon, elle est vide de contenu , elle dit juste que x n'est pas dans l'ensemble vide or c'est vrai par définition de l'ensemble vide. Elle ne risque donc évidemment pas de traduire ton AO (même si rien ne t'interdit de dire que 6=6 est une traduction de l'AO)

De plus le fait que tu mettes des trucs en plus avec un implique (autrement dit un "ou") montre que tu ne veux toujours pas comprendre qu'aucun "raisonnement t respectable" consiste à établir "blabla OU 3=3". Face à une telle phrase personne ne s'occupe du blabla qui n'est MEME PAS LU!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 23:05
Je remets les bonnes parenthèses.
Quelques mots en passant : tu perds vraiment trop (je dis bien "trop") de temps et d'énergie sur des détails syntaxiques dérisoires et absolument sans intérêt, au lieu de comprendre les vraies idées derrière : ça ressemble à une petite stratégie de décrédibilisation que tu n'aimes pas qu'on te fasse (cf. un fil récent sur les statistiques, les tristes réactions de afk sur ton niveau "élémentaire" en probabilités, etc.). Fin de la parenthèse.

Bon, je reviens à mon dernier post. Peux-tu le relire très très attentivement s'il te plaît ? J'ai montré que la proposition $(1')$ était plus fidèle à l'AO que $(1)$. L'une est vraie et l'autre est fausse, elles ne peuvent donc pas être équivalentes entre elles, ni toutes les deux avec l'AO, et $(1')$ partage la même conclusion que l'AO au mot près.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/04/2017 23:20 par Ltav.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 23:15
Ah et surtout, j'oubliais : si tu penses que $(1')$ ne traduit pas l'AO (contrairement à $(1)$), donne-moi s'il te plaît, à la lettre syntaxique près dans $(1')$, ce qui ne va pas dans cette traduction. On repartira alors d'un bon pied.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 23:28
Et je le confirme à nouveau, selon moi l'AO est bien, en théorie des ensembles, une proposition aussi vraie que "6=6", comme tu dis. N'importe qui peut voir que, par rapport à $(1)$, la proposition $(1')$ est une bien meilleure (peut-être la meilleure) traduction de l'AO. Je donnerais plus de détails.

Bonne soirée.
Re: retour sur l'AO
10 avril 2017, 23:58
Ps: je le précise au cas où. Même si j'ai ouvert ce fil pour l'AO, ça ne me dérange pas personnellement que vous y discutiez d'autre chose, notamment ces questions intéressantes sur l'économie.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 01:57
avatar
Ltav: ce n'est pas juste une question d'accepter les axiomes. Je peux trés bien conceptualiser un dauphin ailé rose concret, sans que ça le rende concret pour autant, au sens où il ne va pas se mettre à exister parce que j'ai pensé à lui. Ça c'est parce qu'il est "concret" au sein de ma conceptualisation, qui elle reste abstraite.
C'est la même chose avec Dieu: je peux très bien imaginer un être dont le seul fait d'être imaginable le rend réel. Mais la proposition "dont le seul fait d'être imaginable le rend réel." est encore dans mon imagination, et que j'imagine cet être ne va pas vraiment le rendre réel.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 02:12
avatar
Ta traduction ne peut pas être correcte, pour la raison suivante: tu traduis l'axiome ce qui est parfait existe par $\forall x \in P, x \not \in \varnothing$ qui est une tautologie pour n'importe quel ensemble $P$. Or il n'y a pas besoin de supposer une tautologie. Si ta traduction était fidèle, il n'y aurais pas besoin de supposer l'axiome "ce qui est parfait existe" pour faire marcher l'argument...
Si tu n'es pas convaincu par cette explication, prenons un exemple simple: il n'existe pas de dauphin ailés rose. Donc un dauphin ailé rose n'est pas parfait. Maintenant, comment prouverais-tu, dans ta formalisation, que $DauphinAiléRose \not \in P$?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 11/04/2017 02:18 par Shah d'Ock.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 10:29
Citation
Ltav
tu perds vraiment trop (je dis bien "trop") de temps et d'énergie sur des détails syntaxiques dérisoires et absolument sans intérêt, au lieu de comprendre les vraies idées derrière :

Cela fait quand-même 200 posts qu'on tourne autour des mêmes malentendus syntaxiques de base. Tu n'es pas encore parvenu à nous dire ce que tu penses toi-même. On en est toujours ou bien à ce que tu proposes des énoncés faux (mais ayant un contenu) que tu déclares "traduction de l'AO" ou des énoncés vides n'évoquant rien, que tu finis, de manière peu enthousiaste, par déclarer "ah si si, moi Ltav, je m'étais trompé, je vous dis que c'est ça, que c'est "2+2 = 4" qui traduit l'AO. Et à chaque fois on perd un temps fou à corriger des couilles (hier encore, tu avais écrit $(\forall xA)\to R(x)$)

Je pers donc un peu patience à prendre du temps à répondre et à corriger tes coquilles si c'est pour me prendre dans la figure "oublie les coquilles, sache t'élever au dessus etlire le fond".

Il faut que tu comprennes bien que nous sommes quelques uns à nous plier en 4 que pour toi. Tu as l'air de croire que les lecteurs de ce genre de forum "peinent" à comprendre. Il n'en va pas du tout ainsi, les lecteurs passifs sont juste en train d'observer si on va réussir à te faire avancer dans ta maitrise de la logique élémentaire formelle, parce que, et cela je te l'ai accordé, tu as eu la très grande honnêteté de proposer des énoncés formels et de t'engager donc d'afficher au grand jour ta non formation à la syntaxe mathématique. Il n'y a pas "de controverse sur l'AO" pour l'instant. Encore une fois, je ne te condamne pas d'avance, on peut toujours caresser un espoir que tu vas nous sortir "l'énoncé qui tue tout" et je serai le premier à t'applaudir.

Pour l'instant, on s'interroge juste, je pense, pour savoir si la toute première honnêteté que tu as manifestée en proposant des énoncés, certes faux, mais avec du contenu, va continuer d'être envisageable depuis que tu as bifurqué vers "Moi, Ltav, je dis que l'AO c'est 2+2=4 et vous ne pouvez pas me dire que c'est faux"

Ca n'en prend pas le chemin pour l'instant, avec ton énoncé 1' qui dit <<pour tout x, si A alors $x\notin \emptyset$>>, dont tu ne vois ou reconnais toujours pas que c'est un énoncé dans lequel A est ignoré par l'analyseur de valeur, puisque de toute façon, l'énoncé $\forall x: x\notin \emptyset$ est une vérité par définition.

Concernant ce qui ne pas dans ton énoncé 1' := $\forall x: (A\to x\notin \emptyse)$, je te l'ai déjà dit 1000 fois et viens à nouveau de le redire.

Citation

ça ressemble à une petite stratégie de décrédibilisation que tu n'aimes pas qu'on te fasse (cf. un fil récent sur les statistiques, les tristes réactions de afk sur ton niveau "élémentaire" en probabilités***, etc.)

Je ne cherche absolument pas à te décrédibiliser. Franchement, tu n'as pas de recul sur nos échanges, je te le répète, les lecteurs pour 70% d'entre eux sur ce forum, sont capables de comprendre la syntaxe de base de $\forall x: [A\to x\notin \emptyset]$ et c'est toi qui revendiques seul ce genre d'énoncé, personne ne t'y force et en te répondant, bien au contraire, je te crédibilise, puisque j'ai l'air pour un passant qui regarde d'accorder de la controverse à ce que tu écris.

***Notre échange n'a rien à voir avec les petites manies rhétoriques d'afk dans d'autres débats. Je vais m'autocasser, mais contrairement à toi, dans le débat avec foys et afk je n'ai pas pu avoir l'honnêteté scripturale apparente que tu as eu ici de proposer des énoncés formels au débat

Par ailleurs les "tu n'y connais rien en proba" d'afk sont tout à fait corrects et vrais et je ne les lui ai pas reprochés comme des énoncés faux, qui auraient dégradé ma crédibilité en probabilité (qui n'existe pas), mais comme des tentatives de hors-sujet d'une part et des tentatives de se valoriser lui pour faire valoir des arguments d'autorité dans un domaine autre que pour le coup il ne connait pas (enfin mal, et avec de gros contre-sens logiques). Mais de toute façon, c'est d'un tout autre niveau que notre échange actuel sur une devinette d'enfant


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 10:48
avatar
Bonjour Ltav,

peut-être que vous êtes bridé par la logique du premier ordre. De ce que j'ai pu lire et considéré comme probant ici fait appel à un formalisme et une conceptualisation différente : la logique modale, voire,c'est une première pour moi de lire ça, la logique du 3e ordre.

Je ne connais pas de bonnes références en la matière pour la logique modale, mais je ne doute pas que des intervenants en donneront (et ce serait note pour plus tard pour moi, car je compte m'y intéresser un jour).

Cela vous permettra ainsi de sortir de la boucle un temps et ce sera sans doute enrichissant intellectuellement.

bonne journée,
S

La poésie n'est pas une solution.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 12:29
avatar
Samok je pense que tu as parfaitement raison mais il est une chose dont il est important de se rendre compte: on peut considérer la logique du premier ordre, puis du second ordre, puis du troisième etc etc... Après on continue: logique d'ordre $\omega$, $\omega+1$ etc, etc. Et puis à un moment, on pourrait se dire qu'on arrête de distinguer les objets en fonction de leur ordre, on gomme le petit $2$ en exposant du quantificateur $\forall^2$ indiquant qu'il s'agit du quantificateur du second ordre, etc etc.
Ben ce qu'on obtient, c'est la théorie des ensembles.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 11/04/2017 14:43 par Shah d'Ock.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 18:57
avatar
Sieur Shah, ce que tu me dis c'est un peu comme les trous noirs, c'est troublant. Tu as quelque chose de plus consistant en référence que je fasse fonctionner ma petite tête?

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 19:04
Je viens de comprendre le jeu de mots!!!yawning smileythumbs downhot smiley
Jean-Louis
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 19:12
avatar
Citation
cc
99% des adhérents (honnête**) de droite du monde le considère comme faux.

Pas du tout, c'est juste qu'ils ne voient pas pourquoi il faudrait aider les pauvres.

Samok: ce n'était pas ni une remarque très profonde (au contraire d'un trou noir) ni très formelle. C'est juste que $\mathcal P(E)$ c'est l'ensemble des propriétés (du premier ordre) sur $E$, $\mathcal (\mathcal P(E))$ c'est les propriétés des propriétés, ie le second ordre, etc. Si je pense à une référence intéressante à ce sujet je te le ferai savoir.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 20:52
Bonsoir,

Merci pour vos réponses.

@Christophe et Shah d'Ock : O.K. Si je vous comprends bien, mon énoncé $(1')$ :

$(1'):=\forall Parfait [\forall x: ((x\in Parfait => x\notin \emptyset) => (x \notin \emptyset))]$

ne traduit pas l'AO car il contiendrait ou serait une tautologie, proposition toujours vraie et donc ignorée par un programme "évaluateur de vérité", alors qu'il n'y aurait pas de tautologie dans l'AO.

Cependant :

- n'est-ce pas aussi le cas de la proposition $(1)$ :

$\forall Parfait [(\forall x: (x\in Parfait => x\notin \emptyset)) => (Parfait \neq \emptyset)]$

qui contient la tautologie $\forall Parfait, \forall x: (x\in Parfait => x\notin \emptyset)$, supposée non contenue dans l'AO ?

Il est clair que $(1)$ comme $(1')$ contiennent au moins une tautologie qui ne serait pas dans l'AO.

Par ailleurs, même en acceptant ces tautologies dans $(1)$ et $(1')$, j'ai montré que $(1')$ était nécessairement plus "fidèle" à l'AO car elle partageait exactement la même conclusion que lui.

Il reste donc deux options à examiner :

A- ou bien on accepte l'existence de tautologies dans les traductions de l'AO, auquel cas il faut privilégier la proposition $(1')$ par rapport à $(1)$.

B- ou bien, on refuse toute tautologie dans les traductions de l'AO, auquel cas il faut rejeter aussi bien $(1)$ que $(1')$.

Afin de pouvoir départager A et B, je vais maintenant apporter un nouvel argument fondamental à la discussion : l'impertinence de $Nex := \emptyset$ comme l'ensemble des éléments qui n'existent pas dans le réel (au sens intuitif que nous connaissons).

Notons que cette définition de $Nex$, pourtant mauvaise, a été "validée" et réutilisée dans ce fil et dans l'autre par presque tous les participants au débat (dont les logiciens professionnels), y compris moi-même : elle figure d'ailleurs dans les propositions $(1)$ (celle de CC, etc.) et $(1')$ (la mienne).

Accepter une telle définition de $Nex$, c'est partager la même définition de l'existence (ou la non-existence) que la théorie des ensembles : dans celle-ci, "exister" veut rigoureusement et seulement dire "appartenir à un ensemble" car :

$\forall E, \forall x (x \in E => x \notin \emptyset)$

(théorème rappelé notamment par Shah et CC), étant donné que l'ensemble vide $\emptyset$ est par définition celui dont les éléments n'appartiennent à aucun ensemble. Être dans $\emptyset$ signifierait donc "ne pas exister" et nous avons quasiment tous repris cette définition sans réflexion sérieuse.

A présent, si l'on admet cette définition de l'existence, alors la théorie des ensembles est le plus grand promoteur historique de l'AO, encore plus que...l'AO lui-même. En effet, l'axiome de l'AO : $\forall x: (x\in S => x\notin \emptyset)$ est toujours vrai et pour tout ensemble, pas seulement pour l'ensemble $Parfait$.

Il n'y a donc rien d'étonnant, malgré les réactions des participants, à ce que la traduction de l'AO par $(1')$, en utilisant la définition $Nex := \emptyset$, devienne elle-même une tautologie : la seule supposition $Dieu \in Parfait$ ou qu'une chose appartienne à un ensemble quelconque, implique automatiquement l'"existence" (au sens de la théorie des ensembles) de Dieu ou de cette chose.

Or, ce qui me gênait depuis un certain temps était la définition de $Nex$. Je l'avais exprimé plusieurs fois, au moins ci-dessus, dans ce fil :

Citation
moi-même
Avant de continuer, il y a un second point à mettre au clair. Il est peut-être à la source de certaines confusions dans ce débat : comment définir l'ensemble $Nex$ des choses qui n'existent pas dans la réalité physique ?

proposant même une traduction de l'AO où $\emptyset$ était remplacé par $Nex$, l'ensemble de tout ce qui n'existe pas dans la réalité physique.

C'est en effet ce qui nous intéresse ici : une existence au sens physique, matériel, non pas au sens conceptuel de la théorie des ensembles ("exister, c'est appartenir à un ensemble").

Aussi, ce n'est pas seulement $(1')$ (je ne parle même pas de $(1)$) qui traduit mal l'AO, comme disait Shah d'Ock, mais la racine du "mal" serait carrément dans la définition $Nex := \emptyset$, inadéquate pour exprimer l'inexistence physique, et partant l'AO. Je m'en suis rendu compte en imaginant un élément $x \in Nex = \emptyset$. Par notre définition souhaitée, $x$ "n'existe pas dans le réel". Or, puisque $x \in Nex$, $x$ existe bel et bien au sens de la théorie des ensembles...Comment un élément peut-il exister et ne pas exister dans le réel ?

J'ai alors compris que l'existence au sens de la théorie des ensembles n'était pas l'existence physique : la définition $Nex:= \emptyset$, que l'on avait unanimement accepté, est donc incorrecte et je pense être le premier ici à le dire clairement. J'avais essayé de discuter du problème avec Shah d'Ock lorsqu'il m'avait parlé du "dauphin ailé rose" et de l'image "vide" d'une application - mais il avait préféré arrêter la conversation. Je pense qu'il commençait alors à réaliser l'étendue du problème.

Mes nombreuses tentatives pour bien traduire l'AO n'étaient (pour ceux qui savent voir autre chose que du "débutantisme" et quelques petites erreurs de syntaxe), que le signe d'une prise de conscience ancienne des difficultés de traduction d'un énoncé (l'AO) aussi simple que :

- Socrate est un homme, or tous les hommes sont mortels, donc Socrate est mortel.

Il ne s'agit donc pas seulement ici d'un problème de traduction de l'AO par une tautologie ou un raisonnement complexe, etc. En vérité, il ne faut plus définir l'existence qui nous intéresse dans l'AO au sens d'"appartenance à un ensemble" de la théorie des ensembles, mais celui de la réalité physique.

Je note donc simplement $Nex$ dans un premier temps l'ensemble des éléments qui n'existent pas physiquement, et $Ex$ comme son complémentaire. On peut aisément les supposer non vides.

L'AO devient alors :

$\forall Parfait [\forall x: (x \in Parfait) \wedge (x\in Parfait => x \in Ex) => (x \in Ex)] \quad \quad (p'') $

Si $x \in Parfait$ (1er axiome de l'AO), alors la théorie des ensembles fait que $Parfait \neq \emptyset$, ce qui a priori n'implique rien au niveau de l'existence physique des éléments de $Parfait$. C'est la supposition du 2nd axiome dans $(p'')$ :

$x\in Parfait => x \in Ex$

qui accomplit cette tâche de "faire exister" l'élément $x$. On en déduit que $x \in Ex$.
CQFD.

@Samok : merci beaucoup pour ton sage conseil.
Disons que dans le problème qui nous intéresse (= traduction de phrases courantes en logique), il est peut-être préférable et plus facile de rester dans le langage logique le plus proche possible du langage courant, la théorie des ensembles.

Si CC et Shah d'Ock, entre autre, sont vraiment équitables (et évitent de m'ennuyer avec des détails sans toucher aux idées), alors ils reconnaîtront sans problème que ce post est un tournant essentiel du débat ou du "film" à suspens qui se joue, comme tu disais. A eux aussi d'en faire l'un des plus beaux matchs du forum.

Bonne soirée.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 12/04/2017 00:46 par Ltav.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 20:59
avatar
Je note que tu pointes cette notion d'existence : est-ce un prédicat ou un quantificateur selon toi ? et selon cc ? et selon Shah d'Ock ? et selon moi ?

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 21:10
De mon téléphone : hélas tu continues de faire les mêmes erreurs de fond qui sont "d'incarner" les variables liées. Je te l'ai dit plusieurs fois. Ton énonce p" n'a encore pas de sens (il manque des parenthèses).

Étant sur mon téléphone j'ai le flemme d'imposer u n endroit où mettre les parenthèses manquantes au risque que tu préférés l'autre endroit.

Si on considère que la variables restée libre x à la fin devrait s'appeler y et qu'on met les parenthèses juste en dessous des crochets pour lier cette x par la forall du début alors p" n'est autre que l'identité permutée (ie si si A alors B alors si alors B en version 1 ; si A alors si si A lors B alors B en V2) autrement dit "2=2".

Je ne pense pas que ce soit ta volonté te de traduire l'AO comme ça grinning smiley

Et tu continues aussi de faire l'erreur de croire qu'on "fait de la théorie des ensembles avant dans la discussion". On était vraiment sur la grammaire de base des maths (ce n'est pas parce qu'on abrège x mapsto faux par emptyset qu'on fait de la TDE).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 21:14
Très bonne question Samok : c'est d'avoir pris l'existence physique comme un quantificateur de la théorie des ensembles qui a apporté toute la confusion dans ce débat.

Pour moi, définitivement, "exister physiquement" est un prédicat, tout comme "être un homme".
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 21:17
avatar
Et pour cc, c'est quoi ? (une autre très bonne question smiling smiley ?)


S

La poésie n'est pas une solution.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 21:18
Et deux petites parenthèses pour faire plaisir à Cc, deux parenthèses ;)
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 21:57
De mon téléphone : maintenant que tu as ajouté les parenthèses je te confirme que tu as écrit :

Forall x,y: (si A=>B alors A=>B)

Donc tu n'arrive toujours pas à écrire ce que TOI MEME voudrait dire. Ça devient fatiguant je ne te reproche rien je dis juste que je ne vais peut être plus me précipiter pour te répondre car tu ne fais pas l'effort de "te relire"

Et PS: les histoires d'existence physique ou pas ne sont pas un problème ici. Je t'avais proposé de noter phi la fonction à un objet associe son nom et de raisonner mais ça n'avait pas non plus abouti. Réutilisé phi si tu ne veux pas continuer les coquilles "involontaires".

Mais j'insiste le plus <<GRAVE>> est ton refus de progresser sur les variables MUETTES. C'est la CAUSE PRINCIPALE de tes coquilles.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 22:34
Pour Shah d'Ock "les trous noirs c'est troublant" c'est un du Sieur Samok.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 11/04/2017 22:35 par Jean--Louis.
Re: retour sur l'AO
11 avril 2017, 23:50
Warren Buffett ?
Laurent Schwartz ?

f(n) = 2 + (2(n!) mod(n + 1)) où f(n) = n + 1 si n + 1 est dans P et f(n) = 2 sinon
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 00:18
avatar
Je pensais à Denis Kessler, mais avec Warren Buffet tu n'étais pas si loin.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 00:45
@CC : puisque tu sais ce que je voulais dire dans $(p'')$ (*), on s'est compris. Je vais encore améliorer la syntaxe ci-dessus.

Par ailleurs, la distinction entre existence physique et existence "purement ensembliste" s'est avérée au contraire fondamentale. Il est simplement faux d'utiliser le quantificateur existentiel à la place du prédicat d'existence. En effet, comme j'ai montré ci-dessus, si $Nex := \emptyset$, soit $x \in Nex$. Alors, par définition, $x$ n'existe pas dans la réalité physique, mais comme il appartient à l'ensemble $Nex$, il existe : contradiction. Même avec la fonction $Phi$ (qui à un objet associe son nom), $Nex$ pose problème car il utilise l'appartenance à l'ensemble vide dans sa définition.

(*) Pour les autres, je voulais dire quelque chose du genre : "Socrate est un homme, or tous les hommes sont mortels, donc Socrate est mortel", version AO.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 10:14
avatar
Ltav, je suis d'accord pour distinguer l'existence physique de l'existence abstraite. Alors $Ex$ c'est l'ensemble des choses qui existent physiquement, c'est à dire notre monde. Mais alors l'argument n'a plus grand chose d'ontologique, car il existe (au sens existence abstraite) d'autres mondes, en particulier un monde $M$ d'intersection vide avec le notre, donc aucun élément de $Parfait$ n'est dans $M$...
J'ai l'impression que petit à petit, pour éliminer les défauts, tu vas converger vers le raisonnement de Kurt Gödel que j'ai donné plus haut.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 10:40
De mon téléphone : je le répète. Il a déjà été discuté de ça avec la fonction "nom de" qui est à valeurs dans un ensemble de mots dont le mot d.i.e.u fait par exemple. Mais s'il veut convaincre qu'il y a "quelque chose" de sérieux derrière le slogan "AO" Ltav peut reprendre ces notations plutôt que de dire que "exister" est un prédicat du 1er ordre (erreur de base qu'on élimine dès les premières minutes du moindre cours d'introduction à la logique ou de la grammaire).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 12:02
Citation
Sha, à Ltav
J'ai l'impression que petit à petit, pour éliminer les défauts

Ca n'en prend pas le chemin, mais ce serait intéressant que ça arrive. Mais il n'y a rien "d'ontologique" dans l'argument de Godel, ce sont des maths (même si comme tu l'as fait remarquer, il y a une récupération de "Dieu est la somme de toutes les propriétés positives" qui donne un argument aux récupérateurs grinning smiley )

Pour simplifier les efforts de Ltav, je lui prépare (une deuxième fois) le cadre minimale, dont il peut se servir, puisqu'il souhaite évoquer la différence entre l'existence physique et l'existence mathématique:

On dispose d'un ensemble de mots $M$.
On dispose d'un ensemble $E$ (que l'on peut voir comme l'ensemble des existants physiques) et on a $M\subset E$.

On dispose d'une partie $A$ de $E$, qui est l'ensemble des éléments de $E$ qui portent un nom (qui appartient à $M$), et pour chaque $x\in A$, on note $\phi(x)$ l'élément de $M$ qui est l'un des noms de $x$, on en a choisi un si $x$ en a plusieurs.

Si Ltav souhaite poser $E=A$ (tout le monde a un nom), why not, mais je ne le fais pas à sa place.
On dispose d'une partie $P$ de $E$ dite "ensemble des éléments parfaits de $E$".
J'abrège par $D$ le mot <<D.i.e.u>> (on fait dans la francophonie grinning smiley ), qui est dans $M$.

Il suit que la phrase incorrecte en français, "Dieu existe" est maintenant une vraie phrase mathématique : $\exists x\in A: \phi(x)=D$. Je la note $G$.

D'une manière générale, pour chaque mot $m\in M$, l'énoncé français <<m existe>> est d'ailleurs juste une abréviation de $\exists x\in A: \phi(x)=m$ (en langage "savant" grinning smiley : $x\in Im(\phi)$)

Si tu l'acceptes, Ltav alors tu n'as plus strictement aucune problème pour nous dire dans ce cadre parfaitement neutre et formel, quels axiomes (de conjonction $C$) tu ajoutes pour obtenir que $C\to G$ (la flèche signifie implique). Il n'est évidemment ici, nulle part question d'ensemble vide ou quoi ou qu'est-ce, qui était un faux problème. (Je rappelle à tous que l'ensemble vide n'est évidemment pas "spécialement vide", en maths, il est juste inclus dans tous les autres. De même, en maths, il n'y a pas de "faux" à proprement parler, mais un énoncé qui entraîne tous les autres, souvent surnommé le faux.

@Shah, je réponds au post suivant, pour ne pas charger, à ta remarque politique.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 12:10
avant de te répondre, Sha, j'en profite, sinon, j'oublierai pour rappeler la définition de $\exists x: R(x)$, parce qu'elle semble assez peuc onnue, même de nombreux matheux, et ne pas la connaitre permet des contre-sens nombreux, bien évidemment pas que dans ce fil, sinon, je n'en parlerais pas.

$$<< \exists x: R(x) >>$$

est une abréviation de


$$<<\forall Y: [(\forall x: [R(x)\to Y] )\to Y]>>$$

En espérant (peu de lectures sur ce fil, j'ai remarqué, ce qui se comprend en un certain sens), que les quelques uns qui croiseront ce rappel (ou cette info) seront aidés dans la suite de leurs études. (En premières années d'études spécialisées, on a tendance à diffuser la mauvaise définition

$$(\exists xA) := (non(\forall x(nonA)))$$

il n'est donc pas inutile de corriger cette faute pour que ceux, vraiment passionnés par les sciences, ne soient pas prisonnier de la logique classiques: la logique classique rend équivalente la mauvaise définition et la bonne, mais c'est la seule, dès la logique intuitionniste, pourtant "à peine" plus faible que la LC, ça devient faux)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 12:30
avatar
Je ne suis pas d'accord avec le passage ci-dessous :
D'une manière générale, pour chaque mot $m\in M$, l'énoncé français <<m existe>> est d'ailleurs juste une abréviation de $\exists x\in A: \phi(x)=m$ (en langage "savant" grinning smiley : $x\in Im(\phi)$).



Ne fais-tu pas une différence entre "Christophe C existe" et "Vercingétorix existe" avant ta traduction formelle qui ne les discerne pas. Moi j'en fais une et donc ta formalisation n'a pas pu capter ce qui est une notion première (comme ça tu ne me feras pas scier avec des définitions), le sens du mot <<e.x.i.s.t.e.r >>.

Exercice laissé au lecteur :
Prouver l'existence de la théorie des ensembles.

S

La poésie n'est pas une solution.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/04/2017 12:36 par samok.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 12:50
@samok: j'ai un peu simplifié mais de manière non influente: Ltav préfère concept à mot, donc il n'a qu'à prendre "concept".

<<Dans X existe>>


Le sujet du verbe exister, quand je dis que c'est le mot X et non ce dont il est le nom, bien sûr, vu la quantitié d'homonymes qu'il y a , je pourrais dire "le concept complet auquel fait référence le mot X" (c'est à dire la suite de carctères avaec toute sa documentation qui définit précisément).

Mais ça ne change rien, on a un ensemble M (ensemble des concepts si tu préfères l'appeler ainsi) et une partie A et certains des concepts $m$ de $M$ ont la propriété que $\exists x\in A: \phi(x)=m$. Par exemple, le "concept de machines à remonter dans le temps" ne vérifie pas ça (enfin actuellement si on prend $A:=$ l'ensemble des machines fabriquées en 2017)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 13:48
avatar
Mon ignorance infinie vient encore de reculer.

$$<< \exists x: R(x) >>$$ est une abréviation de

$$<<\forall Y: [(\forall x: [R(x)\to Y] )\to Y]>>$$

$$<<\forall Y: R(Y)>>$$ est une abréviation de quoi ? Je suppose qu'il n'y a pas de réponse, si !?

Bon j'ai échoué à ton test de matheux d'il y a une paire d'années, on peut pas dire que je suis un matheux qui l'ignorait, en tout cas, super bien cette définition, j'informe mes élèves dès la rentrée, comme je l'ai fait pour les histoires de PGCD au collège, connement je le définissais avec la relation d'ordre $\leqslant$ ...

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 14:00
Bonjour,

Merci pour vos commentaires, quoique j'attendais un peu mieux de l'esprit "sportif" de CC et Shah d'Ock.

Shah: O.K, mais ce que tu dis reviens à changer un axiome ("Être parfait entraîne l'existence physique") par un autre axiome ("Être parfait entraîne l'inexistence physique"). Or, comme je l'ai déjà dit, ce qui m'a surtout intéressé tout au long de ces fils était la traduction correcte et la validité de l'AO une fois admis ses axiomes. Cette validité est bien établie, à condition de faire bien attention avec la notion d'"existence". La discussion ontologique de l'AO fait appel à d'autres domaines (philosophie, métaphysique, etc.). La discussion purement logique, quant à elle, est selon moi bien clôturée.

CC: merci, mais j'ai déjà fait le travail, tu peux avoir l'occasion de le relire (ton raisonnement à la "Marvel" reste différent de l'AO proprement dit). Il était même inutile d'introduire une fonction phi (ou "." dans mon cas) puisque la théorie des ensembles permet de parler d'un concept distinct de l'existence physique.
Re: retour sur l'AO
12 avril 2017, 14:17
Citation
Ltav
Cette validité est bien établie

@Ltav, ah bin si tu t'improvises juge et parti, pas de souci, mais tu n'as convaincu personne. grinning smiley grinning smiley

Je le répète, tu as eu le courage de proposer des énoncés formels. Ils étaient tous ou bien faux ou bien vides. Je te mets au défi, si tu penses avoir réussi d'en reposter un qui marche.

Il semble que tu t'aventures maintenant pour dire "l'AO est valide mais pas pour des raisons mathématiques". C'est ton droit, mais 2 fils fournis sur un forum de maths, avec travail et efforts de ta part, c'est dommage de les terminer ainsi, par un aveu d'échec pas vraiment énoncé sobrement.

Ensuite, je reviens sur ce que tu dis:

Ltav: "l'AO est valide mais pas pour des raisons mathématiques"

Pourquoi pas? Mais quel AO?

J'espère quand-même que tu n'espères pas exprimer avec cette pirouette qu'il y a "une raison non mathématique qui rend valable la devinette pour enfant << Dieu n'a pas de défaut, or ne pas exister est un défaut, donc Dieu existe>>

ou tous ses synonymes divers que sont (liste non exhaustive):

<< Dieu est parfait or être parfait => exister, donc Dieu existe>>

<< Dieu est la somme de toutes les propriétés positives, or l'existence en est une, donc Dieu existe>>

etc, etc

Dans ton intérêt, je souhaiterais aussi revenir et donner plus d'audience à une remarque très gravement fausse que tu as faite. J'en ai parlé, mais j'ai juste trop vite corrigé ton erreur en pensant que c'était "une erreur parmi d'autres". Or, je pense que je me suis peut-être trompé sur la perception que tu en as. Mais j'ai la flemme de te citer en cherchant le post exact, mais je suis fidèle à ton propos. Tu as écrit un truc comme:

Ltav: << exister est un prédicat>>


Bon, c'est une erreur tellement de base (c'est la première qu'on corrige dans n'importe quel cours de logique, grammaire, ou informatique pour éviter que les étudiants restent bloqués devant leur pc avec aucun programme qui tourne). Mais ce n'est pas parce que c'est une erreur de base qu'on corrige vite et facilement que tu ne la commets pas.

Donc ma question est: était-ce une étourderie, une coquille, ou maintiens-tu que exister est un prédicat (qui s'applique à la cible bien sûr, pas au mot ou au concept, je ne parle pas du prédicat $NonVide(A):= \exists x: x\in A$, qui se traduit en français avachi par $\exists [A]$ (en français "A existe", qui est un faux ami puisque signifie en fait A non vide)?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 12/04/2017 14:19 par christophe c.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 841, Messages: 1 545 272, Utilisateurs: 28 380.
Notre dernier utilisateur inscrit soumiamaths.


Ce forum
Discussions: 2 631, Messages: 53 678.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page