Dualité en langage des catégories

Bonjour à tous,

Soit $ \mathcal{C} $ une catégorie.
Notons : $ \mathcal{C}^{ \vee } = \mathrm{Func} ( \mathcal{C} , \mathrm{Ens} ) $.
Soit $ \Omega \ : \ \mathcal{C}^{ \vee } \times \mathcal{C} \to \mathbb{Ens} $, un bifoncteur défini par : $ \Omega (F , X ) = F(X) $.
Sous quelles conditions sur $ \Omega $, $ \mathcal{C} $ et $ \mathcal{C}^{ \vee } $ a-t-on $ \mathcal{C}^{ \vee \vee } \simeq \mathcal{C} $ ?
Sous quelles conditions a-t-on $ \mathcal{C}^{ \vee } \simeq \mathcal{C} $ ?
Vous pouvez faire l'analogie avec la notion de dualité en algèbre linéaire, et le lemme ( plongement ) de Yoneda pour saisir le contexte de ce problème.

Merci d'avance.