Treillis produit
Bonjour,
j'appelle treillis (sous-entendu $\sigma$-complet [EDIT] orthocomplémenté [/EDIT]) tout ensemble ordonné avec un plus petit élément, un plus grand élément, et dans lequel toute partie finie ou dénombrable possède un sup et un inf[EDIT], et qui possède une involution $a \mapsto a^\perp$ qui est décroissante et se comporte bien vis-à-vis des inf et sup finis et qu'on appelle orthocomplément.
Je dis que $a$ et $b$ sont orthogonaux si $a\leq b^\perp$. Je dis que $a$ et $b$ sont compatibles s'il existe $a'$, $b'$, $c$ deux à deux orthogonaux, tels que $a = a' \vee c$ et $b = b'\vee c$ (il y avait des $\wedge$ à la place des $\vee$, c'était un typo, merci marco !)[/EDIT].
J'appelle morphisme de treillis toute application entre treillis qui envoie le plus petit élément sur le plus petit élément, le plus grand élément sur le plus grand élément, telle que pour toute partie finie, l'inf des images soit l'image de l'inf, et telle que pour toute partie finie ou dénombrable, l'image du sup soit le sup des images[EDIT] et qui commute à l'orthocomplément et si deux trucs compatibles sont envoyés sur deux trucs compatibles.
Deux morphismes $f : A \rightarrow T$ et $g : B \rightarrow T$ (de même but !) sont dits compatibles si $\forall a \in A, b\in B$, $f(a)$ et $g(b)$ sont compatibles[/EDIT].
Deux exemples de tels trucs : une tribu sur un ensemble, ordonnée par l'inclusion, est un treillis, et l'ensemble des sous-espaces fermés d'un espace de Hilbert en est un aussi.
Des exemples de morphismes de treillis : si $(X_1,T_1)$ et $(X_2,T_2)$ sont des espaces munis d'une tribu, et $f : X_1 \rightarrow X_2$ est mesurable, alors $f^{-1} : T_2 \rightarrow T_1$ est un morphisme de treillis. Sous des hypothèses sympathiques, tout morphisme de treillis entre $T_2$ et $T_1$ est de cette forme.
Je m'intéresse au problème du produit (ou somme ? je me trompe toujours dans le sens des flèches) de treillis, c'est-à-dire que je voudrais savoir si, étant donnés deux treillis $T_1$, $T_2$, il existe un treillis $T$, deux morphismes de treillis [EDIT]compatibles[/EDIT] $\pi_i : T_i \rightarrow T$ tel que pour tout treillis $S$ et tout couple de morphismes [EDIT]compatibles[/EDIT] $f_i :T_i \rightarrow S$, il existe $f : T \rightarrow S$ tel que $f \circ \pi_i = f_i$ pour tout $i$.
Si $T_1$ et $T_2$ sont des tribus sur des ensembles $X_1$ et $X_2$, alors un bon candidat pour $T$ serait la tribu produit $T_1 \otimes T_2$ sur le produit $X_1 \times X_2$, $\pi_1$ serait $A \mapsto A \times X_2$, et $\pi_2$ serait $B \mapsto X_1 \times B$. Dans le cas où $S$ est la tribu sur un ensemble sympathique, alors les morphismes $f_i$ sont des images réciproques de "vraies" applications mesurables, et on construit $f$ comme l'image réciproque du produit de ces deux vraies applications mesurables. Mais si $S$ n'est pas de cette forme-ci, je ne sais pas comment faire !
Et puis si $T_1$ et $T_2$ sont les treillis des sous-espaces de deux Hilbert, je pense que le produit doit être le treillis des sous-espaces du produit tensoriel des Hilbert, mais bon, je ne sais pas le démontrer non plus...
Ma (première) question est donc : connaissez-vous une certaine sous-catégorie $C$ de treillis, contenant les exemples déjà cités, telle que $T_1 \otimes T_2$ (au sens du produit de tribus) est le produit (au sens catégorique) dans $C$ de $T_1$ et $T_2$ (supposés être des tribus) ?
Je pose la question car je m'intéresse aux fondements mathématiques et logiques de la MQ (merci Christophe !).
j'appelle treillis (sous-entendu $\sigma$-complet [EDIT] orthocomplémenté [/EDIT]) tout ensemble ordonné avec un plus petit élément, un plus grand élément, et dans lequel toute partie finie ou dénombrable possède un sup et un inf[EDIT], et qui possède une involution $a \mapsto a^\perp$ qui est décroissante et se comporte bien vis-à-vis des inf et sup finis et qu'on appelle orthocomplément.
Je dis que $a$ et $b$ sont orthogonaux si $a\leq b^\perp$. Je dis que $a$ et $b$ sont compatibles s'il existe $a'$, $b'$, $c$ deux à deux orthogonaux, tels que $a = a' \vee c$ et $b = b'\vee c$ (il y avait des $\wedge$ à la place des $\vee$, c'était un typo, merci marco !)[/EDIT].
J'appelle morphisme de treillis toute application entre treillis qui envoie le plus petit élément sur le plus petit élément, le plus grand élément sur le plus grand élément, telle que pour toute partie finie, l'inf des images soit l'image de l'inf, et telle que pour toute partie finie ou dénombrable, l'image du sup soit le sup des images[EDIT] et qui commute à l'orthocomplément et si deux trucs compatibles sont envoyés sur deux trucs compatibles.
Deux morphismes $f : A \rightarrow T$ et $g : B \rightarrow T$ (de même but !) sont dits compatibles si $\forall a \in A, b\in B$, $f(a)$ et $g(b)$ sont compatibles[/EDIT].
Deux exemples de tels trucs : une tribu sur un ensemble, ordonnée par l'inclusion, est un treillis, et l'ensemble des sous-espaces fermés d'un espace de Hilbert en est un aussi.
Des exemples de morphismes de treillis : si $(X_1,T_1)$ et $(X_2,T_2)$ sont des espaces munis d'une tribu, et $f : X_1 \rightarrow X_2$ est mesurable, alors $f^{-1} : T_2 \rightarrow T_1$ est un morphisme de treillis. Sous des hypothèses sympathiques, tout morphisme de treillis entre $T_2$ et $T_1$ est de cette forme.
Je m'intéresse au problème du produit (ou somme ? je me trompe toujours dans le sens des flèches) de treillis, c'est-à-dire que je voudrais savoir si, étant donnés deux treillis $T_1$, $T_2$, il existe un treillis $T$, deux morphismes de treillis [EDIT]compatibles[/EDIT] $\pi_i : T_i \rightarrow T$ tel que pour tout treillis $S$ et tout couple de morphismes [EDIT]compatibles[/EDIT] $f_i :T_i \rightarrow S$, il existe $f : T \rightarrow S$ tel que $f \circ \pi_i = f_i$ pour tout $i$.
Si $T_1$ et $T_2$ sont des tribus sur des ensembles $X_1$ et $X_2$, alors un bon candidat pour $T$ serait la tribu produit $T_1 \otimes T_2$ sur le produit $X_1 \times X_2$, $\pi_1$ serait $A \mapsto A \times X_2$, et $\pi_2$ serait $B \mapsto X_1 \times B$. Dans le cas où $S$ est la tribu sur un ensemble sympathique, alors les morphismes $f_i$ sont des images réciproques de "vraies" applications mesurables, et on construit $f$ comme l'image réciproque du produit de ces deux vraies applications mesurables. Mais si $S$ n'est pas de cette forme-ci, je ne sais pas comment faire !
Et puis si $T_1$ et $T_2$ sont les treillis des sous-espaces de deux Hilbert, je pense que le produit doit être le treillis des sous-espaces du produit tensoriel des Hilbert, mais bon, je ne sais pas le démontrer non plus...
Ma (première) question est donc : connaissez-vous une certaine sous-catégorie $C$ de treillis, contenant les exemples déjà cités, telle que $T_1 \otimes T_2$ (au sens du produit de tribus) est le produit (au sens catégorique) dans $C$ de $T_1$ et $T_2$ (supposés être des tribus) ?
Je pose la question car je m'intéresse aux fondements mathématiques et logiques de la MQ (merci Christophe !).
Réponses
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Pour les flèches dans ce sens c'est une somme (ou coproduit). Pour t'en souvenir, pense à la catégorie des ensembles dans laquelle le produit est... le produit :-D
Que notes-tu $T_1 \otimes T_2$ ?
J'ai l'impression que dans la catégorie des treillis en général la somme ne sera pas facile à décrire (parce qu'a priori on a envie de dire que les éléments de l'image de $T_1$ et ceux de celle de $T_2$ sont incomparables, mais dans ce cas là leur sup serait nécessairement $1$ mais ça ne marcherait pas avec la propriété universelle: les éléments de leurs images devraient donc être comparables ::o
Je ne sais pas s'il existe un coproduit généralement -
Le produit de tribus, c'est la tribu engendrée par les produits.
Oui, tu as raison ! J'ai complètement oublié de détailler tout un tas de trucs. J'édite mon premier post pour préciser deux trois trucs. -
Ok, mais avec tes modifications tu perds le fait qu c'est réellement une somme (puisque tu te restreins à certaines flèches).
Cependant la question est intéressante (pas le temps d'y réfléchir vu l'heure) -
C'est vrai... J'ai utilisé le mot "produit" (à tort, d'ailleurs, merci de me l'avoir fait remarquer... j'ai pensé à la catégorie dans laquelle la somme est... le produit cartésien, si je ne me plante pas...) pour attirer les chaland.e.s !
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Je précise encore un peu mes questions. Je voudrais en fait définir, pour deux morphismes de treillis $f,g : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow T$, les morphismes de treillis "somme" et "produit".
Soit $(X,T)$ un espace mesurable. Soient $\tilde{f} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow T$ et $\tilde{g} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow T$ deux morphismes de treillis (ils sont automatiquement compatibles). Notons également, pour $i = 1,2$, $\pi_i : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ la $i$ème coordonnée. Alors pour tout $i$, $\pi^{-1}_i : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ sont des morphismes de treillis.
Alors il existe $f$ et $g$ deux fonctions mesurables $X\rightarrow \mathbb{R}$ telles que $\tilde{f} = f^{-1}$ et $\tilde{g} = g^{-1}$. $p := x \mapsto (f(x),g(x))$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ mesurable. On a alors $p^{-1} \circ \pi_1 = \tilde{f}$ et $p^{-1} \circ \pi_2 = g$. Autrement dit, si on restreint les buts des flèches à être des tribus, le coproduit de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ avec lui-même existe !
Soit $m : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ l'application somme (ou produit). Alors on a évidemment $m \circ p = x \mapsto f(x) + g(x)$ (ou $f(x)g(x)$). On a alors évidemment que $(m \circ p)^{-1} = p^{-1} \circ m^{-1}$, ce qui suggère que si on sait définir $p^{-1}$ (le coproduit recherché !), alors on sait construire la somme (ou le produit) de $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$.
Dans le cas hilbertien, si $T$ est le treillis de ses sous-espaces fermés, et si $\tilde{f},\tilde{g} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow T$ sont deux morphismes compatibles, alors $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$ sont les mesures-à-valeurs-projections associées à deux opérateurs autoadjoints pas forcément bornés $F$ et $G$. Comme ils commutent (au sens fort !), leur somme $F + G$ et leur produit $FG = GF$ ont un sens, et sont des opérateurs autoadjoints non bornés (de domaine possiblement plus petit que l'intersection de ceux de $F$ et $G$). Par le théorème spectral, on associe à ces opérateurs deux morphismes de treillis $\tilde{f} + \tilde{g}$ et $\tilde{f}\tilde{g}$. Par contre, je n'ai pas d'analogue de $p$ à composer avec $m$ comme dans le cas précédent ! Parce que rien ne me dit que $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$ "se prolongent" à $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ de manière à faire commuter le diagramme, comme ci-dessus.
En fait, de manière générale, je voudrais pouvoir donner un sens à la somme et au produit de deux "observables" compatibles, i.e. des morphismes de treillis compatibles $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \rightarrow T$, et ce de la même manière, que $T$ soit une tribu ou le treillis des sous-espaces fermés d'un Hilbert.
Si j'avais des coproduits, ce marcherait comme dans le cas des tribus ! Mais sans coproduits, je ne sais pas faire.
A mon avis, cela doit même être possible de remplacer $\mathbb{R}$ par un espace topologique sympathique et de remplacer somme et produit par n'importe quelle loi de composition borélienne...
Je ne sais pas s'il faut déplacer ce fil en analyse... -
Bonjour,
> Je dis que $a$ et $b$ sont compatibles s'il existe $a'$, $b'$, $c$ deux à deux orthogonaux, tels que $a = a' \wedge c$ et $b = b'\wedge c$.
Est-ce que ce n'est pas la borne sup qu'il faut choisir: $a=\sup(a',c)$ et $b=\sup(b',c)$ ?
(à moins que cela ne change rien)
En effet, si on choisit la borne inf $\wedge$, dans le cas des sous-espaces fermés d'un Hilbert, si $a', b'$ et $c$ sont orthogonaux, on a alors nécessairement $a=a' \wedge c= a' \cap c=\{0\}$, et de même $b=b' \wedge c=\{0\}$. Donc le seul couple d'éléments compatibles sera $(\{0\},\{0\})$
> je voudrais savoir si, étant donnés deux treillis $T_1$, $T_2$, il existe un treillis $T$, deux morphismes de treillis [EDIT]compatibles[/EDIT] $\pi_i : T_i \rightarrow T$ tel que pour tout treillis $S$ et tout couple de morphismes [EDIT]compatibles[/EDIT] $f_i :T_i \rightarrow S$, il existe $f : T \rightarrow S$ tel que $f \circ \pi_i = f_i$ pour tout $i$.
> Si $T_1$ et $T_2$ sont des tribus sur des ensembles $X_1$ et $X_2$, alors un bon candidat pour $T$ serait la tribu produit $T_1 \otimes T_2$ sur le produit $X_1 \times X_2$
Il me semble que le candidat pour la somme (en effet, je crois que c'est la somme tel que défini) est plutôt la tribu $T_1 \times T_2$ sur l'espace union disjointe de $X_1$ et $X_2$: $X_1 \times \{0\} \cup X_2 \times \{1\}$ (je ne sais pas comment l'écrire en latex). -
@marco : Oui, merci, c'était les sup qu'il fallait prendre. Je vais éditer.
Pour le "problème universel" que je voulais définir, plaçons-nous dans le cas des tribus. Soient $(X_1,T_1)$, $(X_2,T_2)$ des espaces mesurables. Un triplet $((X,T), \pi_1, \pi_2$ où $\pi_1 : X \rightarrow X_i$ sont des applications mesurables est dit coproduit de $(X_1,T_1)$ avec $(X_2,T_2)$ si pour tout espace mesurable $(A,S)$, et tout couple d'applications $f_i : A \rightarrow X_i$ il existe une unique application $f : A \rightarrow X$ qui fait commuter tout le diagramme.
Là, je crois bien que la solution du problème est $(X_1\times X_2,T_1 \times T_2)$ muni des projections sur les deux coordonnées.
Si on avait renversé les flèches, cela aurait donné la somme de $X_1$ et $X_2$, je crois.
Maintenant, si on considère le foncteur qui à un espace mesurable associe l'objet treillis qui est sa tribu, et qui à une application $f$ mesurable associe son image réciproque, est un foncteur contravariant. C'est pourquoi j'ai formulé, dans le premier post, le problème universel avec les flèches renversées, puisque je vois, via le foncteur précédent, la catégorie opposée des espaces mesurables comme une sous-catégorie de la catégorie des treillis. -
Oui, d'ailleurs dans mon exemple $f_1(T_1)$ (ou $f_2(T_2)$) n'était pas une tribu sur $X_1 \cup X_2$: l'image ne contient pas $X_1 \cup X_2$.
-
Pour alimenter un peu le fil :
Soient $E_1$ et $E_2$ sont deux ensembles finis. Notons $\pi_1 : E_1 \times E_2 \rightarrow E_1$ la première projection, et $\pi_2$ la deuxième.
Pour tout couple de morphismes de treillis compatibles $f_1 : \mathcal{P}(E_1) \rightarrow T$, $f_2 : \mathcal{P}(E_2) \rightarrow T$, il existe un unique morphisme de treillis $f_1\otimes f_2 : \mathcal{P}(E_1 \times E_2) \rightarrow T$ tel que $\forall i \in \{1,2\}$, $f_1 \otimes f_2 \circ \pi^{-1}_i = f_i$.
Pour le définir, il suffit de poser $f_1 \otimes f_2 (A) := \vee \left\{f_1(\{e_1\}) \wedge f_2(\{e_2\}) \ \vert \ (e_1,e_2) \in A\right\}$ et de vérifier que ça fonctionne. En fait, il s'agit surtout de tricher et de restreindre toute la discussion ci-dessus à la classe des $T$ pour lesquels ça fonctionne.
Je voudrais faire pareil pour des espaces topologiques gentils $E_1$ et $E_2$ et avec les tribus boréliennes. Pouvez-vous m'aider ? -
Georges : je suis désolé je viens de me rendre compe que j'ai raconté n'importe quoi par rapport à l'incomparabilité :-?
Bien sûr qu'il y a un coproduit dans la catégorie des treillis (au sens où tu l'entends), et il est très simple à expliciter : c'est le produit !
Je n'ai pas trop réfléchi aux orthocompléments et aux conditions que tu appelles compatibilité, mais si j'appelle (en modifiant ta définition) un m-treillis un ensemble ordonné dans lequel on a un plus petit élément, un plus grand élément, une inf des parties finies, une sup des parties finies, et si j'appelle morphisme de m-treillis une application qui commute aux infs/sups finies et aux max et min, alors on obtient une catégorie, et dans cette catégorie on a un coproduit.
Pour le voir, soit $T_1, T_2$ deux m-treillis, et pour simplifier les notations j'appelle $0$ leur min, $\land, \lor$ les bornes infs et sups de deux éléments respectivement. Alors posant $T=T_1\times T_2$ avec l'ordre produit (donc pas lexicographique). Il est clair qu'en définissant $\land, \lor$ sur $T$ coordonnée par coordonnée on obtient un m-treillis. Notant $p_i: T_i\to T$, $a\to (a,0)$ (ou $(0,a)$ selon), et si $f_i : T_i\to U$ sont deux morphismes de m-treillis, alors $f: T\to U$, $(a,b) \to f_1(a)\lor f_2(b)$ est l'unique morphisme de m-treillis $T\to U$ faisant commuer les bonnes choses.
Donc on a un coproduit. Ajouter des conditions, à mon avis, ne changera rien (en tout cas pour l'orthogonal c'est sûr) . Je n'ai pas encore réfléchi aux autres conditions et comment ça s'applique à tes tribus -
Je vais lire soigneusement ce que tu proposes. Mais c'est marrant, j'aurais choisi $a \mapsto (a,1)$ et $f : (a,b) \mapsto f_1(a) \wedge f_2(b)$.
-
Si tu veux choisir cette application, il faudra choisir $p_1(a) = (a,1)$ et similairement pour $p_2$. Je n'ai pas "choisi" $\lor$, une fois que j'avais fixé les $p_i$ je n'avais pas le choix (si j'avais eu le choix, ce ne serait pas un coproduit :-D)
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Mmmh, par ordre produit tu veux dire $(a,b) \leq (a',b')$ si $a \leq a'$ et $b \leq b'$ ? Si c'est le cas, alors $p_1 : T_1 \rightarrow T_1 \times T_2 : a \mapsto (a,0)$ n'est pas un morphisme de treillis, car $p_1(\max T_1) = p_1 (1) = (1,0) < (1,1) = \max(T_1 \times T_2)$.
Ca ne marche pas non plus avec $a \mapsto (a,1)$, d'ailleurs.
Ce que j'ai en tête (peut-être que j'ai mal formulé mon problème, d'ailleurs), c'est que si on se donne $X_1$, $X_2$ deux ensembles, et $T_1$ et $T_2$ deux ensembles de parties stables par intersections finies, unions finies, et complémentaire, alors ce que je voudrais appeler le produit, c'est l'ensemble de parties de $X_1 \times X_2$ qui est le plus petit sous-ensemble de $\mathcal{P}(X_1 \times X_2)$ stable par intersections finies, unions finies, et complémentaire, contenant $T_1 "\times" T_2 := \{a \times b \ \vert \ (a,b) \in T_1 \times T_2\}$ ; et ce truc là est en général strictement plus grand que $T_1 "\times" T_2$.
Quand on rajoute dénombrable, ça se complique encore plus. -
Ah oui zut, j'avais oublié le max :-? Il faut que je réfléchisse plus avant de poster des trucs...
Donc finalement ce ne sont vraiment plus les treillis qui t'intéressent mais seulement les treillis liés aux tribus -
Non, non. Finalement, ce que je veux, c'est trouver une classe de treillis naturelle (dans le sens où je cherche des propriétés suffisantes simples garantissant que ce que je raconte après soit vrai) contenant les tribus et l'ensemble des sous-espaces fermés d'un Hilbert telle que si on a deux tribus $T_1$ et $T_2$, elles ont un coproduit, dans le sens où pour tout couple de morphismes compatibles $T_i \rightarrow T$ avec $T$ un treillis dans cette classe, il existe blabla précisé plus haut.
En fait, dans le cas particulier où $T$ est une tribu ou l'ensemble des sous-espaces fermés d'un Hilbert, j'ai l'impression que j'arrive à démontrer ça, via une caractérisation des morphismes par quelque chose de plus concret. -
Des nouvelles : dans les treillis orthomodulaires, d'après une remarque de Piron dans le livre Foundations of Quantum Physics ou dans l'article Axiomatique Quantique, deux propositions sont compatibles si et seulement si le sous-treillis qu'elles engendrent est distributif. Et, pour un ensemble de propositions, le fait qu'elles soient toutes deux à deux compatibles implique que le sous-treillis qu'elles engendrent est distributif. Par conséquent, si $o_1$ et $o_2$ sont des observables compatibles, alors la réunion de leurs images est un sous-treillis distributif de $T$ (à supposer que celui-ci soit orthomodulaire). Ces treillis sont caractérisés par le théorème de Loomis-Sikorski.
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