Spectre de théories

Sylvain
Sylvain
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Sur Mathoverflow, ça parle de F1. Pas les voitures qui font vroum vroum mais "le" prétendu "corps à un élément". J'ai émis l'idée pour le moins iconoclaste que peut-être certains objets dont on pressent l'existence sont intrinsèquement non formalisables, et que seul un 'spectre de quasi-formalisations' peut les décrire, comme le spectre d'un opérateur est un ensemble de nombres et non un nombre unique, ou encore les composantes d'un tenseur dans une base donnée. Je donne comme exemple de tels objets possiblement rétifs à toute formalisation F1, justement, et la théorie M de Witten dont les différentes théories des cordes devraient être autant d'émanations. L'idée est donc de considérer que ces INFO (Intrinsically Non Formalizable Object) sont comme des tenseurs dont les composantes sont des théories de ces INFO, aucune ne suffisant à les décrire complètement, même si certaines propriétés clés doivent être vraies dans chacune d'elles. On pourrait alors considérer le 'coeur' de F1 comme l'ensemble de ses propriétés vraies dans chacune de ses 'composantes théoriques', de même que le centre de gravité d'un polygone régulier convexe est invariant sous l'action du groupe de symétries de ce polygone (ça en fait des analogies ! ).

De telles conceptions ont-elles été publiées jusqu'ici (de manière plus rigoureuse bien sûr, genre dans un cadre catégorique ou autre) ?
La formalisabilité d'une notion peut-elle être démontrée impossible ? Voilà qui va changer Christophe du bac : -)

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    A la réflexion, je me souviens d'un passage du livre de Gilles Godefroy intitulé 'L'Aventure des nombres' où l'auteur précise que s'il existe un bon ordre $ \leq $ sur les réels, ce qui nécessite l'axiome du choix, on ne peut pas expliciter l'ensemble des couples $ (x,y) $ tels que $ x\leq y $. On peut peut-être montrer que s'il existe une formalisation de $ F_1 $ sous l'axiome du choix, celle-ci n'est pas explicitable.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Gloubi-boulga blabla.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Sylvain : (Logicien.ne.s du monde entier, corrigez-moi s'il le faut !) Le coup du bon ordre sur $\mathbb{R}$, c'est juste que se donner un ordre, c'est la même chose que se donner l'ensemble $\{(x,y) \ \vert \ x \leq y\}$. L'axiome du choix entraîne qu'il existe une partie de $\mathbb{R}^2$ qui est un bon ordre sur $\mathbb{R}$. Mais comme on sait que l'existence d'un tel bon ordre n'est pas démontrable dans $ZF$, et que bien souvent on dit "explicite" pour dire "définissable dans $ZF$", on obtient que "aucun bon ordre sur $\mathbb{R}$ n'est explicite".

    Je pense que le problème concernant $F_1$ n'a rien à voir avec tout cela.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @GeorgesAbitbol : c'est ça que beaucoup comprennent dans "pas explicitable", mais il me semble qu'il est cohérent avec ZF qu'il existe sur $\Bbb{R}$ un bon ordre définissable (la définition pouvant d'ailleurs être choisie de faible complexité, $\Sigma_2$ il me semble)
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oh ben je le savais pas !
    Mais alors, j'ai pêché par ignorance de la définition précise de "définissable" ?
    Je pensais à l'assertion "un bon ordre sur $\mathbb{R}$ est forcément une partie non Lebesgue-mesurable de $\mathbb{R}^2$" que je prenais pour un théorème (peut-être que ce n'est pas le cas... j'ai un vague souvenir d'avoir entendu cette phrase).
    Bon, je vais tâcher de me renseigner.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ah ta nouvelle assertion, elle, est sûrement vraie ! Mais elle n'a pas beaucoup de lien avec la définissabilité. Après, je ne suis plus sûr de ce que j'ai dit dans mon message précédent, mais j'en suis presque sûr. Un argument (autre que mon souvenir de l'avoir vu écrit) en faveur de ça, est que John Bell, dans un ouvrage sur le forcing énonce que "il est consistant qu'il existe un bon ordre non définissable sur $\Bbb{R}$"
  • christophe c
    christophe c
    - Je confirme, enfin plus précisément, si $V=L$ alors il est très facile (exercice) de définir un bon ordre sur $\R$ et même sur l'Univers tout entier :-D

    - Le lien "populaire" qui identifie "obtenu avec l'axiome du choix" et "non définissable" est faux

    - d'ailleurs les gens confondent en fait "définissable" et "obtenu par une méthode effective" , cette dernière expression n'ayant pas de sens mathématique

    - On peut détailler mais ce n'est pas le sujet du fil. (on pourrait dire comment la logique intuitionniste donne l'impression de définir le "effectif", comment LOG INTU + CHOIX => LOG CLASSIQUE, grands cardinaux => le préjugé populaire devient vrai, etc)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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