Bourbaki, vraiment pour comprendre (1)

Bonjour à tous,

Il s’agit de l’exercice n° 13 P III-76 de Bourbaki - THEORIE DES ENSEMBLES. A ce jour, je n’ai pas eu de succès avec mes 2 précédents posts, néanmoins, je compte VRAIMENT sur une âme charitable pour m’accompagner dans cet exercice, celui-ci présentant des notions qui sont indispensables pour les 6 exercices suivants !
L’énoncé, long à reproduire, est en pièce jointe. Je ne fournis donc ici que mes réponses et les questions que je me pose :

a)
- On démontre sans trop de difficulté que $Is(\Gamma, \Gamma’)$ est une relation d’équivalence, néanmoins, peut-on dire que le terme $\tau_\Delta (Is(\Gamma, \Delta))$ est assimilable à un représentant de la classe d’équivalence de $\Gamma$ pour la relation d’équivalence Is ?:-S

- Il faut ensuite démontrer :
$(E,\Gamma) \land (E’,\Gamma’)$ isomorphes $\Leftrightarrow \tau_\Delta (Is(\Gamma, \Delta)) =\tau_\Delta (Is(\Gamma’, \Delta))$ :
$\bullet \Rightarrow$ : d’après S7, p I-38 : $(\forall x) [R(x)\Leftrightarrow T(x)] \Rightarrow \tau_x(R)= \tau_x(T)$.
Donc en prenant $x=\Delta$ et $R(\Delta)=Is(\Gamma_1,\Delta), T(\Delta)=Is(\Gamma_2,\Delta)$,
On a : $ Is(\Gamma_1, \Gamma_2) \Rightarrow (\forall \Delta), [Is(\Gamma_1,\Delta) \Leftrightarrow Is(\Gamma_2,\Delta)] \Rightarrow [\tau_\Delta (Is(\Gamma_1, \Delta)) =\tau_\Delta (Is(\Gamma_2, \Delta))]$
$\bullet \Leftarrow$ : De façon intuitive (en référence à la remarque p I-18)
$\tau_\Delta (Is(\Gamma, \Delta)) =\tau_\Delta (Is(\Gamma’, \Delta))$ signifie qu’il y a identité entre un élément x vérifiant $Is(\Gamma, x)$ et un élément y vérifiant $Is(\Gamma’, y)$,
par conséquent, par S6 : $x=y \Rightarrow [Is(\Gamma, x)\Leftrightarrow Is(\Gamma, y)]$,
enfin $ Is(\Gamma, y) \land Is(\Gamma’, y) \Rightarrow Is(\Gamma, \Gamma’)$
CQFD
Par contre, je ne sais pas le démontrer de façon vraiment formelle...?:-S

b) Là encore, la relation d'ordre $\prec$ ne présente pas trop de difficultés quant à sa démonstration.

c) Rappel :Soit une famille d'ensemble ordonnés $(E_i)_{i\in I}$, et F l'ensemble somme des $(E_i)_{i \in I}$ c'est à dire l'ensemble $\bigcup_{i\in I} (E_i \times \{i\})$, soit $x\in F$ et $\lambda (x)$ l'indice i tel que $x \in E_i$, on définit la relation d'ordre R telle que R(x,y) est équivalente à $\lambda (x)<\lambda (y) \lor (\lambda (x)=\lambda (y) \land x \le y$ dans $E_{\lambda(x)})$. On appelle somme ordinale des $(E_i)_{i \in I}$ l'ensemble F muni de la relation d'ordre R et on la note $\sum_{i \in I} E_i$.

- Montrons Ord ($\sum_{i \in I} E_i)=\sum_{i \in I}$ Ord$(E_i)$ (1) :
$E_i$ étant ordonné par un ordre $\Lambda_i$ dont le type est $\lambda_i, (\forall i \in I)$, on a par définition ( voir a) ) Ord ($E_i$) = Ord ($\Lambda_i$) = $\lambda_i$ (1')
Or par définition, Ord ($\sum_{i \in I} E_i) = \sum_{i \in I} \lambda_i$
Donc Ord ($\sum_{i \in I} E_i) = \sum_{i \in I}$ Ord$(E_i)$
CQFD

- Montrons $\Bigl(I= \sum_{k \in K} J_k \Bigr) \Rightarrow \Bigl( \sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k} \lambda_i) = \sum_{i \in I} \lambda_i \Bigr)$ :
D'après (1), en notant: $E_i$ des ensembles ordonnés par les $\lambda_i$, on a :
$\sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k} \lambda_i) = \sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k}$ Ord($E_i))=\sum_{k \in K}$ Ord$(\sum_{i \in J_k} E_i)=$Ord$(\sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k} E_i))$
et
$\sum_{i \in I} \lambda_i =\sum_{i \in I}$ Ord$(E_i) =$Ord$(\sum_{i \in I} E_i)$

Par conséquent il est équivalent de montrer :
Ord$(\sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k} E_i))=$Ord$(\sum_{i \in I} E_i)$

Or, dans l'exercice 3) b) p. III-70, il a été démontré que: $ \Bigl( I= \sum_{k \in K} J_k \Bigr) \Rightarrow \Bigl( \sum_{k \in K} (\sum_{i \in J_k} E_i) \simeq \sum_{i \in I} E_i \Bigr)$
et donc d'après a), on a le résultat cherché.
CQFD
(Il est vrai que la démonstration ci-dessus est un peu "raccourcie", mais avec bourbaki, beaucoup de notions ou de démonstration d'un exercice donné servent dans les exercices suivants ...)

d) On notera, $\underset {L} {\leqslant}$ l'ordre lexicographique pour l'ensemble $\prod_{i \in I} E_i$ et, par abus de notation, on identifiera $\prod_{i \in I} E_i$ à son produit lexicographique $(\prod_{i \in I} E_i, \underset {L} {\leqslant})$.

- On a comme dans (1') : Ord $\prod_{i \in I} E_i = \mathcal P_{i \in I} \lambda_i = \mathcal P_{i \in I}$ Ord $(E_i) $
Donc Ord $\prod_{i \in I} E_i= \mathcal P_{i \in I}$ Ord $(E_i) $ (2)

- Il s'agit maintenant de montrer :
$\Bigl(I= \sum_{k \in K} J_k \land K, (J_k)_ {k \in K}$ bien ordonnés $\Bigr) \Rightarrow \Bigl( \mathcal P_{k \in K} (\mathcal P_{i \in J_k} \lambda_i) = \mathcal P_{i \in I} \lambda_i \Bigr)$

D'après (2), en notant: $E_i$ des ensembles ordonnés par les $\lambda_i$, on a :
$\mathcal P_{k \in K} (\mathcal P_{i \in J_k} \lambda_i) = \mathcal P_{k \in K} (\mathcal P_{i \in J_k}$ Ord($E_i))=\mathcal P_{k \in K}$ Ord$(\prod_{i \in J_k} E_i)=$Ord$(\prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i))$
et
$\mathcal P_{i \in I} \lambda_i =\mathcal P_{i \in I}$ Ord$(E_i) =$Ord$(\prod_{i \in I} E_i)$

$\bullet$ Par conséquent il est équivalent de montrer : Ord$(\prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i))=$Ord$(\prod_{i \in I} E_i)$

D'après la proposition 7 p. II-35, si $(J_k)_{k\in K}$ est une partition de I, alors l'application :
$\Theta : \begin {cases} \prod_{i \in I} E_i \rightarrow \prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i) \\ e \longmapsto (pr_{J_k} e)_{k \in K} \end{cases} $ est une bijection.

Or $I= \sum_{k \in K} J_k= \bigcup_{k\in K} (\{k\} \times J_k)$, et les couples $(k,J_k)$ sont disjoints, donc les $(k,J_k)_{k \in K}$ forment une partition de $I$.

$\bullet$ Il suffirait donc de montrer que $\Theta$ respecte l'ordre lexicographique, c'est à dire :
$ e_1 \underset {L} {\leqslant} \ e_2 \Leftrightarrow \Theta (e_1) \underset {L'} {\leqslant} \ \Theta (e_2)$, en appelant $\underset {L'} {\leqslant}$ la relation d'ordre lexicographique pour l'ensemble$\prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i)$

On notera "ppe A" pour "plus petit élément de l'ensemble A".
Soient $e_1,e_2 \in \prod_{i \in I} E_i$, $ i_0 $ le ppe $I$ tel que $pr_{i_0} e_1 \neq pr_{i_0} e_2 $, on a alors $pr_{i_0} e_1 < pr_{i_0} e_2 $
$ i_0 \in \mathrm{I} \Rightarrow i_0 = (k_0, j_{k_0})$ avec $k_0$ ppe $\{k \in K / pr_{(k,j_k)} e_1 \neq pr_{(k,j_k)} e_2 \} \land j_{k_0}$ ppe $ \{ j_k \in J_{k_0} / pr_{(k_0,j_k)} e_1 \neq pr_{(k_0,j_k)} e_2 \} $ (3)

Remarque importante :
$\cdot \,\ $ Dans $\prod_{i \in I} E_i$ on a : $e= e_{{(k,j_k)}_{(k,j_k) \in I}} =(e_{j_k})_{j_k \in J_k, k \in K}$
$\cdot \,\ $ Or $(e_{j_k})_{j_k \in J_k, k \in K} \in \prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i)$

$\cdot \,\ $ Il s'ensuit que : $pr_{i_0} e \,\ (e \in \prod_{i \in I} E_i) = pr_{(k_0,j_{k_0})} e = pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e) \,\ \Bigl( e \in \prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i) \Bigr)$ (4)

On en déduit :

$ \cdot \,\ pr_{i_0} e_1 \neq pr_{i_0} e_2 \Leftrightarrow pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_1) \neq pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_2) $

$\cdot\,\ $ Et par (3) + (4) :
$pr_{i_0} e_1 \leqslant pr_{i_0} e_2 \Leftrightarrow pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_1) \leqslant pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_2) $ (5)
Et
$ i_0 = (k_0, j_{k_0})$ le ppe $I /pr_{i_0} e_1 \neq pr_{i_0} e_2 $ dans $\prod_{i \in I} E_i \Leftrightarrow (k_0, j_{k_0}) $ ppe $I / pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_1) \neq pr_{j_{k_0}} (pr_{k_0} e_2)$ dans $\prod_{k \in K} (\prod_{i \in J_k} E_i)$ (6)

Enfin $(5) + (6) \Longleftrightarrow \{ e_1 \underset {L} {\leqslant} \ e_2 \Leftrightarrow \Theta (e_1) \underset {L'} {\leqslant} \ \Theta (e_2) \}$ CQFD

e) On se donne un ordre sur $J=\{ \alpha,\beta \}$, le point important est que : $\alpha \leqslant \beta$.
On pose : $\lambda + \mu = \sum_{i\in J} \xi_i = \xi_\alpha+ \xi_\beta( = \xi_\beta+\xi_\alpha$, mais je préfère le noter sous sa 1ère forme qui "intuitivement sous-entend" que $\alpha \leqslant \beta...)$, avec $\lambda =\xi_\alpha \land \mu = \xi_\beta$

$\cdot \,$ Considérons une famille d'ensembles $(E_i)_{i\in I}$ ordonnés par les $(\mu_i)_{i \in I}$. D'après c), $\sum_{i \in I} \mu_i$ est le type d'ordre de $\sum_{i \in I} E_i $ (7)
$\cdot \,$ Or, $\mu_i = \mu ,(\forall i \in I)\underset {a)}{\Longrightarrow}$ tous les $E_i$ sont isomorphes $\Longleftrightarrow (E_i,\mu_i) \simeq (E,\mu), (\forall i \in I)$
$\cdot \,$ Donc, d'après exercice 10 p. III-76, $\sum_{i \in I} E_i \simeq E.I$ ("produit lexicographique de E par I")
$\underset {a)} {\Longrightarrow} Ord(\sum_{i \in I} E_i) = Ord(E.I) \underset {(7) + d)} {\Longleftrightarrow} \sum_{i \in I} \mu_i=\mu.\lambda$
CQFD

Il s'agit ensuite de démontrer :

$\bullet \, (\lambda+ \mu) + \nu = \lambda+ (\mu + \nu) $ :
$\cdot$ c'est un cas particulier de c), avec $I=\sum_{k\in \{a,b\}} J_k , ($ avec $\{a,b\}$ ordonné par $\{(a,a),(a,b)(b,b) \}$, et donc $a \leqslant b)$, $J_a=\{ a_\lambda,a_\mu\}, J_b=\{ b_\nu \}$
On a alors en appliquant c) : $(\lambda+ \mu) + \nu = \lambda+ \mu + \nu \hspace{2 cm} (8) $
$\cdot$ De même, en considérant $ I'=\sum_{k\in \{a',b'\}} J_k, ($ avec $\{a',b'\}$ ordonné par $\{(a',a'),(a',b')(b',b') \}$ (*), et donc $a' \leqslant b')$, $J_a'=\{ a'_\lambda\}, J_b'=\{b'_\mu, b'_\nu \}$ et en appliquant c), on a : $\lambda+ (\mu + \nu) = \lambda+ \mu + \nu \hspace{2 cm} (8') $
$\cdot \, $ de (8) et (8'), on déduit le résultat
CQFD

$\bullet \, (\lambda\times \mu) \times \nu = \lambda\times (\mu \times \nu) $
En procédant comme précédemment avec les hypothèses supplémentaires que $J_a, J_b, J_a',J_b'$ sont bien ordonnés, et en notant que, par construction $K=\{a,b\}$ est bien ordonné (*), on a le résultat en appliquant d)...

$\bullet \, \lambda\times (\mu + \nu) = (\lambda \times \mu) + (\lambda \times \nu) $
Déjà, je ne comprend pas très bien ce que représente cette égalité si je la traduis en terme d'ensembles $E_\lambda, E_\mu, E_\nu$ ordonnés par des ordres dont les types d'ordres sont respectivement $\lambda, \mu, \nu$, et que je passe aux isomorphismes ...?
Peut-être faut-il exploiter le fait que $\sum_{i \in I} \mu_i = \mu \cdot \lambda$ (si $Ord (I) = \lambda)$ ?....
Si quelqu'un peut m'aider je suis preneur:-S

$\bullet \, \lambda + \mu \neq \mu +\lambda$ en général :
$\cdot \,$ D'après e) : $\lambda + \mu = \sum_{i\in J} \xi_i$ avec $\lambda=\xi_\alpha \land \mu=\xi_\beta \Longrightarrow \lambda + \mu$ est identique à $\xi_\alpha+ \xi_\beta$
et donc : $\mu +\lambda = \sum_{i\in J} \xi_i$ avec $\mu=\xi_\alpha \land \lambda=\xi_\beta \Longrightarrow \mu + \lambda$ est identique à $\xi_\beta+ \xi_\lambda$
$\cdot \,$ Cela revient donc à prouver que : $\xi_\alpha+ \xi_\beta \neq \xi_\beta+ \xi_\alpha$ :
$\cdot \,$ Si on considère des ensembles $E_\alpha, E_\beta$, ordonnés par des ordres de type $\alpha,\beta$, il revient au même de démontrer que les sommes ordinales $E_\alpha + E_\beta$ et $E_\beta + E_\alpha$ ne sont pas nécessairement isomorphes...
(P.S. : c'est aussi une partie de la question b) de l'exercice 3 p. III-70 , et je n'avais pas réussi à le démontrer ...)
Donc là encore si quelqu'un peut m'aider ...:-S

f)
1) Montrons : $I$ ordonné $\land \lambda_i \prec \mu_i, (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum_{i \in I} \lambda_i \prec \sum_{i \in I} \mu_i $

. on note $\simeq$ pour "est isomorphe à"
. Soit $\lambda$ un type d'ordre, si $E$ est ordonné par un ordre de type $\lambda$, on notera $\underset {\lambda} {\leqslant}$ ou éventuellement par abus de notation $\underset {E} {\leqslant} \hspace{2 cm} (9) $
. $\lambda_i \prec \mu_i \Longleftrightarrow (E_i, \underset {\lambda_i} {\leqslant}) \underset {is_i}{\simeq} (F'_i, \underset {\mu_i} {\leqslant}) \Longleftrightarrow (E_i, \underset {E_i} {\leqslant}) \underset {is_i} {\simeq} (F'_i, \underset {F_i} {\leqslant})$ avec $F'_i \subset F_i, F_i$ ordonné par $\underset {F_i} {\leqslant}$
. Par ailleurs, on remarque qu'on peut "plonger" $F_i$ dans $\sum_{i \in I} F_i$, en considérant l'application :
$\Theta_i : \begin{cases} \ (F_i, \underset {F_i} {\leqslant}) \longrightarrow (\sum_{i \in I} F_i, \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant}) \\ x \longmapsto (i,x) \end {cases}$ est une bijection de $F_i$ sur $\Theta_i ( F_i ) = \{i\} \times F_i $ (évident), et de plus :
$ x \underset {F_i} {\leqslant} y \Longleftrightarrow (i,x) \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} (i,y)$, (de par la définition de $\underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant})$
Donc $\Theta_i$ est un isomorphisme de $F_i$ sur une partie de $\sum_{i \in I} F_i$,
Il s'ensuit qu'on a $(E_i, \underset {E_i} {\leqslant}) \underset {\Theta_i} {\simeq} \Bigl((\sum_{i \in I} F_i)', \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr)$, avec $(\sum_{i \in I} F_i)'$ = une partie (sous-ensemble) de $\sum_{i \in I} F_i$

. De même, on peu "plonger" $(E_i, \underset {E_i})$ dans $(\sum_{i \in I} E_i, \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant})$, en considérant l'application : $\Gamma_i : \begin{cases} \ (E_i, \underset {E_i} {\leqslant}) \longrightarrow (\sum_{i \in I} E_i, \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant}) \\ x \longmapsto (i,x) \end {cases}$
qui est un isomorphisme de $E_i$ sur $\Gamma_i ( E_i ) = \{i\} \times E_i $

. On a donc $\begin {cases} E_i \underset {\Gamma_i} {\simeq} \{i\} \times E_i \\ \wr \mid is_i \\ F'_i \underset {\Theta_i} {\simeq} \{i\} \times F'_i \end{cases} \Longrightarrow \{i\} \times E_i \underset {\Delta_i} {\simeq} \{i\} \times F'_i $ (en posant $\Delta_i = \Theta_i \circ is_i \circ \Gamma_i^{-1}$), en fait on a même :
$ \Bigl(\{i\} \times E_i,\underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} \Bigr) \underset {\Delta_i} {\simeq} \Bigl( \{i\} \times F'_i , \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr) $ avec $ \Bigl( \{i\} \times F'_i , \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr) \subset \Bigl( \sum_{i \in I} F_i ,\underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr)$

Or $ \sum_{i \in I} E_i = \bigcup_{i\in I} (\{i\} \times E_i) $ et cette réunion étant disjointe, par conséquent, on peut appliquer la proposition 7, 2°) p. II-28, on déduit alors qu'il existe une application et une seule $ Is : \begin{cases} \bigcup_{i \in I} (\{i\} \times E_i) \longrightarrow I \times \bigcup_{i \in I} F_i \\ \text{avec : } \\ [Is \text{ restreint à } (\{i\} \times E_i)] = \Delta_i \end{cases}$

$ \Longrightarrow Is : \bigcup_{i\in I} (\{i\} \times E_i) \longrightarrow \bigcup_{i\in I} (\{i\} \times F'_i)$ bijection
$\Longrightarrow \, Is: \Bigl(\bigcup_{i\in I} (\{i\} \times E_i), \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} \Bigr) \longrightarrow \Bigl(\bigcup_{i\in I} (\{i\} \times F'_i), \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr)$ isomorphisme
$\Longleftrightarrow Is: \Bigl( \sum_{i \in I}E_i, \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} \Bigr) \longrightarrow \Bigl( \sum_{i \in I}F'_i, \underset {\sum_{i \in I} F_i} {\leqslant} \Bigr)$ isomorphisme, avec $\sum_{i \in I}F'_i \subset \sum_{i \in I}F_i$
CQFD

2) montrons : $I \text{ bien ordonné } \land \lambda_i \prec \mu_i, (\forall i \in I) \Longrightarrow \mathcal P_{i \in I} \lambda_i \prec \mathcal P_{i \in I} \mu_i $

. $\lambda_i \prec \mu_i \Leftrightarrow (E_i,\underset {\lambda_i} {\leqslant}) \simeq (F'_i,\underset {\mu_i} {\leqslant}) \underset {(9)} {\Longleftrightarrow} (E_i,\underset {E_i} {\leqslant}) \simeq (F'_i,\underset {F_i} {\leqslant}) \text{ avec } F'_i \subset F_i \underset {b)} {\Longleftrightarrow} \exists f_i : \begin{cases} E_i \longrightarrow F_i \\ x_i \longmapsto f_i (x_i) \\ \land \\ x_i \underset {E_i} {\leqslant} y_i \Leftrightarrow f_i (x_i) \underset {F_i} {\leqslant} f_i (y_i) \end{cases}$ isomorphisme de $E_i$ sur $f_i(E_i)= F'_i, \, (\forall i \in I)$

$\bullet \,$ On considère: $\prod_{i \in i} E_i \land \prod_{i \in i} F_i \land \text{ l'application } f = \prod_{i \in i} f_i : \prod_{i \in I} E_i \longrightarrow \prod_{i \in I} F_i $
f est une bijection de $ \prod_{i \in I} E_i$ sur $\prod_{i \in i} f_i (E_i) \,\,$ (en vertu du corollaire de la proposition 11 p. II-38 et du fait que $f_i$ isomorphisme donc bijectif).

$\bullet \,$Soient $X=(x_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} E_i , Y=(y_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} E_i $, alors $f(X) = [f_i(x_i)]_{i \in I} \in \prod_{i \in I} F_i, f(Y) = [f_i(y_i)]_{i \in I}\in \prod_{i \in I} F_i$

On a :$ X \underset {\prod_{i \in I} E_i}{\leqslant} Y \Leftrightarrow x_{i_0} < y_{i_0}$ pour $i_0 =$ ppe $\{i / pr_iX \neq pr_i Y\} \Leftrightarrow f_{i_0}(x_{i_0}) \underset {F_{i_0}} {<} f_{i_0}(y_{i_0})\, $ (car $f_{i_0}$ : isomorphisme d'ensembles ordonnés )

Supposons, par l'absurde, $\exists i'_0 \in I / \, i'_0 \underset {I}{<} i_0 \, \land \, (pr_{i'_0} f(X) \underset {F_{i'_0}}{<} pr_{i'_0} f(Y)) \Leftrightarrow f_{i'_0}(x_{i'_0}) \underset {F_{i'_0}} {<} f_{i'_0}(y_{i'_0} \Leftrightarrow x_{i'_0} < y_{i'_0}$ (car $f_{i'_0} : E_{i'_0} \rightarrow F'_{i'_0}$ isomorphisme)
$\Longrightarrow x_{i'_0} \neq y_{i'_0}$ : contradiction ! (car $i_0 =$ ppe $\{i / pr_iX \neq pr_i Y\} $)

$\Longrightarrow \,\Bigl( i_0 = \text{ ppe } \{i / pr_iX \neq pr_i Y\} \Leftrightarrow i_0 = \text{ ppe } \{i / pr_i f(X) \neq pr_i f(Y)\} \Bigr)$

$\Longrightarrow \, \Bigl( X \underset {\prod_{i \in I} E_i}{\leqslant} Y \Leftrightarrow f(X) \underset {\prod_{i \in I} F_i}{\leqslant} f(Y) \Bigr) $

Donc : f est un isomorphisme

CQFD

3) montrons : $J \subset I \Longrightarrow \sum_{i \in J} \lambda_i \prec \sum_{i \in I} \mu_i $

En raisonnant comme précédemment, cela revient à montrer que : $\Bigl( \sum_{i \in J} E_i, \underset {\sum_{i \in J} E_i} {\leqslant} \Bigr) \simeq \Bigl( (\sum_{i \in I} E_i )', \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} \Bigr)$ avec $\Bigl( (\sum_{i \in I} E_i )' \subset \sum_{i \in I} E_i \Bigr) $ :

. $\,$ Par hypothèse: $I$ est ordonné, donc $J$ est ordonné

. $\, \sum_{i \in I} E_i = \bigcup_{i\in I} (\{i\} \times E_i) \underset {J \subset I} {\Longrightarrow} \Bigl( \bigcup_{i\in J} (\{i\} \times E_i) \subset \bigcup_{i\in I} (\{i\} \times E_i) \Bigr) \Leftrightarrow \Bigl( \sum_{i \in J} E_i \subset \sum_{i \in I} E_i \Bigr) $
Par conséquent " $\underset {\sum_{i \in J} E_i} {\leqslant}$" est en fait "$\underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant}$ restreint à $ \sum_{i \in J} E_i $"

. On peut alors considérer l'injection canonique :
$Inj : \begin{cases} (\sum_{i \in J} E_i, \underset {\sum_{i \in J} E_i} {\leqslant}) \Longrightarrow (\sum_{i \in I} E_i, \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant}) \\ (i,x_i)\longmapsto (i,x_i) \end{cases} $ qui est une bijection sur $ Inj (\sum_{i \in I} E_i)= \sum_{i \in J} E_i $,

de plus, en considérant $S=(s,x_s), T=(t,x_t)$, 2 éléments de $\sum_{i \in J} E_i$, on a :

$ S \underset {\sum_{i \in J} E_i} {\leqslant} T \Leftrightarrow (s,x_s) \underset {\sum_{i \in J} E_i} {\leqslant} (t,x_t) \Leftrightarrow \Bigl( s \underset {J} {<} t \lor (s=t \ x_s \underset {E_s=E_t} \leqslant x_t) \Bigr)$
$ \underset {(J,\leqslant) \subset (I, \leqslant)} {\Longleftrightarrow} \Bigl(s \underset {I} {<} t \lor (s=t \ x_s \underset {E_s=E_t} \leqslant x_t) \Bigr) \Leftrightarrow (s,x_s) \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} (t,x_t) \Leftrightarrow S \underset {\sum_{i \in I} E_i} {\leqslant} T$

Donc, en prenant $(\sum_{i \in I} E_i)' = \sum_{i \in J} E_i$, on a Inj: isomorphisme

CQFD

4) Montrons: $I$ bien ordonné $\land J \subset I \land \lambda_i \neq \emptyset , \forall i \in I \Longrightarrow \mathcal P_{i \in J} \lambda_i \prec \mathcal P_{i \in I} \lambda_i $

. Par définition, ce la revient à montrer que : $\Bigl( \prod_{i \in J} E_i, \underset {\prod_{i \in J} E_i} {\leqslant} \bigr) \simeq \Bigl( (\prod_{i \in I} E_i)', \underset {\prod_{i \in I} E_i} {\leqslant} \bigr) \,$ avec $\, \Bigl( (\prod_{i \in I} E_i)' \subset \prod_{i \in I} E_i \Bigr)$

. Par hypothèse, $I$ bien ordonné $\underset {J \subset I} {\Rightarrow} J$ bien ordonné, par conséquent: si $\underset {\prod_{i \in I} E_i} {\leqslant}$ est l'ordre lexicographique sur $\prod_{i \in I} E_i$ alors $\underset {\prod_{i \in J} E_i} {\leqslant}$ est l'ordre lexicographique sur $\prod_{i \in J} E_i $

. Considérons alors $\rho$ : $\begin{cases} (\prod_{i \in J} E_i, \underset {\prod_{i \in J} E_i} {\leqslant}) \longrightarrow (\prod_{i \in I} E_i, \underset {\prod_{i \in I} E_i} {\leqslant}) \\ (x_i)_{i \in J} \longmapsto (y_k)_{k \in I} \text{ tel que : } y_k = \begin{cases} x_k \text{ si } k \in J \hspace{1 cm} (10)\\ a_k \text{ fixé } \in E_k \text{ si } k \in \complement_I J\end{cases} \end{cases} $ c'est évidemment une injection, donc une bijection sur $\rho (\prod_{i \in J} E_i)$

. De plus : $(x_i)_{i \in J} \underset {\prod_{i \in J} E_i} {\leqslant} (x_i)_{i \in J}\Leftrightarrow x_{i_0} < x'_{i_0} \text{ pour } i_0 \text{ ppe } \{ i \in J / x_i \neq x'_i \}$

. Or si $k_0$ = ppe $\{ k \in I / y_k \neq y'_k \}$ alors, comme $y_k=y'_k$ si $k \in \complement_I J$, nécessairement on a $k_0 \in J$.
Mais si $ k_0 \in J$, alors $y_{k_0}=x_{k_0}$ (par (10)) et donc nécessairement $k_0=i_0$.
On a donc $y_{k_0}=x_{k_0}=x_{i_0} \land y'_{k_0}=x'_{k_0}=x'_{i_0}$.
Par conséquent $x_{i_0} < x'_{i_0} \text{ avec } i_0 \text{ ppe } \{ i \in J / x_i \neq x'_i \} \Leftrightarrow y_{i_0} < y'_{i_0} \text{ avec } i_0 \text{ ppe } \{ i \in I / x_i \neq x'_i \} \Leftrightarrow (y_i)_{i \in I} \underset {\prod_{i \in I} E_i} {\leqslant} (y'_i)_{i \in I}$
$\hspace {9.7 cm}\shortparallel \hspace {0.8 cm} \shortparallel$
$\hspace {9.7 cm} x_{i_0} \hspace {0.4 cm} x'_{i_0}$

$\rho$ est donc bien un isomorphisme de $\Bigl( \prod_{i \in J} E_i, \underset {\prod_{i \in J} E_i} {\leqslant} \bigr) \text{ sur } \Bigl( \prod_{i \in J} E_i \times \{(a_u)_{u \in \complement_IJ} \}, \underset {\prod_{i \in I} E_i} {\leqslant} \bigr)$, $ (a_u)_{u \in \complement_IJ}$ étant un card ( $\complement_IJ$)- uplet fixé ...

Et on a bien $\prod_{i \in J} E_i \times \{(a_u)_{u \in \complement_IJ}\} \subset \prod_{i \in I} E_i $ !

Note : à priori, la façon dont J est réparti dans I n'a pas d'importance pour le produit lexicographique...

CQFD

g)

1) Montrons : $\lambda = (\lambda^*)^*$ :

. Par définition : $\Gamma$ est un ordre de type (d'ordre) $\lambda \Leftrightarrow \Gamma^{-1}$ est un ordre de type (d'ordre) $\lambda^*$,
autrement dit : $\lambda = Ord (\Gamma) \Leftrightarrow \lambda^* = Ord (\Gamma^{-1})$
. Or $\Gamma(x,y) \Leftrightarrow \Gamma^{-1}(y,x)$
. Donc $\Gamma^{-1}(y,x)\Leftrightarrow (\Gamma^{-1})^{-1}(x,y)$
. Par conséquent $\Gamma(x,y) \Leftrightarrow (\Gamma^{-1})^{-1}(x,y) \Rightarrow (E,\Gamma) \simeq (E,(\Gamma^{-1})^{-1}) \underset {a)} {\Rightarrow} Ord(\Gamma) = Ord [(\Gamma^{-1})^{-1}] \Leftrightarrow \lambda = (\lambda^*)^*$
CQFD

2) Montrons : $(\sum_{i \in I} \lambda_i)^* = \sum_{i \in I^*} \lambda_i^*, I^* = I$ muni de l'ordre opposé à l'ordre dans $I$ :

. Considérons le type d'ordre $\sum_{i \in I} \lambda_i$, avec $E_i$ ordonnés par $\Gamma_i$ (des ordres de type $\lambda_i$), on note alors $\underset {\sum_{i \in I} E_i}{\leqslant}$ l'ordre correspondant à ce type d'ordre.

. $\Gamma$ un ordre de type $\lambda \Rightarrow \Gamma^{-1}$ est l'ordre opposé de type $\lambda^*$, par conséquent :
$(\sum_{i \in I} \lambda_i)^* $ représente le type d'ordre de l'ordre $R_1$ opposé à l'ordre de type $\sum_{i \in I} \lambda_i$, c'est à dire que $R_1$ est l'ordre opposé à $\underset {\sum_{i \in I} E_i}{\leqslant}$, si on identifie $R_1$ à $\underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant}$, on a :
$(i,x_i) \underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant} (j,y_j) \Leftrightarrow (i,x_i) \underset {(\sum_{i \in I} E_i)}{\geqslant} (j,y_j) \Leftrightarrow (j,y_j)\underset {(\sum_{i \in I} E_i)}{\geqslant} (i,x_i) \Leftrightarrow \Bigl( j \underset {I}{<} i \lor (j=i \land y_j \underset {E_j}{\leqslant} x_j) \Bigr) \Leftrightarrow \Bigl( i \underset {I^*}{<} j \lor (j=i \land x_j \underset {E_j^*}{\leqslant} y_j) \Bigr)$
$ \Leftrightarrow (i,x_i) \underset {\sum_{i \in I^*} E_i^*}{\leqslant} (j,y_j)$

. En résumé: $\Bigl( (i,x_i) \underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant} (j,y_j) \Bigr) \Leftrightarrow \Bigl( (i,x_i) \underset {\sum_{i \in I^*} E_i^*}{\leqslant} (j,y_j) \Bigr)$ et donc $Is (\underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant},\underset {\sum_{i \in I^*} E_i^*}{\leqslant})$ théorême

Or $Is (\underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant},\underset {\sum_{i \in I^*} E_i^*}{\leqslant})$ théorême $ \underset {a)} {\Leftrightarrow} \underset {(\sum_{i \in I} E_i)^*}{\leqslant} \land \underset {\sum_{i \in I^*} E_i^*}{\leqslant} $ ont le même type d'ordre $ \Leftrightarrow (\sum_{i \in I} \lambda_i)^* = \sum_{i \in I^*} \lambda_i^*$

CQFD