Axiome du choix ?

Bonjour,


Dans le Hirsch-Lacombe dans le préambule sur la dénombrabilité, on cherche en exercice à montrer qu'étant donné un espace métrique connexe $X$ possédant au moins 2 points, il existe une injection de $[0,1]$ dans $X$.

L'indication dit de montrer que si $x,y$ sont deux points distincts de $X$ alors pour tout $r\in[0; d(x,y)]$, l'ensemble $S_r = \{t\in X; d(x,t) = r\}$ est non vide. C'est bon de ce côté là, j'y arrive.

Mais une fois rendu là, je me demande comment conclure : en fixant $x,y\in X$ distincts, on pourrait construire une injection $f: [0;1]\to X$ en associant à chaque $u\in [0;1]$ "un élément" de $S_{u d(x,y)}$. Mais procéder ainsi ne relève-t-il pas de l'axiome du choix ?

Il n'y a pas d'autres hypothèse sur $X$ je ne vois pas trop comment "choisir" cet élément de $S_r$ sans faire recours à AC (et le bouquin n'indique pas qu'on l'admettra ce qu'il fait pourtant pour d'autres exos). Y-a-t-il une solution élégante sans AC ?