Physique et téléphones

Maintenant, place aux maths.

Soient $E_1, E_2, F_1, F_2$ quatre ensembles.
Les éléments de $E_1$ seront appelés entrées du premier combiné,
ceux de $E_2$ entrées du deuxième combiné,
ceux de $F_1$ sorties du premier combiné, et
ceux de $F_2$ sorties du deuxième combiné.
Une garantie téléphonique de signature $E_1,E_2,F_1,F_2$ est un sous-ensemble $R \subset E_1 \times F_1 \times E_2 \times F_2$. Ses éléments s'appellent les configurations entrée-sortie possibles. Cela revient au même de se donner une garantie $R$ qu'une application $E_1 \times E_2 \rightarrow \mathcal{P}(F_1 \times F_2)$ qui à chaque couple d'entrées associe un ensemble des couples de sorties, dits possibles.

Les problèmes qu'on doit tenter de formuler, et résoudre, sont les suivants :
1) étant donnée une garantie $R$, si on veut fabriquer un téléphone $R$-garanti, à quel point faudra-t-il faire communiquer les deux combinés ?
2) si on dispose d'un téléphone $R_1$-garanti, est-ce qu'on peut simuler un téléphone $R_2$-garanti, en ne s'autorisant que des modifications localisées sur chaque combiné ?

Ces deux questions sont en fait très liées : si l'on arrive à formaliser le niveau de communication entre les deux combinés de toute garantie $R$ par un élément d'un ensemble ordonné, alors il est clair que si la fabrication d'un téléphone $R_1$-garanti nécessite plus de communication que ce qu'un téléphone $R_2$-garanti peut offrir, alors on ne pourra pas simuler un $R_1$-téléphone avec un $R_2$-téléphone.
Christophe prend alors le contrepied de cette idée et choisit de définir la relation de simulabilité, appelée relation de réduction ludique dans sa thèse (je ne la rappelle pas, je n'en ai pas besoin tout de suite), qui est une relation de préordre ; il dira ensuite que deux garanties offrent (ou demandent, selon que l'on se place du point de vue d'une personne qui construit ou qui profite) autant de communication l'une que l'autre si chacune est réductible ludiquement à l'autre ; enfin, le quotient par la relation d'équivalence que l'on vient de définir, muni du préordre quotient, sera un authentique ensemble ordonné, que l'on pourrait appeler ensemble des niveaux de communication (et on dirait que la classe d'une garantie est son niveau de communication), mais Christophe choisit de les appeler degrés ludiques.

Le texte qui suit a pour but de définir ce que veut dire "téléphone fabricable par la physique classique", "téléphone fabricable par mécanique quantique", et de démontrer qu'il est impossible de construire dans un monde régi par la physique classique un téléphone $R$-garanti, alors qu'il est tout à fait possible de le faire dans un monde régi par la mécanique quantique.

Il faut d'abord définir le mot "système physique". La définition qui va suivre provient de l'idée philosophique que ce qui constitue l'essence d'un système physique, c'est l'ensemble des expériences qu'il est possible de réaliser dessus, et, par extension, le langage des conclusions d'expériences que l'on pratique sur un tel système.

On appelle donc système physique un treillis $\sigma$-complet orthocomplémenté, c'est-à-dire, un triplet $(T,\leq,\perp)$ où :
1) $T$ est un ensemble ordonné par $\leq$ ;
2) toute partie au plus dénombrable $A$ a un sup, noté $\vee A$ ;
3) toute partie au plus dénombrable $A$ a un inf, noté $\wedge A$ ;
(on écrit $p \wedge q$ pour $\wedge \{p,q\}$, et pareil pour $\vee$)
4) $T$ a un plus petit élément, $\textbf{0}$, et un plus grand élément, noté $\textbf{1}$ ;
5) $\perp : T \rightarrow T$ est une application (on note $p^\perp$ l'image d'un $p \in T$) qui est
i) une involution (i.e. $\forall p \in T \ (p^\perp)^\perp = p)$) ;
ii) décroissante ;
iii) qui échange $\textbf{0}$ et $\textbf{1}$ ;
iv) qui échange $\vee$ et $\wedge$ ;
v) qui est telle que $\forall p \in T\ p \wedge p^\perp = \textbf{0}$.

Dans un tel treillis, les éléments pourraient s'appeler propositions, $\vee$ est appelé disjonction, $\wedge$ conjonction, et $\perp$ négation.

On ne suppose aucune hypothèse de distributivité (les fameuses lois de de Morgan) sur $\wedge$ et $\vee$.

Deux exemples :
I) Si $X$ est un ensemble, et $T$ est une tribu sur $X$, alors $(T,\subseteq, A\mapsto A^c)$ est un treillis $\sigma$-complet orthocomplémenté. Un système physique obtenu de cette façon-là est dit classique.
Ici, $\wedge = \cap$ et $\vee = \cup$.
II) Si $H$ est un espace de Hilbert réel ou complexe (en dimension finie, sur $\mathbb{C}$, cela s'appelle un espace hermitien, et sur $\mathbb{R}$ un espace euclidien) et $T_H$ est l'ensemble des sous-espaces fermés de $H$, alors $(T_H,\subseteq,F \mapsto F^\perp)$ est un treillis $\sigma$-complet orthocomplémenté. Tout système physique obtenu de cette façon-là est dit quantique.
Ici, on rappelle que $F^\perp = \{v \in H \ \vert \ \forall w \in F\quad \langle v,w\rangle = 0\}$. On a, de plus, $\wedge = \cap$, mais $\vee = \overline{+}$, c'est-à-dire que si $A$ est un ensemble de sous-espaces fermés de $H$, $\vee A = \overline{+_{p \in A} p}$ (et non l'union !).

Tous les exemples qui suivront conserveront les mêmes notations : chaque I) continuera le I) ci-dessus, et de même pour II). Il n'y aura que ces deux exemples.

Remarque : On peut s'amuser à chercher des conditions nécessaires et suffisantes sur un treillis $T$ pour démontrer qu'il est de la forme I), ou de la forme II), ou des variantes. Le théorème de Loomis-Sikorski (lien en anglais) donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un treillis ressemble à un treillis du type I), et les théorèmes de Piron (lien en anglais) et de Solèr (lien en anglais) donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un treillis ressemble à un treillis du type II). Dans le cas quantique, il y a une condition appelée "orthomodularité" qui est très importante, mais dont je ne parlerai pas tout de suite, faute de l'avoir bien cernée.

EDIT1 : Ajout d'une remarque.
EDIT2 : Modification typographique.

Définissons maintenant un état d'un système physique. La définition provient de l'idée que deux états qui ne peuvent être distingués par une expérience ne peuvent être considérés comme différents tout court. Donc, un état doit se caractériser par l'ensemble de ses propriétés.

Soit $T$ un treillis $\sigma$-complet orthocomplémenté (je dirai treillis, dorénavant). On appelle état déterministe sur $T$ une application $s : T \rightarrow \{0,1\}$ qui vérifie :
1) $s(\textbf{0}) = 0$ ;
2) $s(\textbf{1}) = 1$ ;
3) si $A$ est une partie dénombrable de $T$ telle que $\forall p,q \in A$, $p\not = q \Rightarrow p\perp q$, alors $s(\vee A) = 1$ si et seulement si $\exists p \in A \quad s(a) = 1$.

Si $s$ est un état, et si $p$ est une proposition, on peut remplacer $s(p) = 1$ par la phrase imagée "si on faisait une expérience pour tester si $p$ est vraie, et qu'on se trouve dans l'état $s$, alors le résultat serait forcément positif".

Exemples :
I) Si $x \in X$, alors $s_x := p \mapsto \left\{\begin{array}{cc}1 &\textrm{si } x \in p\\0&\textrm{sinon}\\ \end{array}\right.$ (c'est le "Dirac en $x$") est un état déterministe. Si $X$ est un espace topologique séparé à base dénombrable (c'est le cas de $\mathbb{R}^n$ pour tout $n$ fini et de tous ses sous-espaces, par exemple) et que $T$ est sa tribu borélienne, on peut démontrer que tout état déterministe est de cette forme.
II) Si $H$ est de dimension supérieure ou égale à $3$, il n'y a pas d'états déterministes, c'est le théorème de Kochen-Specker (qui est un corollaire d'un théorème mentionné plus loin).

Pour pallier l'absence d'états déterministes dans le cas quantique, on définit les états probabilistes, qu'on appellera états tout court.

On appelle état sur $T$ une application $s : T \rightarrow [0,1]$ qui vérifie
1) $s(\textbf{0}) = 0$ ;
2) $s(\textbf{1}) = 1$ ;
3) pour toute partie dénombrable $A$ telle que $\forall p,q \in A\ p\not = q \Rightarrow p\perp q$, $s(\vee A) = \sum_{p \in A} s(p)$.

Il est facile de voir que
- tout état déterministe est un état ;
- toute combinaison convexe d'états est un état.

Un état qui ne peut pas s'écrire comme combinaison convexe non triviale est dit pur. Autrement dit, si $s$ est un état tel que si $s = t s_1 + (1-t) s_2$ avec $t \not \in \{0,1\}$ et $s_1,s_2$ deux états, alors $s = s_1 = s_2$.

Tout état déterministe est pur.

Si $s$ est un état, et si $p$ est une proposition, on peut remplacer $s(p) = t$ par la phrase imagée "si on faisait une expérience pour tester si $p$ est vraie, et qu'on se trouve dans l'état $s$, alors le résultat serait positif avec probabilité $t$" (le mot "probabilité" est là pour rendre la chose imagée, mais ce ne sont pas, stricto sensu, des probabilités au sens mathématique du terme).

Exemples :
I) Dans le cas classique, un état n'est rien d'autre qu'une mesure de probabilité sur $X$. Si $X$ est topologique séparé à base dénombrable et $T$ sa tribu borélienne, alors tout état pur est une mesure de Dirac.
II) Dans le cas quantique, si $\phi \in H$ est tel que $\Vert \phi \Vert = 1$, alors l'application $s_\phi : p \mapsto \langle P_p \phi,\phi \rangle = \Vert P_p \phi \Vert^2$ est un état. En effet, $P_\textrm{0} = 0$, et donc $s_\phi(\textrm{0}) = \vert \langle 0,\phi \rangle\vert^2 = 0$ ; $P_\textrm{1} = id_H$, et donc $s_\phi(\textrm{1}) = \vert \langle \phi, \phi \rangle \vert^2 = 1$. Pour la dernière condition, si $A$ est une partie au plus dénombrable de $T_H$ telle que $\forall p,q \in A\ p\not = q \Rightarrow p \perp q$, alors il existe une base hilbertienne $(e_i)_{i \in I}$ et un ensemble de parties de $I$ indexé par $A$, $(I_p)_{p \in A}$ tel que $\forall p,q \in A\ p\not = q \Rightarrow I_p \cap I_q = \emptyset$ et $\forall p \in A\ p = \overline{\textrm{vect}(\{e_i \ \vert \ i \in I_p\})}$. Alors

$s(A) = \langle P_{\vee A} \phi,\phi\rangle =
\sum_{i \in I} \langle P_{\mathbb{K}e_i}\phi, \phi\rangle =
\sum_{p \in A} \sum_{i \in I_p} \langle P_{\mathbb{K}e_i}\phi, \phi\rangle =
\sum_{p \in A} \langle P_p\phi,\phi\rangle = \sum_{p\in A} s(p)$ (ce dernier argument prend, d'habitude, le nom de Pythagore ou Parseval).
On peut faire des combinaisons convexes de $s_\phi$ (qui ne sont plus, en général, de la forme $s_\psi$), et passer à la limite, dans un certain sens. Le théorème de Gleason (lien en anglais) affirme qu'en dimension supérieure ou égale à $3$, tout état s'obtient de cette forme, et les états purs sont exactement les $s_\phi$. Ce théorème implique le théorème de Kochen-Specker cité plus haut.

Je fais une pause et je continue.

EDIT : Grosse faute dans la définition des états associés à des vecteurs, c'est corrigé en rouge.
EDIT2 : Suivant la mauvaise définition, j'ai écrit une démonstration fausse, mais maintenant que c'est corrigé, en rouge, ça devrait être bon !

Mmmh, dans ta citation, il manque un "$p$" à $p = p' \vee r$.
Je ne vois pas trop ce que tu veux dire.
Je rajoute un exemple dans le texte pour préciser.

Deux observables $o_1,o_2$ à valeurs dans $E_1,E_2$ (avec tribus $B_1$, $B_2$) sont dites compatibles si $\forall m \in B_1 \ \forall n \in B_2 \quad o_1(m) \textrm{ et }o_2(n)$ sont compatibles.

Exemples :
I) Dans le cas classique, toutes les observables sont compatibles.
II) En dimension finie, deux observables sont compatibles si et seulement si les endomorphismes autoadjoints associés commutent.
En dimension infinie, en partie en raison du fait que les opérateurs non bornés ne sont pas définis partout, il y a des contre-exemples.

Dorénavant, on suppose que les treillis sont orthomodulaires, ce qui veut dire $\forall p,q \in T \quad p \leq q \Rightarrow q\wedge (p \vee q') = p$. Cela ne paie pas de mine, mais on a la proposition suivante :
Dans un treillis orthomodulaire, toute partie dont les éléments sont deux à deux compatibles est telle que le sous-treillis engendré par cette partie est distributif (un sous-treillis est une partie stable par $\wedge$, $\vee$ et $\perp$, et le sous-treillis engendré par une partie est l'intersection des sous-treillis qui la contiennent).

Dans ce fil, je demandais de l'aide pour construire, dans le cas général de deux observables compatibles, un moyen de construire l'observable "couple" ou "produit tensoriel". Comme je ne sais pas si c'est possible dans le cas général, je ne décrirai que le cas de deux observables compatibles n'ayant qu'un nombre fini de valeurs, ce qui suffira, pour le moment.

Soit $E_1$ (resp. $E_2$) un ensemble fini, et soit $o_1$ (resp. $o_2$) une observable $P(E_1)$-mesurable (resp. $P(E_2)$-mesurable). On suppose que $o_1$ et $o_2$ sont compatibles.
On définit $o_1 \otimes o_2 : P(E_1 \times E_2) \rightarrow T$ via : pour $D \subseteq E_1\times E_2$, $o_1 \otimes o_2 (D) := \vee(\{o_1(\{e_1\}) \wedge o_2(\{e_2\}) \ \vert \ (e_1,e_2) \in D\})$. On a alors, si $D_1 \subseteq E_1$, $D_2 \subseteq E_2$, $o_1 \otimes o_2(D_1 \times D_2) = o_1(D_1) \wedge o_2(D_2)$. En effet, $\vee(\{o_1(\{e_1\}) \wedge o_2(\{e_2\}) \ \vert \ e_1 \in D_1 \textrm{ et } e_2 \in D_2\}) = \vee_{e_1 \in D_1} \vee_{e_2 \in D_2} o_1(\{e_1\}) \wedge o_2(\{e_2\})$
$= \vee_{e_1 \in D_1} o_1(\{e_1\}) \wedge (\vee_{e_2 \in D_2} o_2(\{e_2\}) = \vee_{e_1 \in D_1} o_1(\{e_1\}) \wedge o_2(D_2) = o_1(D_1) \wedge o_2(D_2)$ en utilisant la distributivité.
De la même façon, on démontre que $o_1\otimes o_2$ est effectivement une observable, mais c'est un peu moins facile à écrire.

Supposons maintenant que $E_1$ et $E_2$ sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}$. Notons $+$ et $\cdot$ les applications de multiplication $+ : E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 + E_2$ et $\cdot : E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \cdot E_2$. On pose, pour les $o_1$ et $o_2$ ci-dessus, $o_1 + o_2 := +^{-1} \circ (o_1 \otimes o_2)$ et $o_1 \cdot o_2 := \cdot^{-1} \circ (o_1 \otimes o_2)$. On les appelle observables somme et produit. Elles ne sont définies que quand les observables sont compatibles ! $+$ et $\cdot$ sont "associatives", si on formalise ce que cela veut dire.

Exemples :
I) Dans le cas classique, $o_1$ et $o_2$ sont $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ pour certaines $f_i$. $o_1 \otimes o_2$ est alors $(f_1 \times f_2)^{-1}$. $o_1 + o_2$ est alors $(f_1 + f_2)^{-1}$ et $o_1 \cdot o_2$ est alors $(f_1 \cdot f_2)^{-1}$.
II) Dans le cas quantique, je ne sais pas trop quel sens donner à $\otimes$. Mais en dimension finie, si $o_1$ est associée à l'endomorphisme adjoint $A_1$ et $o_2$ à l'endomorphisme autoadjoint $A_2$, alors $o_1 + o_2$ est l'observable associée à $A_1 + A_2$, et on a la même chose pour $\cdot$.

EDIT1 : Modification typographique.

Il est à noter que la définition donnée par Christophe de garantie fabricable par mécanique quantique (FMQ) dans sa thèse est un peu différente, et, a priori, pas équivalente. La définition ci-dessus est "mienne", c'est-à-dire, pas forcément bonne, ou judicieuse, sur le plan physique. Mais, au moins, elle se formule dans le langage général des treillis.

Je conçois tout ce qui précède comme un "morceau" entier, c'est-à-dire que je ne compte pas, pour l'instant, rédiger de choses concernant le reste des aspects évoqué dans la thèse de Christophe. J'apporterai les corrections que vous me signalerez, et je modifierai/étofferai/détaillerai selon les retours que vous m'apporterez ! (Par exemple, je pourrais essayer de comparer la définition de Christophe et la "mienne"...!)

@Jean--Louis : Je ne connais pas la réponse à ta question, mais je vais essayer de te dire ce que j'ai compris de mes lectures.

Supposons que l'on modélise l'endroit où tout (tout !) se déroule par $\mathbb{R}^3$, que "tout" ne soit que particules (j'entends par là choses élémentaires qui constituent toute chose), et qu'il y ait un nombre fini $N$, très grand, de particules, et que tout ne soit déterminé que par la "position" et la "vitesse". Alors l'état de l'univers tout entier, à un instant donné, ne serait qu'un élément $x$ de $X := (\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3)^N$. L'histoire de l'univers serait donc une application $\mathbb{R}_+ \rightarrow X$ ($\mathbb{R}_+$ représente le "temps", et on suppose qu'il a un "début"). Et cette application satisferait des équations qu'on appellerait "lois de la nature".
Dans ce cas, si l'on avait un moyen précis de connaître exactement ces équations, et exactement l'état $x_{t_0}$ de l'univers à l'instant $t_0$, on pourrait espérer connaître toute la suite de l'histoire, c'est-à-dire $(x_t)_{t \geq t_0}$.

Evidemment, la réalité n'est pas une application $\mathbb{R}_+ \rightarrow X$, et il faut faire l'acte de foi consistant à espérer que ce que l'on peut comprendre sur l'objet mathématique correspond à peu près à la réalité.

Des expériences ont démontré que ce modèle ne permet pas de décrire le monde correctement, car il exclut de manière théorique que des choses se passent alors qu'elles se passent vraiment en pratique.

Maintenant, beaucoup de gens considèrent que les espaces de Hilbert sont la bonne façon de représenter le monde. Et ces personnes n'ont pas tort, au moins dans certains cas : par exemple, si tu arrives à fabriquer une boîte très, très étanche, et que tous les jours, tu arrives à y isoler une seule particule dans un état que tu as choisi à l'avance et que tu effectues tous les jours la même mesure (tout ceci est faisable de manière assez précise en laboratoire !) et que tu notes le résultat dans un petit cahier, alors les nombres dans ton petit cahier sembleront suivre une loi de proba que tu peux calculer de manière effective selon des produits scalaires dans un espace de Hilbert.

Enfin, bref, je ne pense pas que des personnes affirment sérieusement "tout, tout, tout, n'est rien qu'un vecteur dans un espace de Hilbert", mais je crois qu'il y a beaucoup de personnes qui pensent que pour toute phénomène de la réalité, il y a un espace de Hilbert, et un vecteur de cet espace, qui décrivent suffisamment bien le phénomène pour que des calculs effectués sur ce vecteur permettent de prévoir vraiment le phénomène - le procédé d'association d'un vecteur et d'un espace de Hilbert à quelque chose de concret étant d'autant plus compliqué que la chose l'est.

Je ne sais pas ce qu'est la matière.

En ce qui concerne le lien entre les téléphones et la réalité, ben, de la même façon que la théorie de la relativité dit qu'il est impossible de construire des voitures allant plus vite que la lumière, la mécanique quantique dit qu'il n'est pas impossible de construire des machines qui font des trucs si étranges qu'on pourrait qualifier ça de télépathie (et les téléphones sont l'objet mathématique inventé pour formaliser ce genre de questions, même si tout ceci prend ses racines dans des choses très anciennes, comme le paradoxe EPR). Et en l'occurrence, il y a des machines vraiment très simples, comme le "carré magique de Mermin-Peres", qui sont vraiment fabricables dans la vraie vie.

Christophe, j'ai une petite question : quand tu démontres, dans ta thèse, qu'une physique déterministe qui garantit des téléphones non triviaux garantit automatiquement des téléphones TSD, j'ai une petite observation à faire.
Quand tu dis que si une physique déterministe offre une garantie, elle offre en fait une sous-garantie qui est un graphe de fonction, j'ai l'impression que ton argument est le suivant :

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D'après l'hypothèse déterministe, si, dans une histoire $h$, on appuie sur la touche $A$ du premier combiné, et sur la touche $B$ du deuxième combiné, et que ce qui s'affiche sur les écrans, c'est $C$ et $D$, alors pour toute histoire $h'$ identique à $h$ sauf sur ce qu'elle raconte à propos de ce qui s'affiche sur les écrans, on voit aussi $C$ et $D$.

Il vient que pour toute histoire $h$ qui raconte tout, sauf sur quelles touches on appuie et ce qui apparaît sur l'écran, alors on a une fonction $f_h$ qui associe à tout couple $(A,B)$ les résultats qui apparaissent sur les lors de l'appui de $A$ et $B$.

On peut donc dire que dans l'histoire $h$, le téléphone est en fait $graphe(f_h)$ garanti.

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Si c'est bien cela, ton argument, j'ai envie d'objecter que "dans la pratique", ça manque d'intérêt, puisque la fonction $f_h$ dépend de l'histoire ambiante, et qu'il faut la connaître entièrement pour pouvoir en déduire un procédé pour envoyer de l'information instantanément !
C'est un peu dommage, non ?
Ou alors est-ce que j'ai loupé quelque chose ?

@grothenbiete : Non, en fait, ce n'est que de l'algèbre hermitienne et un langage un peu imagé. C'est vraiment frustrant quand on commence, parce que les livres parlent de particules, de machins, etc. Mais en fait le paradigme hilbertien n'est pas si compliqué, à mon avis.