R est équipotent à P(N)
Bonsoir,
Je cherche à démontrer de manière la plus simple possible le fait que $\mathbb{R}$ est équipotent à $P(\mathbb{N})$ (ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$).
Pour cela j'aimerais utiliser le fait que $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$ est équipotent à $P(\mathbb{N})$ (facile à démontrer grâce à la fonction indicatrice). Et j'aimerais également utiliser le fait que $]0,1[$ est équipotent à $\mathbb{R}$ (facile à montrer en utilisant par exemple la fonction $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$ qui réalise bien la bijection).
Ainsi il ne me reste plus qu'à montrer que $]0,1[$ est équipotent à $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$.
J'ai pensé par exemple à utiliser le développement en base 2 de la forme: $0,\overline{a_1} \overline{a_2} ...$ où $a_i \in \left\{0,1\right\}$. Mais j'obtiens en fait une bijection de $[0,1[$ dans $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$.
Il me resterait donc à montrer que $[0,1[$ est équipotent à $]0,1[$. Je sais que c'est possible mais je n'en connais pas de preuve "rapide".
Je vous sollicite donc si vous connaissez une preuve rapide de ce dernier point, ou encore mieux si vous connaissez une preuve de l'équipotence initiale plus rapide que ce qui précède (en utilisant des outils de L3).
Cordialement
Je cherche à démontrer de manière la plus simple possible le fait que $\mathbb{R}$ est équipotent à $P(\mathbb{N})$ (ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$).
Pour cela j'aimerais utiliser le fait que $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$ est équipotent à $P(\mathbb{N})$ (facile à démontrer grâce à la fonction indicatrice). Et j'aimerais également utiliser le fait que $]0,1[$ est équipotent à $\mathbb{R}$ (facile à montrer en utilisant par exemple la fonction $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$ qui réalise bien la bijection).
Ainsi il ne me reste plus qu'à montrer que $]0,1[$ est équipotent à $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$.
J'ai pensé par exemple à utiliser le développement en base 2 de la forme: $0,\overline{a_1} \overline{a_2} ...$ où $a_i \in \left\{0,1\right\}$. Mais j'obtiens en fait une bijection de $[0,1[$ dans $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$.
Il me resterait donc à montrer que $[0,1[$ est équipotent à $]0,1[$. Je sais que c'est possible mais je n'en connais pas de preuve "rapide".
Je vous sollicite donc si vous connaissez une preuve rapide de ce dernier point, ou encore mieux si vous connaissez une preuve de l'équipotence initiale plus rapide que ce qui précède (en utilisant des outils de L3).
Cordialement
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Réponses
Cordialement, et merci
Tu auras de plus beaucoup de mal à trouver une preuve sans Cantor-Bernstein, je n'ai encore vu aucune preuve ne l'utilisant pas. En effet ta bijection entre $[0,1]$ et $\{0,1\}^\mathbb{N}$ l'utilise déjà (la base 2 fournit une injection, la base 3 en fournit une autre : n'oublie pas les développements impropres !)
Mais je ne connais pas les développements impropres.
Par ailleurs je me demandais si justement l'application $f: \left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}} \to [0,1[$ qui à une suite $(a_n)$ associe le réel $0,\overline{a_1 a_2}²...$ est bien une bijection.
Elle est bien surjective car si on prend un réel dans $[0,1[$ écrit en base décimale de la forme $0,x_1 x_2 ...$ et qu'on ne considère que la partie $x_1 x_2 ...$ on obtient un entier que l'on peut décomposer en base 2.
Cependant je crois qu'elle n'est pas injective (ou du moins j'ai du mal à le montrer).
Du coup si on prend la base 3 et qu'on restreint l'intervalle d'arrivée à $[0,1/2]$ on obtient par contre bien une bijection non? où existe-t-il encore des développements impropres dans $[0,1/2]$?
1,00101=1,001001111111111111...
Entre $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$ et $]0,1[$ ou un ensemble similaire.
@Maxtimax & autres
Sinon oui admettons que j'utilise le théorème de Cantor-Bernstein j'ai bien une injection entre $\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}$ et $[0,\frac 1 2]$ par le développement en base 3 (en reprenant ce que je racontais en base 2 mais cette fois en base 3 en prenant la précaution de multiplier par $\frac 1 3$), mais je ne vois pas comment obtenir l'injection dans l'autre sens.
J'ai vraiment bien compris.
Merci à l'ensemble des contributeurs.
Bonne continuation,
Cordialement