Bourbaki, vraiment pour comprendre (2)

Bonjour à tous,

$\hspace{1 cm}$

Il s’agit maintenant de l’exercice 14 P. III-76 de Bourbaki - THEORIE DES ENSEMBLES. Comme je l'ai expliqué dans mon précédent post, je comptais sincèrement sur l'aide de quelqu'un pour m’accompagner sur ces exercices, celui-ci étant encore plus ardu que son prédécesseur.
Encore une fois, l’énoncé est en pièce jointe. Vous trouverez ci-dessous mes réponses et les questions que je me pose :

$\hspace{1 cm}$

a)

$a_1)$ Montrons :$ \Bigl( (\lambda_i)_{i \in I}$ famille d'ordinal $ \land$ I bien ordonné $\ \Bigr) \Longrightarrow \sum_{i \in I} \lambda_i$ est un ordinal

$\hspace{1 cm}$

. D'après exercice 13 p. III-76, $\sum_{i \in I} \lambda_i $ = Ord ( $\sum_{i \in I} E_i$) avec $ E_i$ : ensemble ordonné par $\lambda_i$ à un

isomorphisme près $\textit{(c'est à dire qu'il existe une relation d'ordre $\Gamma_i$ et un ensemble $E_{\lambda_i} / (E_i, \Gamma_i ) \simeq (E_{\lambda_i}, \lambda_i ) $ ...)}$,

et même bien ordonné puisque $\lambda_i$ est un ordinal. Cela revient donc à prouver que $\sum_{i \in I} E_i$ est bien

ordonné...

$\hspace{1 cm}$

. Or d'après l'exercice 9 p. III-76, : $\Bigl($ I bien ordonné $\land \, E_i$ bien ordonnés, $(\forall i \in I) \Bigr) \Longrightarrow \sum_{i \in I} E_i$ est bien

ordonné $\hspace{2 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

$a_2)$ Montrons :$ \{ (\lambda_i)_{i \in I}$ famille d'ordinal $ \land $ I bien ordonné et fini $\} \Longrightarrow \mathcal{P}_{i \in I} \lambda_i$ est un ordinal

$\hspace{1 cm}$

. $\lambda_i$ ordinal $\Rightarrow E_i$ ensemble bien ordonné par $\lambda_i$ (à un isomorphisme près...), ($\forall i \in I $).

$\hspace{1 cm}$

. D'après exercice 11 p. III-76 : I bien ordonné et fini $\land \, E_i$ ensemble bien ordonné, $(\forall i \in I) \Longrightarrow (\prod_{i \in I} E_i, \underset {L} {\leqslant})$

bien ordonné, avec $\underset {L} {\leqslant}$ : produit lexicographique

. Donc $\mathcal{P}_{i \in I} \lambda_i$ qui est le type d'ordre du produit lexicographique $(\prod_{i \in I} E_i, \underset {L} {\leqslant})$ est un ordinal $\hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

$a_3)$ On pose : Ord ($\emptyset$) = 0 $\land$ Ord ($\{a\}$) = 1

$\hspace{1 cm}$

$\bullet Montrons : \lambda + 0 = 0 + \lambda = \lambda$

$\hspace{1 cm}$

- Montrons: $\lambda + 0 = \lambda$ :

$\hspace{1 cm}$

. d'après exercice 13 - e) : $\lambda + 0 = \sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}\varepsilon_i $= Ord $(\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i)$ avec $(E_\alpha = E_\lambda \land E_\beta = \emptyset \land \alpha \leqslant \beta)$

$\hspace{1 cm}$

. Or : $\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i = E_\alpha + E_\beta = (\{\alpha\} \times E_\alpha) \cup (\{\beta\} \times E_\beta) = (\{\alpha\} \times E_\lambda) \cup (\{\beta\} \times \emptyset) $

$\hspace{1 cm}$

. Mais $\{\beta\} \times \emptyset = \emptyset \, $ (d'après corrolaire 2, p. II-34)

$\hspace{1 cm}$

. $\Rightarrow\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i = \{\alpha\} \times E_\lambda \simeq E_\lambda$

$\hspace{1 cm}$

. $\Rightarrow$ Ord $ (\sum_{i \in \{\alpha,\beta\}}E_i)$ = Ord $(E_\lambda)$

$\hspace{1 cm}$

. $\Leftrightarrow \lambda + 0 = \lambda$

$\hspace{1 cm}$

- On procède de même pour : $0 + \lambda = \lambda$ ....

$\hspace{1 cm}$

$\bullet$ Montrons $\mu.1=1.\mu=\mu$

$\hspace{1 cm}$

- Montrons: $\mu.1 = \mu$ :
$\hspace{1 cm}$
. d'après exercice 13 - e) :

I bien ordonné de type d'ordre $\lambda \land (\mu_i)_{i \in i}$ une famille de type d'ordre telle que $\mu_i=\mu, (\forall i \in I)$

$ \Longleftrightarrow \sum_{i \in I} \mu_i = \mu.\lambda \hspace{1 cm} $(1)

. De plus, si on considère I = $\{a\}$, on a $\begin{cases} \text{I bien ordonné de type d'ordre} \lambda = 1 \hspace{1 cm} (2) \\ \text{mais on a aussi} \sum_{i \in I} \mu_i = \sum_{i \in \{a\}} \mu_i = \mu_a =\mu \end{cases}$

.$ \underset{(1)+(2)} {\Longrightarrow} \mu = \sum_{i \in I} \mu_i = \mu.1$

$\hspace{1 cm}$

- Montrons: $ 1.\mu = \mu$ :

$\hspace{1 cm}$

. On a $\mu$ ordinal d'un ensemble bien ordonné que l'on note I. On considère $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille de type

d'ordre tels que les ensembles associés $E_{\lambda_i}$ soient des singletons $\{a_i\} \,\Bigl( \Rightarrow Ord(E_{\lambda_i}) = Ord(\lambda_i)=1$

$= Ord(\lambda), (\forall i \in I) \Bigr)$

On a alors d'après l'exercice 13 - e) : $\sum_{i \in I} \lambda_i = Ord (\lambda) . Ord (I) = 1.\mu \hspace{1 cm} (3)$

$\hspace{1 cm}$

. Par ailleurs: $\sum_{i \in I} \lambda_i$ =Ord ( $\sum_{i \in I} E_i$) avec $ E_i$ : ensemble ordonné par $\lambda_i $ ( à un isomorphisme près)

$\hspace{1 cm}$

. Or$ \sum_{i \in I} E_i = \cup_{i \in I} (\{i\} \times E_i) \text{ avec} E_i=\{a_i\}$

$\hspace{1 cm}$

. Il s'ensuit que : $ \sum_{i \in I} E_i = \{(i,a_i)\}_{i \in I} \simeq \{i\}_{i \in I}$

$\hspace{1 cm}$

$\underset {exo 13 , p.3-76 + a)} {\Longleftrightarrow} Ord (\sum_{i \in I} E_i) = Ord (I) \Leftrightarrow \sum_{i \in I} \lambda_i = \mu \hspace{1 cm} (4)$

$\hspace{1 cm}$

.(3) + (4) $\Longleftrightarrow \, 1.\mu= \mu$

$\hspace{1 cm}$

b) Montrons que R($\lambda,\mu$):" $ \lambda,\mu$ ordinaux $\land\, \lambda \prec \mu$ " est une relation de bon ordre

$\hspace{1 cm}$

1)$ \textit{on notera "A (V)" pour "A : théorême"}$

$\hspace{1 cm}$

On a : $\begin{cases} \lambda \text{ ordinal (V)} \\ \land \\ \{\lambda,E_\lambda\} \simeq \{\lambda,E_\lambda\} \text{ avec } E_\lambda \text{ ensemble ordonné par } \lambda \text{ (V)} \end{cases} \Longrightarrow \Bigl( \lambda \land \lambda \,$ ordinaux $\land \, \lambda \prec \lambda \Bigr)$ (V)

$\hspace{1 cm}$

$\Rightarrow R(\lambda,\lambda)$ (V) $\Rightarrow$ R réflexive (dans tout E pour lequel $\lambda$ est un élément) $\hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

2) Comme $\Bigl( R(\lambda,\lambda) \land R(\mu,\mu)\Bigr)$ : théorême, on a donc aussi :$\biggl( \lnot \Bigl(R(\lambda,\mu)\Bigr) \lor \Bigl(R(\lambda,\lambda) \land R(\mu,\mu)\Bigr) \biggr)$: théorême

$\Leftrightarrow \biggl( \Bigl( R(\lambda,\mu) \Bigr)\Rightarrow \Bigl( R(\lambda,\lambda) \land R(\mu,\mu) \Bigr)\biggr) \hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

3)

. remarque préliminaire :$\lambda \prec \mu \Leftrightarrow ( E_\lambda,\lambda) \simeq ( E'_\mu,\mu)$ avec $ E'_\mu$ sous ensemble de $ E_\mu \land E_\lambda $ bien ordonné par

$\lambda \land E_\mu$ bien ordonné par$ \mu \Rightarrow E'_\mu$ sous ensemble de l'ensemble bien ordonné $ E_\mu \underset{corr.3 p.3-22}{\Longrightarrow} E'_\mu$ segment de

$E_\mu \hspace{1 cm}$ (5)

$\hspace{1 cm}$

. On a alors :$ R(\lambda,\mu)\Rightarrow \lambda \prec \mu \Leftrightarrow \exists f_1 :(E_\lambda,\lambda) \longrightarrow (E'_\mu,\mu)$ (avec$ E'_\mu$ sous ensemble de $ E_\mu$) isomorphisme

$\underset {(5)} {\Leftrightarrow}\exists f_1 :(E_\lambda,\lambda) \longrightarrow (E'_\mu,\mu)$ (avec$ E'_\mu$ segment de $ E_\mu$) isomorphisme $\hspace{1 cm}$ (6)

$\hspace{1 cm}$

De même, on a, $\textit{ à priori}, R(\mu,\lambda)\Rightarrow \mu \prec \lambda \Leftrightarrow \exists f_2 :(F_\mu,\mu) \longrightarrow (F'_\lambda,\lambda)$ (avec $F'_\lambda$ sous ensemble de $ F_\lambda$)

isomorphisme (*)

$\hspace{1 cm}$

Comme $\lambda$ et $\mu$ sont des types d'ordre, on a $(F_\mu,\mu) \simeq (E_\mu,\mu)$ et $(F_\lambda,\lambda) \simeq (E_\lambda,\lambda)$, en effet :

$(F_\mu,\mu) $ représente la classe d'équivalence pour la relation "r" : r$(\mu_1,\mu_2) \Leftrightarrow \exists E_1$ ordonné par $ \mu_1, $

$ \exists E_2 $ ordonné par $\mu_2 \, \land \, (E_1,\mu_1) \simeq (E_2,\mu_2) $.

Donc tous les ensembles ordonnés $E_{\mu_i}$ ordonnés par $\mu_i $ (dont le type d'ordre est $\mu$) sont isomorphes $\hspace{0.5 cm}$

CQFD

$\hspace{1 cm}$

De sorte qu'il est équivalent de dire, au lieu de (*) :

$\hspace{1 cm}$

$\exists f_2 :(E_\mu,\mu) \longrightarrow (E'_\lambda,\lambda)$ (avec $E'_\lambda$ sous ensemble de $ E_\lambda$) isomorphisme

$\hspace{1 cm}$

$\underset {(5)} {\Longleftrightarrow} \exists f_2 :(E_\mu,\mu) \longrightarrow (E'_\lambda,\lambda)$ (avec $E'_\lambda$ segment de $E_\lambda$) isomorphisme $\hspace{1 cm}$ (7)

$\hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

(6) + (7) $\, \underset {corr. 2 p. 3-22}{\Longrightarrow} \Bigl( E_\lambda, E_\mu$ bien ordonnés $\Rightarrow f_1= f_2^{-1}=f \, \land \, E'_\lambda = E'_\lambda \land E'_\mu=E_\mu \Bigr)$

$ \Rightarrow f: (E_\lambda,\lambda) \longrightarrow (E_\mu,\mu)$ isomorphisme $\Rightarrow \lambda= \mu \hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

. $R(\lambda,\mu) \Leftrightarrow \lambda \prec\mu \Leftrightarrow (E_\lambda,\lambda) \simeq (E'_\mu,\mu)$ (avec$ E'_\mu$ sous ensemble de$ E_\mu) \hspace{1 cm}$ (8)

$\hspace{1 cm}$

.De plus : $R(\mu,\nu) \Leftrightarrow \mu \prec\nu \Leftrightarrow (E_\mu,\mu) \simeq (E'_\nu,\nu)$ (avec $E'_\nu$ sous ensemble de$ E_\nu$) $\Rightarrow (E'_\mu,\mu) \simeq (E''_\nu,\nu) $ avec

$E''_\nu$ sous ensemble de $E'_\nu$ (propriété des isomorphismes)

$\hspace{1 cm}$

.$\underset {(8)}{\Rightarrow} (E_\lambda,\lambda) \simeq (E''_\nu,\nu)$

$\hspace{1 cm}$

4) Soit $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille d'ordinal, il s'agit de montrer qu'elle admet un ppe :.... ?

$\hspace{1 cm}$

c)

$c_1)$ Montrons $Coll_\xi(\xi $ ordinal $\, \land \, \xi \leqslant \alpha)$ : théorême

$\textit{voici une démonstration dont je ne suis absolument pas sûr...} : $

$\hspace{1 cm}$

. $\xi $ ordinal $\, \land \, \xi \leqslant \alpha \Leftrightarrow \xi$ ordinal $ \,\land \, \alpha$ ordinal$ \, \land \, \xi \prec \alpha \Leftrightarrow (\alpha, \xi)$ ordinaux $ \, \land \, \xi$ est le type d'ordre d'un

segment de $\alpha \hspace{1 cm}(9) $

$\hspace{1 cm}$

Or $\xi$ : type d'ordre d'un segment de $\alpha \Leftrightarrow \xi$ : type d'ordre d'un segment de $ E_\alpha$ ( ensemble ordonné par

un ordre de type $\alpha) \Leftrightarrow \xi$ type d'ordre de $E'_\alpha$ segment de $E_\alpha \underset {exercice 13 -a)} {\Longleftrightarrow} (\xi,E_\xi) \simeq (\alpha, E'_\alpha) \hspace{1 cm} (10)$

$\hspace{1 cm}$

. Par ailleurs, $\alpha$ ordinal $\Rightarrow E_\alpha$ bien ordonné $\underset {prop 2, p.3-16} {\Longrightarrow} E_\alpha^*$ (ensemble des segments de $E_\alpha$)

bien ordonné $\hspace{1 cm}$ (11)

$\hspace{1 cm}$

. (10) + (11) $\Longrightarrow \{\xi / \xi$ type d'ordre d'un segment $\alpha\}$ est un ensemble (bien ordonné)

$\hspace{1 cm}$

. $ \Rightarrow$ (9) est de la forme $ P \land \, \xi \in A$, avec P: la relation "$\xi $ ordinal " et A: l'ensemble $\{\xi / \xi$ type d'ordre

d'un segment $\alpha\}$

$\hspace{1 cm}$

. $\underset {C 51} {\Longrightarrow} (9)$ est collectivisante $\hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

$\textit{(En fait je traduis simplement le fait qu'un isomorphisme conserve la propriété d'ensemble ...???)}$

$\hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

$c_2) \text{ Soit } \alpha \text{ ordinal, d'après } c_1), G=\{\xi / \, \xi \text{ ordinal }\land \, \xi \leqslant \alpha \}\text{ est un ensemble, et } (G,\leqslant)\text{ est un ensemble ordonné et}$

$ \text{même un ensemble bien ordonné puisque } \leqslant \text{ est une relation de bon ordre !.}$

$\text{ Il s'agit de montrer que } O_\alpha = \tau_\xi (\xi \text{ ordinal } \land \, \xi < \alpha )\text{ est un ensemble bien ordonné}$ .

$\hspace{1 cm}$

$\bullet \text{ Pour cela montrons d'abord que: } (\xi \text{ ordinal } \land \, \xi < \alpha) \text{ est collectivisante en } \xi, \text{ c'est à dire que } Coll_\xi ( \xi \text{ ordinal } \land $

$ \xi < \alpha) \text{ est un théorême :}$

$\hspace{1 cm}$

. on a : ($\xi $ ordinal $ \land \, \xi < \alpha) \Leftrightarrow (\xi \neq \alpha \land \xi$ ordinal$ \,\land \, \xi \leqslant \alpha) \Leftrightarrow \Bigl( P' \land (\xi$ ordinal$ \, \land \, \xi \leqslant \alpha) \Bigr)$ en

notant P' la relation "$\xi \neq \alpha$" .

$\hspace{1 cm}$

. De plus d'après $c_1 : Coll_\xi (\xi $ ordinal $\, \land \, \xi \leqslant \alpha)\,$ théorême, donc$\, G = \tau_\xi (\xi \, $ ordinal $\, \land \, \xi \leqslant \alpha)$, et $\,\xi \in G \Leftrightarrow (\xi \,$

ordinal $\, \land \, \xi \, \leqslant \alpha)$ d'après le 1er paragraphe p. II-4

$\hspace{1 cm}$

. Par conséquent $ \Bigl( P' \land (\xi$ ordinal$ \, \land \, \xi \leqslant \alpha) \Bigr) \Leftrightarrow (P' \land \xi \in G)$ , or par C51 : ($ P' \land \xi \in G $) collectivisante

en$ \, \xi, \text{ donc } Coll_\xi ( \xi \text{ ordinal } \land \, \xi < \alpha)$ : théorême $\hspace{1 cm}$ CQFD

$\hspace{1 cm}$

$\bullet \text{ Enfin } O_\alpha \subset G\text{ bien ordonné} \Rightarrow O_\alpha \text{ bien ordonné}$

$\hspace{1 cm}$

$c_3)$ Montrons que $O_\alpha= \alpha$

. $O_\alpha$ bien ordonné $\Rightarrow Ord ( O_\alpha)$ est un ordinal

mais après ... ?

$\hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

d)

$d_1)$

. D'après c) : $ O_\lambda$ (ensemble des ordinaux <$\lambda$) est bien ordonné $\Rightarrow O'_\lambda = O_\lambda \cup \{\lambda\}$( ensemble des ordinaux

$\leqslant \lambda$) bien ordonné $\Bigl( $(puisque $\lambda \geqslant \xi_i, (\forall i \in I)$ et par l'exemple 5 p. III-16 $\Bigr).$

$\hspace{1 cm}$

. Or $(\xi_i)_{i \in I}$ sous ensemble de $O'_\lambda \Rightarrow (\xi_i)_{i \in I}$ bien ordonné

$\hspace{1 cm}$

. De plus $ (\xi_i)_{i \in I}$ est inductif, en effet : soit $J \subset I$, on a $(\xi_i)_{i \in J} \subset (\xi_i)_{i \in I} \Rightarrow \xi_i \leqslant \lambda, (\forall i \in J) \Longrightarrow (\xi_i)_{i \in J}$,

totalement ordonné, admet un majorant, $(\forall J \subset I) \hspace{1 cm}$

$\hspace{1 cm}$

. par le lemme de Zorn, il s'ensuit que $(\xi_i)_{i \in I}$ admet un élément maximal $\alpha$

$\hspace{1 cm}$

. mais : $(\xi_i)_{i \in I}$ bien ordonné $\Rightarrow (\xi_i)_{i \in I}$ totalement ordonné $\Rightarrow \alpha$ est la borne supérieure de $ (\xi_i)_{i \in I}$,

et par conséquent $\alpha$ est unique $\hspace{1 cm}$ CQFD

$d_2)$ je ne sais pas faire (déjà que je ne suis pas sûr de ma démonstration de $d_1)$....)

Très cordialement