"Action" de théorie.

Ottman · July 2017

Drôle de nom ?
En fait je viens de remarquer un chose en étudiant un peu mon algèbre. Je découvre que l'on fait au final très peu de choses en Théorie des groupes par exemples sans utiliser des nombres et la théorie des ensembles.

Par exemple Soit G un groupe de cardinal n, et p un nombre premier divisant n,
alors Il existe un x dans G tel que L'ordre de x est p. (Théorème de Cauchy)

En regardant un peu sa preuve on utilise de l'arithmétique la théorie des ensembles et en réfléchissant même la question n'est pas uniquement de la théorie des groupes, car elle est équivalente à x(puissance)p égal le neutre.
Donc en général on dira qu'on parle de groupe dans La théorie des ensembles qui définit aussi les nombres et à peu prés ce que l'on veut.
Mais on ne peut pas considérer par exemple plusieurs théories indépendantes, théorie de Peano des groupes ZFC et considérer des "actions" entre elles càd des phrases vraies en s'autorisant à parler avec le langage et les théorèmes d'une autre théorie ?

[Giuseppe Peano (1858-1932) prend toujours une majuscule. AD]

L'Axone du Choix · July 2017

On pourrait aussi s'autoriser à respecter un minimum le langage français. Cela étant dit, ce dont tu parles me semble vachement ressembler au concept de consistency strength, auquel je ne connais malheureusement quasiment rien.

Poirot · July 2017

Je n'ai rien compris au message initial. Pourrais-tu écrire des phrases qui ont un sens ?

Ottman · July 2017

Oui j'avoue je m'excuse mon message est très peu compréhensible,
Voilà: parfois pour répondre à des questions d'une théorie A on utilise la théorie B. Et on ne sait pas si en s'interdisant l'usage de la théorie B on peut répondre à cette question.

Par exemple le théorème de Cauchy en algèbre , difficile de le démontrer en utilisant uniquement les outils de la théorie des groupes cependant en utilisant la théorie des ensembles et l’arithmétique on y arrive.
Donc je demandais si il y'avait un concept logique qui parle de ça.
Merci l'Axone du choix pour ta réponse je vais aller voir.

L'Axone du Choix · July 2017

Regarde aussi l'interprétabilité, je crois que c'est assez lié.

Maxtimax · July 2017

Je crois que ça n'a pas grand chose à voir avec la consistency strength @L'AxoneduChoix, qui concerne les différents énoncés indépendants de ZF et les classifie selon que ZF+$A\vdash B$ ou pas, où $A,B$ sont de tels énoncés et $\vdash$ désigne la relation de prouvabilité.

Autrement, je ne crois pas que ça soit vraiment étudié... Tu peux voir ça comme des relations entre catégories, mais je doute que ça t'emmène très loin.

L'Axone du Choix · July 2017

Hum je n'avais pas ça en tête pour la consistency strength, mais je me trompe peut-être. Pour moi c'était: est-ce qu'une théorie $A$ prouve la cohérence d'une théorie $B$?

Maxtimax · July 2017

@L'AxoneduChoix : oui il y a de ça aussi, mais ça rentre dans ce que j'ai décrit (en tout cas de ce que j'ai vu de ce terme utilisé) : usuellement $A$ sera de la forme ZF+un axiome et $B$ sera simplement un autre axiome, pouvant être de la forme "$T$ est cohérente". Je me trompe peut-être mais il me semble que c'est l'usage

EDIT: selon wikipedia, tu as plus raison que moi :-D il s'agit de savoir si, $cons(T) \implies cons(S)$ pour $S,T$ deux théories. Je maintiens que souvent les théories étudiées sont de la forme $ZF + cons(A)$, mais je me suis en effet trompé.

"Action" de théorie.

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