Un truc sur la famille vide
Salut,
Quelque chose me tracasse lorsqu'on considère la famille vide. A chaque fois que l'on évoque cette dernière, que ce soit cette année en cours ou dans le bouquin que je lis actuellement (RDO), on balance par exemple : "la famille vide $(A_i)_{i\in \emptyset}$ vérifie blabla...". Or les $A_i$ ne sont jamais définis, on ne sait pas qui ils sont, s'ils existent ou non.
Tout ceci étant un peu vague, j'illustre par un exemple que j'ai vécu cette année en colle. On suppose que l'on a la définition suivante de topologie :
Soit $E$ un ensemble. On dit que $\mathcal T$ est une topologie sur $E$ si :
1) $\forall J, J$ fini, $(A_i)_{i\in J}\in\mathcal T^J\Rightarrow \cap_{i\in J}A_i\in\mathcal T$ ;
2) $\forall I, (A_i)_{i\in I}\in\mathcal T^I\Rightarrow \cup_{i\in I}A_i\in\mathcal T$.
La première question était de montrer que $E\in\mathcal T$, voici ce que j'avais fait et qui est je crois correct (en tout cas on ne m'avait rien dit et on était passé à la suite) :
la famille vide $(A_i)_{i\in\emptyset}$ d'éléments de $\mathcal T$ est un élément de $\mathcal T^{\emptyset}$ avec $\emptyset$ fini donc d'après 1), il vient $\cap_{i\in\emptyset}A_i\in\mathcal T$. Or on sait que $\cap_{i\in\emptyset}A_i=E$ donc $E\in\mathcal T$.
Sauf que pour moi, la partie en bleu n'a rien d'évident. En effet, vu qu'on ne dit pas qui sont les $A_i$, on pourrait très bien s'amuser à prendre pour ces derniers, des trucs qui sont pas des éléments de $\mathcal T$, non ? En fait, ce que j'aimerais bien faire, c'est par exemple : posons pour tout $i\in\emptyset, A_i=\emptyset$ mais j'imagine que si personne ne le fait, c'est qu'il y a une bonne raison.
J'ai un peu peur que ma question soit bête mais bon, je préfère dissiper mes doutes ici pendant les vacances plutôt que dans un an face à un examinateur qui ne me fera aucun cadeau.
Merci par avance,
Quelque chose me tracasse lorsqu'on considère la famille vide. A chaque fois que l'on évoque cette dernière, que ce soit cette année en cours ou dans le bouquin que je lis actuellement (RDO), on balance par exemple : "la famille vide $(A_i)_{i\in \emptyset}$ vérifie blabla...". Or les $A_i$ ne sont jamais définis, on ne sait pas qui ils sont, s'ils existent ou non.
Tout ceci étant un peu vague, j'illustre par un exemple que j'ai vécu cette année en colle. On suppose que l'on a la définition suivante de topologie :
Soit $E$ un ensemble. On dit que $\mathcal T$ est une topologie sur $E$ si :
1) $\forall J, J$ fini, $(A_i)_{i\in J}\in\mathcal T^J\Rightarrow \cap_{i\in J}A_i\in\mathcal T$ ;
2) $\forall I, (A_i)_{i\in I}\in\mathcal T^I\Rightarrow \cup_{i\in I}A_i\in\mathcal T$.
La première question était de montrer que $E\in\mathcal T$, voici ce que j'avais fait et qui est je crois correct (en tout cas on ne m'avait rien dit et on était passé à la suite) :
la famille vide $(A_i)_{i\in\emptyset}$ d'éléments de $\mathcal T$ est un élément de $\mathcal T^{\emptyset}$ avec $\emptyset$ fini donc d'après 1), il vient $\cap_{i\in\emptyset}A_i\in\mathcal T$. Or on sait que $\cap_{i\in\emptyset}A_i=E$ donc $E\in\mathcal T$.
Sauf que pour moi, la partie en bleu n'a rien d'évident. En effet, vu qu'on ne dit pas qui sont les $A_i$, on pourrait très bien s'amuser à prendre pour ces derniers, des trucs qui sont pas des éléments de $\mathcal T$, non ? En fait, ce que j'aimerais bien faire, c'est par exemple : posons pour tout $i\in\emptyset, A_i=\emptyset$ mais j'imagine que si personne ne le fait, c'est qu'il y a une bonne raison.
J'ai un peu peur que ma question soit bête mais bon, je préfère dissiper mes doutes ici pendant les vacances plutôt que dans un an face à un examinateur qui ne me fera aucun cadeau.
Merci par avance,
Réponses
-
Une famille indexée par $I$ d'éléments de $\mathcal{T}$, c'est tout bêtement une application $A:I\to \mathcal{T}$. On a l'habitude d'écrire $A_i$ au lieu de $A(i)$, mais ça ne change rien.
La famille vide d'éléments de $\mathcal{T}$, c'est tout bêtement l'unique application $\emptyset \to \mathcal{T}$. -
Pour savoir si ta preuve est correcte tu peux aller voir le fil "Axiomes de la topologie" dans le forum "topologie", où différentes réponses sont données (ça dépend essentiellement de la définition d'intersection que l'on donne).
Quant à la famille vide, GBZM t'a bien répondu : l'application $\emptyset \to \mathcal{T}$ est unique donc il n'y a pas besoin de préciser "qui sont" les $A_i$ -
Quand on écrit $(A_i)_{i\in\{1,2\}}$, il n'y a pas de $A_i$. Il y a $A_1$ et il y a $A_2$.
Quand on écrit $(A_i)_{i\in\emptyset}$, il n'y a toujours pas de $A_i$. En fait, il n'y a rien. Pourquoi est-ce que l'on ne définit pas plus précisément des objets qui n'existent pas ? Parce qu'ils n'existent pas. Quand il n'y a rien à définir, il est naturel de ne rien définir.
Cordialement, Pierre. -
Merci, ça marche.
-
Une application (ou une fonction, ou encore une famille, ces mots sont synonymes en mathématiques) est un ensemble $u$ tel que tout élément de $u$ est un couple et tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $u$, alors $y=z$. (disons que "l'argument détermine l'image...")
Soit $u$ une application. Il existe deux ensembles notés dans la suite respectivement $dom(u)$ et $im(u)$, tels que:
1° pour tout $s$, $s\in dom(u)$ si et seulement si il existe $t$ tel que $(s,t)\in u$. $dom(u)$ s'appelle "l'ensemble de définition de $u$" ou encore le "domaine de $u$".
2° pour tout $b$, $b\in im(u)$ si et seulement si il existe $a$ tel que $(a,b)\in u$. $im(u)$ s'appelle "l'image de $u$".
Soit $v$ une application, $t\in dom(v)$, l'unique élément $y$ tel que $(t,y)\in v$ est souvent désigné par $v(t)$ ou encore $v_t$ (bref $(s,v_s)\in v$ pour tout $s\in dom(v)$...).
Si $E,F$ sont des ensembles, on appelle "fonction (ou application) de $E$ dans $F$" toute application $f$ telle que $dom(f)=E$ et $im(f)$ est inclus dans $F$. L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ est souvent noté $F^E$(*).
Enfin, une dernière notation: soit $h$ une application et $I:=dom(h)$. Alors on convient dans tout les cas que $(h_i)_{i\in I}$ désigne ... $h$ elle-même.
******
Que se passe-t-il avec l'ensemble vide?
On a la propriété suivante: $\emptyset$ est une application et c'est la seule qui a un domaine vide.
En effet:
-Tous les éléments de $\emptyset$ sont des couples (sinon: il existerait au moins un élément de $\emptyset$ qui ne soit pas un couple. Mais il n'existe aucun élément dans $\emptyset$...)
-Pour tous $p,q,r$, $(p,q)\in \emptyset$ et $(p,r)\in \emptyset$ entraînent que $q=r$. (même idée: dans le cas contraire il existerait $p_0,q_0,r_0$ tels que $q_0\neq r_0$ et $(p_0,q_0)\in \emptyset$ et $(p_0,r_0)\in \emptyset$ mais cette dernière circonstance est impossible. De manière générale on raisonne sur l'ensemble vide en exploitant le fait que tous les éléments de l'ensemble vide ont toutes les propriétés possibles: sinon il existe un élément dans l'ensemble vide tel que (...) --> contradiction.)
-Enfin soit $f$ une application non vide; il existe alors un élément dans $f$, nécessairement de la forme $(a,b)$ et alors $a\in dom(f)$, qui est du coup non vide. $\emptyset$ est donc la seule application de domaine vide.
On a par exemple, avec la convention de notation verte ci-dessus, $(\emptyset_k)_{k\in \emptyset}$ (!!)
Noter que $im(\emptyset)=\emptyset$ et que donc pour tout ensemble $F$, $im(\emptyset)\subseteq F$. Par suite:
Pour tout ensemble $E$, $E^{\emptyset}=\{\emptyset\}$ (un ensemble à un élément).
[size=x-small](*) cette notation provient de ce que si $p,q$ dont des entiers, $\{1,...,p\}^{\{1,...,q\}}$ possède $p^q$ éléments.[/size]Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 3
3 Invités