Paradoxe de Russell
Bonjour ,
J'ai une petite question conçernant l'appartenace d'un ensemble à lui même s'il vous plaît .
Merci
J'ai une petite question conçernant l'appartenace d'un ensemble à lui même s'il vous plaît .
Merci
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Réponses
Il y'a ce qu'on appelle l'axiome de fondation qui stipule que pour tout ensemble il y'a un élément de cet ensemble qui ne partage aucun élément avec lui. (si l'ensemble en question est non vide) et cela affirme notamment l'inexistence d'un ensemble qui s'appartient à lui même.
Et on arrive même à démontrer que L'axiome de fondation est indépendant de ZFC donc on peut le considérer ou non.
Pour ce qui est du paradoxe de Russell il ne s'agit pas exactement de cela si on pose E l'ensemble des ensembles en se contenant pas eux même
on a E appartient à E équivalent à E n'appartient pas à E avec ou sans axiome de fondation
Note : ce que démontre précisément l'axiome de fondation c'est qu'il existe pas de suite d'ensemble Tel que : U(n+1) appartient à Un.
et cela en considérant E={U(n)/n entier} l'intersection de E avec un de ses élément U(n) contient toujours U(n+1)
Et si x appartient à x on a la suite constante x qui vérifie une "descente infinie"
Le paradoxe de Russell se démontre sans recours à l'axiome de fondation, le schéma de compréhension suffit (il affirme que si $A$ est un ensemble et $P$ une propriété quelconque, il existe un ensemble $B$ qui est tel que pour tout $x$, $x$ appartient à $B$ et et seulement si $x$ appartient à $A$ et $P(x)$ est satisfaite. Dit autrement, il existe "l'ensemble des éléments de $A$ vérifiant $P$" ).
En effet (l'idée est importante et ressert dans d'autres phénomènes d'indécidabilité): S'il existait l'ensemble $E$ de tous les ensembles, alors soit (schéma de compréhension) $F$ l'ensemble des $x\in E$ tels que $x\notin x$.
Alors $F\in F \iff F \notin F$ (ce qui est absurde).
Dit informellement: "l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas eux-mêmes, s'appartient-il lui-même ou non?"
J'abrege par P l'énoncé "je suis superwoman". Soit alors A l'ensemble des x tels que si x est dans x alors P.
Alors si A est dans A alors si A est dans A alors P.
Donc si A est dans A alors P
Donc A est dans A
Donc P. (Je suis donc superwoman :-D)
Trop de diffuseurs de ce théorème disent au public que c'est un exemple de ce qui différencie logique classique et intuitionniste alors que c'est faux. D'où la forme précédente plus explicite.
christophe c oui vous êtes superwomen merci pour les explications, y'a pas de livres pour mieux aborder ces trucs ???
En général la "vox populi" a du mal avec les implications, quant à ceux qui décident de s'initier à l'intuitionnisme, ils sont mis au courant dès le premier jour du fait que $\perp \implies A$ pour tout $A$ (et au deuxième que $ \big ($$\neg A \iff (A\implies \perp)$$\big)$ est prouvable).
EDIT: reformulation et ajout des parenthèses au bon endroit
> $\neg A$ équivaut à $A\implies \perp$ est prouvable
Comment faut-il parenthéser ?
$\neg A$ équivaut à ($A\implies \perp$ est prouvable)
ou
($\neg A$ équivaut à $A\implies \perp$) est prouvable
?
La deuxième bien sûr.
pourriez-vous s'il vous plaît m'expliquer l'emploi de bien sûr pour l'histoire du parenthésage. Ce qui suit vous y aidera me semble-t-il.
Lorsque j'ai lu votre message, je l'ai lu avec l'autre parenthésage. Avec le vôtre, cela relève de la logique dite classique non ? Du coup je ne vois pas trop en quoi un autre qualificatif, intuitionniste, se manifeste dans l'histoire.
En fait, ma question est : comment qualifie-t-on les personnes-maticiennes qui remplacent le mot vrai par prouvable dans la la logique classique.
Le personne renvoie à il y a longtemps, askip, les askoumaticiens et les mathématiciens.
S
Réponds-tu à ma question ?
S
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_non_bien_fondés
Merci pour l'aide surtout pour l'aide de ''supermen and superwomen '' et pour le livre, Christophe c, je cherche un document simple pour saisir ces notions et ces axiomes (paradoxe de russel axiome de fondation les ordineaux et cardineaux ) .merci