Paradoxe de Russell

Tu demandes est-ce que cela existe ? Bah cela dépend !
Il y'a ce qu'on appelle l'axiome de fondation qui stipule que pour tout ensemble il y'a un élément de cet ensemble qui ne partage aucun élément avec lui. (si l'ensemble en question est non vide) et cela affirme notamment l'inexistence d'un ensemble qui s'appartient à lui même.
Et on arrive même à démontrer que L'axiome de fondation est indépendant de ZFC donc on peut le considérer ou non.
Pour ce qui est du paradoxe de Russell il ne s'agit pas exactement de cela si on pose E l'ensemble des ensembles en se contenant pas eux même
on a E appartient à E équivalent à E n'appartient pas à E avec ou sans axiome de fondation

Note : ce que démontre précisément l'axiome de fondation c'est qu'il existe pas de suite d'ensemble Tel que : U(n+1) appartient à Un.
et cela en considérant E={U(n)/n entier} l'intersection de E avec un de ses élément U(n) contient toujours U(n+1)
Et si x appartient à x on a la suite constante x qui vérifie une "descente infinie"

Bonjour YousAk.
Le paradoxe de Russell se démontre sans recours à l'axiome de fondation, le schéma de compréhension suffit (il affirme que si $A$ est un ensemble et $P$ une propriété quelconque, il existe un ensemble $B$ qui est tel que pour tout $x$, $x$ appartient à $B$ et et seulement si $x$ appartient à $A$ et $P(x)$ est satisfaite. Dit autrement, il existe "l'ensemble des éléments de $A$ vérifiant $P$" ).

En effet (l'idée est importante et ressert dans d'autres phénomènes d'indécidabilité): S'il existait l'ensemble $E$ de tous les ensembles, alors soit (schéma de compréhension) $F$ l'ensemble des $x\in E$ tels que $x\notin x$.
Alors $F\in F \iff F \notin F$ (ce qui est absurde).

Dit informellement: "l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas eux-mêmes, s'appartient-il lui-même ou non?"

Bonjour Christophe, ça fait plaisir de te revoir.
En général la "vox populi" a du mal avec les implications, quant à ceux qui décident de s'initier à l'intuitionnisme, ils sont mis au courant dès le premier jour du fait que $\perp \implies A$ pour tout $A$ (et au deuxième que $ \big ($$\neg A \iff (A\implies \perp)$$\big)$ est prouvable).

EDIT: reformulation et ajout des parenthèses au bon endroit

Je n'avais pas disparu , juste fui la canicule en me réfugiant en haute montagne (mais du coup internet..)

Bonsoir Foys,

pourriez-vous s'il vous plaît m'expliquer l'emploi de bien sûr pour l'histoire du parenthésage. Ce qui suit vous y aidera me semble-t-il.

Lorsque j'ai lu votre message, je l'ai lu avec l'autre parenthésage. Avec le vôtre, cela relève de la logique dite classique non ? Du coup je ne vois pas trop en quoi un autre qualificatif, intuitionniste, se manifeste dans l'histoire.


En fait, ma question est : comment qualifie-t-on les personnes-maticiennes qui remplacent le mot vrai par prouvable dans la la logique classique.

Le personne renvoie à il y a longtemps, askip, les askoumaticiens et les mathématiciens.

S

et alors ?
Réponds-tu à ma question ?

S

On peut très bien construire des ensembles qui se contiennent eux-mêmes, voir la théorie des ensembles non bien fondés

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_non_bien_fondés