Troubles métaphysiques.

« Ce dont on ne peut parler, il faut le taire » Ludwig Wittgenstein

Pour comprendre ce genre de choses, le mieux est de faire les constructions par soi-même.
Je suggère de résoudre le problème suivant (qui ne nécessite aucune connaissance préalable hormis le langage de la théorie naïve des ensembles).

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Soit $E$ un ensemble, $\rhd$ une application de $E^2$ dans $E$ (si $a,b\in E$ on écrira $a \rhd b$ au lieu de $\rhd(a,b)$). Si $A\subseteq E$ notons $T(A)$ la plus petite partie de $E$ contenant $A$ et telle que pour tous $x,y \in E$, si $x\in T(A)$ et $x\rhd y \in T(A)$ alors $y\in T(A)$. On pose également $$ \begin{align}K & := \{x\rhd (y\rhd x)\mid x,y \in E\} \\ S & := \left \{ \big (p\rhd(q \rhd r) \big )\rhd \big((p \rhd q) \rhd (p \rhd r) \big ) \mid (p,q,r) \in E^3\right\} \end{align}$$

partie I)
1°) Montrer que pour tous $A,B\subseteq E$, si $A\subseteq T(B)$ alors $T(A)\subseteq T(B)$ et que $T$ est croissante (bon d'accord ce n'est pas dur).

2°) Montrer que pour tout $x\in E$, $x\rhd x \in T(S\cup K)$

Dorénavant, pour éviter de surcharger les écritures avec des parenthèses, on convient que $\rhd$ est prioritaire à droite, autrement dit, $x \rhd y \rhd z$ désignera systématiquement $x \rhd (y \rhd z)$, de même que $x_1 \rhd x_2 \rhd x_3 \rhd ... \rhd x_n$ désignera $x_1 \rhd (x_2 \rhd (x_3 \rhd ...(... x_{n-2} \rhd (x_{n-1} \rhd x_n))...)$
Par exemple, $(p\rhd q \rhd r) \rhd (p \rhd q) \rhd p \rhd r \in S$ pour tous $p,q,r$.

3°) Soit $F$ une partie de $E$ telle que $S\cup K\subseteq F$.
i) Montrer que pour tous $a,b\in E$, $a\rhd b \in T(F)$ si et
seulement si $b \in T(F \cup \{a\})$ .
ii) En déduire que si $x,x_1,...,x_n\in E$, $x_1 \rhd x_2 \rhd ... x_{n-1} \rhd x_n \rhd x\in T(F)$ si et seulement si $x\in T(F \cup \{x_1,...,x_n\})$ ("théorème de déduction").

4°) montrer que pour tous $a,b,c$, les éléments de $E$ suivants sont dans $T(S\cup K)$ (l'utilisation de 3° est vivement recommandée).
i) $(a\rhd b) \rhd (b \rhd c) \rhd a \rhd c$
ii) $(a\rhd b) \rhd (c \rhd a) \rhd c \rhd b$
iii) $(a \rhd a \rhd b) \rhd a \rhd b$

5°) Montrer que si $A$ est une partie quelconque de $E$ et si $x\in E$, $x\in T(A)$ si et seulement si il existe une suite finie $u_1,u_2,...u_n\in E$ telle que $x=u_n$ et pour tout $k\leq n$, $u_k\in A$ ou il existe $i,j<k$ tels que $u_j=u_i \rhd u_k$. Dans la suite on appellera "preuve de $x$ dans $A$" une telle suite.

6°) Si $x\in E$, construire une preuve de $x\rhd x$ dans $S\cup K$ (cf 2°).

7°) décrire un algorithme qui, étant donnés $x,y\in E$, $F$ une partie telle que $S\cup K\subseteq F$ et une preuve $(p_1,...,p_m)$ de $y$ dans $F\cup \{x\}$, renvoie une preuve de $x \rhd y$ dans $F$ (cf 3°).




partie II)
On fixe un élément $\phi \in E$ et on pose $C:=\left \{ \big ((x \rhd \phi) \rhd \phi \big) \rhd x \mid x \in E \right \}$. l'abréviation $\sim y$ désignera $y \rhd \phi$ pour tout $y\in E$. On conviendra également que $\sim$ est prioritaire sur $\rhd$ pour les parenthèses (i.e $\sim u\rhd \sim v = (\sim u)\rhd(\sim v)$)

1°) Montrer que pour tout $x\in E$, $\phi \rhd x \in T(S \cup K \cup C)$.

2°) En déduire que pour tout $G\subseteq E$ tel que $S\cup K \cup C\subseteq G$ et tout $x\in E$, si $x$ et $\sim x$ appartiennent à $T(G)$ alors $T(G)=E$ (on dit que $G$ est contradictoire).

Dans les questions qui vont suivre, l'utilisation du résultat de la question I) 3°) est à nouveau recommandée.

3°) Montrer que pour tous $a,b\in E$, les éléments suivants appartiennent à $T(S \cup K \cup C)$
i) $(a \rhd b) \rhd \sim b \rhd \sim a$
ii) $(\sim a \rhd \sim b) \rhd (b \rhd a)$
iii) $a \rhd \sim \sim a$
iv) $\sim \sim a \rhd a$

4°) Dans cette question, pour tous $x,y\in E$, l'abréviation $x|y$ désigne $(x \rhd y ) \rhd y$.
Montrer que pour tous $a,b,c\in E$, les éléments suivants appartiennent à $T(S \cup K \cup C)$
i) $a \rhd (a|b)$
ii) $b \rhd (a|b)$
iii) $(a|b) \rhd (a \rhd c) \rhd (b \rhd c) \rhd c$.

5°) Dans cette question, $a\&b$ est l'abréviation de $(a \rhd b \rhd \phi) \rhd \phi$ (autrement dit $\sim (a \rhd \sim b)$)
Montrer que pour tous $a,b,c\in E$, les éléments suivants appartiennent à $T(S \cup K \cup C)$
i) $(a\& b) \rhd a$
ii) $(a \& b) \rhd b$
iii) $a \rhd b \rhd (a\& b)$
iv) $(a \rhd b \rhd c) \rhd (a\&b) \rhd c$
v) $\big( (a\& b) \rhd c\big) \rhd a \rhd b \rhd c $.