Fonction et image réciproque
Bonsoir,
J'ai quelques questions basiques...
Si $f:E\rightarrow F$ est une application, tout élément de E a une image dans F.
Si $f:E\rightarrow F$ est une fonction, seuls les éléments de son domaine de définition (inclus dans E) ont une image dans F.
° Est-ce correct ? Et dans la pratique, lorsqu'on introduit une fonction $f:E\rightarrow F$ dans un énoncé, on sous-entend bien que E est son domaine de définition ?
Soit $f:E\rightarrow F$ une application.
$f^{-1}(F) = \{x \in E, f(x)\in F\}$.
Je lis cela "L'image réciproque de F par f est l'ensemble des éléments x de E dont l'image est dans F".
° Puisque f est une application et que tous les éléments de E ont une image dans F, on a $f^{-1}(F) = E$, mais cela ne signifie pas que toutes les images des éléments de E par f couvrent F (autrement dit que $f(E)=F$), on est seulement sûr qu'elles sont dans F, c'est bien cela ?
Soit $f:E\rightarrow F$ une application, A et B deux parties de F.
$f^{-1}(A) = \{x \in E, f(x)\in A\}$ et $f^{-1}(B) = \{x \in E, f(x)\in B\}$.
° Je ne peux pas écrire directement : $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ = $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$, n'est-ce pas ?
° Je peux par contre écrire : $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$ = $ \{x \in E, f(x)\in A\cup B\}$ = $f^{-1}(A \cup $ ?
J'ai quelques questions basiques...
Si $f:E\rightarrow F$ est une application, tout élément de E a une image dans F.
Si $f:E\rightarrow F$ est une fonction, seuls les éléments de son domaine de définition (inclus dans E) ont une image dans F.
° Est-ce correct ? Et dans la pratique, lorsqu'on introduit une fonction $f:E\rightarrow F$ dans un énoncé, on sous-entend bien que E est son domaine de définition ?
Soit $f:E\rightarrow F$ une application.
$f^{-1}(F) = \{x \in E, f(x)\in F\}$.
Je lis cela "L'image réciproque de F par f est l'ensemble des éléments x de E dont l'image est dans F".
° Puisque f est une application et que tous les éléments de E ont une image dans F, on a $f^{-1}(F) = E$, mais cela ne signifie pas que toutes les images des éléments de E par f couvrent F (autrement dit que $f(E)=F$), on est seulement sûr qu'elles sont dans F, c'est bien cela ?
Soit $f:E\rightarrow F$ une application, A et B deux parties de F.
$f^{-1}(A) = \{x \in E, f(x)\in A\}$ et $f^{-1}(B) = \{x \in E, f(x)\in B\}$.
° Je ne peux pas écrire directement : $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ = $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$, n'est-ce pas ?
° Je peux par contre écrire : $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$ = $ \{x \in E, f(x)\in A\cup B\}$ = $f^{-1}(A \cup $ ?
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Réponses
Où sont les Tables de la Loi qui imposeraient ce vocabulaire à tous les mathématiciens francophones ? Et Qui les aurait écrites ?
Est-ce bien si important ? Et si, en dehors d´un domaine spécialisé, et s'il ne s'agissait d'une cuistrerie ?
Juste une idée, comme ça.
Les usages de "fonction" et "application" sont assez variables suivant les lieux et les auteurs. Autant il semble que si on dit "f est une application de E dans F", alors tout élément de E a une image, autant le mot fonction est plus flou.
Si f est une application de E dans F, $f^{-1}(F)=E$, ce qui ne veut pas dire que tout élément de F a un antécédent. Vois la notion d'image réciproque, qui sert surtout pour des parties de F. Vois aussi ce qu'est une surjection.
On a bien directement $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)=\{x \in E, f(x)\in A \text{ ou } f(x)\in B\}$ (voir la définition de la réunion ensembliste). Inutile de perdre du temps à écrire des détails évidents.
Cordialement.
Sato : les ouvrages que je parcours abordent en préambule cette distinction, sans imposer quoi que ce soit ; j'essaie d'y voir plus clair.
gerard0 : dans mon livre, la preuve que $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ = $f^{-1}(A \cup $ se fait par double inclusion.
Je pensais initialement prouver par $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ = $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$ = $ \{x \in E, f(x)\in A \cup B\}$ = $f^{-1}(A \cup $, mais j'avais des doutes là-dessus.
Le_débutant, tu as bien raison de vouloir y voir plus clair. Les petites choses que tu veux montrer sont intéressantes comme exercices pour s'exercer à manier ces notations, à distinguer ce qui est presque évident (mais caché par la notation) de ce qui ne l'est pas. Ce sont des exercices à faire au moins une fois.
Je faisais référence à la formalisation abusive, au fait de vouloir tout mettre dans un carcan définitions-propriétés-lemme-théorème quitte à tirer par les cheveux les définitions et à ne plus savoir où sont les choses vraiment importantes ou subtiles.
En ce qui concerne les applications ou les fonctions, Wikipedia dit d'ailleurs : «Certains distinguent... ». Si tu as envie de le faire pour un besoin ponctuel, fais-le en précisant tes définitions. Mais ce n'est pas parce que tu es tombé sur un ouvrage qui faisait cette distinction qu'il s'agit pour autant de définitions « officielles » (pour qui ? Pour quelle majorité ?) qui seraient « correctes » et que tout le monde devraient suivre. Il n'y a pas de consensus.