Fonction et image réciproque

Bonsoir,

J'ai quelques questions basiques...

Si $f:E\rightarrow F$ est une application, tout élément de E a une image dans F.
Si $f:E\rightarrow F$ est une fonction, seuls les éléments de son domaine de définition (inclus dans E) ont une image dans F.
° Est-ce correct ? Et dans la pratique, lorsqu'on introduit une fonction $f:E\rightarrow F$ dans un énoncé, on sous-entend bien que E est son domaine de définition ?

Soit $f:E\rightarrow F$ une application.
$f^{-1}(F) = \{x \in E, f(x)\in F\}$.
Je lis cela "L'image réciproque de F par f est l'ensemble des éléments x de E dont l'image est dans F".
° Puisque f est une application et que tous les éléments de E ont une image dans F, on a $f^{-1}(F) = E$, mais cela ne signifie pas que toutes les images des éléments de E par f couvrent F (autrement dit que $f(E)=F$), on est seulement sûr qu'elles sont dans F, c'est bien cela ?

Soit $f:E\rightarrow F$ une application, A et B deux parties de F.
$f^{-1}(A) = \{x \in E, f(x)\in A\}$ et $f^{-1}(B) = \{x \in E, f(x)\in B\}$.
° Je ne peux pas écrire directement : $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ = $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$, n'est-ce pas ?
° Je peux par contre écrire : $ \{x \in E, f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\}$ = $ \{x \in E, f(x)\in A\cup B\}$ = $f^{-1}(A \cup $ ?