De la non contradiction au tiers exclu
Bonjours à tous,
J'ai un problème avec une question qui va surement vous paraitre triviale mais bon, je ne vois pas où est le problème.
Tout d'abord je tiens à dire que je n'ai auccun problèmes avec les lois de De Morgan, elles me paraissent évidentes sauf pour ce cas particulier, le passage du principe de non contradiction au principe de tiers exclu :
$\lnot (A \land \lnot A) \leftrightarrow \lnot A \lor A$
Ce qui me pose problème c'est que dans la deuxième formulation il est possible d'avoir la formule :
$A \land \lnot A$
J'ai l'impression que c'est dû à la commutativité de la disjonction.
En faite intuitivement je dirais que le ou exclusif passerait mieux dans la deuxième expression que la disjonction, qu'en pensez-vous ?
P.S : Ce sont mes tous premiers pas avec Latex alors soyez indulgents
Merci !
[Correction LaTeX. Poirot]
J'ai un problème avec une question qui va surement vous paraitre triviale mais bon, je ne vois pas où est le problème.
Tout d'abord je tiens à dire que je n'ai auccun problèmes avec les lois de De Morgan, elles me paraissent évidentes sauf pour ce cas particulier, le passage du principe de non contradiction au principe de tiers exclu :
$\lnot (A \land \lnot A) \leftrightarrow \lnot A \lor A$
Ce qui me pose problème c'est que dans la deuxième formulation il est possible d'avoir la formule :
$A \land \lnot A$
J'ai l'impression que c'est dû à la commutativité de la disjonction.
En faite intuitivement je dirais que le ou exclusif passerait mieux dans la deuxième expression que la disjonction, qu'en pensez-vous ?
P.S : Ce sont mes tous premiers pas avec Latex alors soyez indulgents
Merci !
[Correction LaTeX. Poirot]
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Réponses
Pour LaTeX, il faut écrire les formules entre dollars, et il faut mettre dans antislashs "\" et pas des slashs normaux "/".
En faite je ne déduis pas $ A \land \lnot A $
de la deuxième formule mais je constate juste que dans la première formule, la proposition :
$ A \land\lnot\ A $ est impossible puisque que c'est la négation de cette formule qui est une tautologie alors que dans la deuxième formule, qui doit pourtant être équivalente logiquement à la première, cette formule :
$ A \land\lnot\ A $ est possible.
J'espère m'être fait comprendre..
De l'autre côté de l'équivalence, tu as la tautologie $A \lor \neg A$.
Tu as donc bien une tautologie de chaque côté.
Où est le problème?
Cordialement.
$ \lnot (A \land \lnot A) $
alors il était impossible d'avoir :
$ A \land \lnot A $
Ce qui est totalement évident mais maintenant regardons cette proposition :
$ \lnot A \lor A $
Comme cette proposition est une disjonction, elle est vraie si l'une au moins de ses composantes est vraie, c'est à dire elle est vraie si et seulement si on a : A, $ \lnot A $ ou $ A \land \lnot A $
Alors qu'avec un ou exclusif, cette proposition serait vraie uniquement si une seule de ses composantes était vraie.
C'est plus clair ?
Cordialement.
À bientôt,
Après lecture rapide j'ai un peu sauté au plafond car je ne pense pas que les réponses données se préoccupent du fait que l'équivalence postulée et supposément démontrée au départ est ... fausse (tout au moins dans des conditions de généralité suffisantes) ce qui est, ce me semble, plus important que de se préoccuper de "OUS" exclusifs ou inclusifs.
En effet, les principes de non contradiction et de tiers exclu ne sont pas équivalents (personnellement c'est ce que me dit mon intuition, à tel point que je ne me suis jamais posé la question de leur équivalence, aussi je m'étonne moi-même de mon manque d'audace, ça doit être comme ça qu'on passe à côté de grandes découvertes).
Pourtant il semble bien que NON (P et NONP) et (NONP ou P) soient équivalents.
Oui, mais ça c'est parce qu'on admet que NON(NONP) implique P, ce qui est déjà le principe du tiers exclu.
Donc le raisonnement est biaisé.
C'est comme si on injectait le résultat à démontrer quelque part dans une démonstration (procédé très sournois mais qu'on supposera ici involontaire !).
A bientôt.