Du particulier au général
Bonjour !
J'ai deux questions que je n'arrivais pas vraiment a classer dans un forum particulier... J'ai pensé que "Fondements et Logique" serait peut-etre le plus adapté.
1. Avez-vous des exemples où, pour démontrer un résultat (d'analyse, d’algèbre ou autre), une manière simple est de plonger le résultat à montrer dans un résultat plus général, qu'il est alors plus simple de montrer ? Par exemple, pour montrer qu'un objet vérifie une certaine propriété, montrer que cet objet est dans une classe d'objets qui vérifient tous cette propriété. Ou, un autre exemple, pour montrer que
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}=\ln 2,$$
On peut montrer une identité plus générale en remplaçant $-1$ par $x$ dans le membre de gauche, puis prendre $x=-1$ (après avoir montré qu'on en a le droit).
Je suis à la recherche d'exemples divers de cette méthode de démonstration.
2. Auriez-vous des références concernant l'histoire de l'intégration ? Pourquoi y a-t-il autant de théories de l'intégration ? Pour quelle(s) raisons certains mathématiciens ont chercher à construire de nouvelles théories: répondre à des problèmes particuliers pour lesquels les théories existantes n'étaient pas suffisantes ? Y avait-il une sorte de compétition autour de l'intégration (e.g., qui aura la meilleur théorie ?) ... L'intégrale de Lebesgue est-elle vraiment nécessaire ? Jusqu’où peut-on construire la théorie des probabilités sans l'intégrale de Lebesgue (en conservant des notations concises et raisonnables) ?
Merci par avance !
Victor
J'ai deux questions que je n'arrivais pas vraiment a classer dans un forum particulier... J'ai pensé que "Fondements et Logique" serait peut-etre le plus adapté.
1. Avez-vous des exemples où, pour démontrer un résultat (d'analyse, d’algèbre ou autre), une manière simple est de plonger le résultat à montrer dans un résultat plus général, qu'il est alors plus simple de montrer ? Par exemple, pour montrer qu'un objet vérifie une certaine propriété, montrer que cet objet est dans une classe d'objets qui vérifient tous cette propriété. Ou, un autre exemple, pour montrer que
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}=\ln 2,$$
On peut montrer une identité plus générale en remplaçant $-1$ par $x$ dans le membre de gauche, puis prendre $x=-1$ (après avoir montré qu'on en a le droit).
Je suis à la recherche d'exemples divers de cette méthode de démonstration.
2. Auriez-vous des références concernant l'histoire de l'intégration ? Pourquoi y a-t-il autant de théories de l'intégration ? Pour quelle(s) raisons certains mathématiciens ont chercher à construire de nouvelles théories: répondre à des problèmes particuliers pour lesquels les théories existantes n'étaient pas suffisantes ? Y avait-il une sorte de compétition autour de l'intégration (e.g., qui aura la meilleur théorie ?) ... L'intégrale de Lebesgue est-elle vraiment nécessaire ? Jusqu’où peut-on construire la théorie des probabilités sans l'intégrale de Lebesgue (en conservant des notations concises et raisonnables) ?
Merci par avance !
Victor
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je réponds au 2.
Historiquement, on a intégré bien avant d'avoir une théorie de l'intégration. On se contentait, au dix-septième siècle de remarquer que " le problème des aires est l'inverse de celui des tangentes"; c'est à dire qu'on intégrait des fonctions ayant des primitives.
Avec le virage de la rigueur, au dix-neuvième siècle, apparaissent les premières théories (Stieltjes, Riemann) qui ne se recouvrent d'ailleurs pas, mais se ramènent, pour les fonctions ayant des primitives, au calcul traditionnel. Puis Lebesgue, pour traiter des cas non couverts par les deux précédentes, introduit son intégrale, qui ne coïncide pas vraiment avec les précédentes. Ce qui lance une recherche sur des outils plus généraux (Borel, Daniell, Radon..) d'autant qu'on a besoin d'intégrer sur des espaces bien plus généraux (de fonctions, des groupes topologiques, ...).
Donc il y a deux raisons essentielles à cette diversité : des "généralisations" qui ne recouvrent pas tout à fait les cas particulier; et des outils adaptés à des situations différentes.
Cordialement.
Mais tu écris tellement de choses (plus de 35000 messages) qu'on ne sait pas (moi au moins) extraire la substantifique moelle de tes écrits :-D.
Bruno
Un exemple: Hadwiger et le théorème des quatres couleurs.:-D
Bon mais si toi et Victor voulez un exemple DIRECT on peut signaler la quasi totalité des preuves par récurrence d'énoncés non faits exprès pour être donnés en examen festifs. La récurrence va généralement marcher NATURELLEMENT comme tu dis sur une généralisation: la propriété exacte étudiée n'étant pas assez forte en général pour être prise comme hypothèse de récurrence.
Ce que ne dis pas @CC, car il est a la montagne ! (Orage ???) C'est que l'activité mathématiques consiste a trouver la bonne généralisation pour triviasiler un problème.
Tu as donné un super exemple ... avec log 2 ... tu as la généralisation qui trivialise le problème .. tu remplaces $-1$ par $x$ et tu reconnais un log ?
\begin{equation*}
x^{-1}\mathopen{(}x+y+na\mathclose{)}^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mathopen{(}x+ka\mathclose{)}^{k-1}\mathopen{(}y+(n-k)a\mathclose{)}^{n-k}.
\end{equation*}
La démonstration de Riordan par récurrence démontre en fait une identité plus générale.
Il considère
\begin{equation*}
A_{n}(x,y,p,q)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mathopen{(}x+k\mathclose{)}^{k+p}\mathopen{(}y+n-k\mathclose{)}^{n-k+q}
\end{equation*}
et montre que
\begin{equation*}
A_{n}(x,y,p,q)=xA_{n}(x,y+1,p-1,q+1)+(x+n)A_{n-1}(x+1,y,p,q).
\end{equation*}
Il introduit alors $A_{n}(x,y)=A_{n}(x,y,-1,0)$ et obtient
\begin{equation*}
A_{n}(x,y)=x^{-1}\mathopen{(}x+y+n\mathclose{)}^{n}\quad\text{pour $x\neq0$.}
\end{equation*}
pour en déduire l'identité d'Abel (voir Riordan, Combinatorial Identities. Wiley, 1968) et tout ça avec des raisonnements faisables au niveau L1.
Je suis bien d'accord que formellement pour prouver $A$ on se ramène à prouver $B$ et $B \to A$ (donc $B$ plus général que $A$). Mais psychologiquement (c'est pourquoi j'ai qualifié la question de Victor d'informelle), prouver "directement" que $f$ vérifie bidule, ce n'est pas la même chose que prouver que toute fonction telle que machin, et dont $f$ est un cas particulier, vérifie bidule. La deuxième démarche demande plus d'inspiration. Comme l'a dit flipflop, il s'agit de "trouver la bonne généralisation pour trivialiser un problème."
Mais ton dernier message me fait penser que tu avais déjà compris.
Voir par exemple : Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration - vingt-cinq Siècles De Mathématiques, Elsevier Masson
Collection Enseignement Des Mathématiques, 1997, 16cm x 24cm, 320 p.
Ou : Henri Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars 1904, qu'on trouve ici :
Bonne journée.
Fr. Ch.