Tribu produit
Bonjour,
Je rencontre un problème dans un exercice:
Soient $(X, \mathcal{A})$ et $(Y, \mathcal{B})$ deux espaces mesurables. Soient $C\subset \mathcal{A}$ et $D \subset \mathcal{B}$ deux parties telles que $\sigma(C)=\mathcal{A}$ et $\sigma(D)=\mathcal{B}$.
On note $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma( \left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\})$ la tribu produit de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.
Il s'agit de montrer que $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = C \otimes D$.
J'ai d'abord montré que $C \otimes D \subset \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ car on a $\left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\} \subset \left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\}$.
Pour l'autre sens je n'arrive pas à montrer que $\left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\} \subset \sigma( \left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\})$.
On a clairement que $\mathcal{A} \subset \sigma( \left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\})$ (et de même pour $\mathcal{B}$). Mais je n'arrive pas à conclure.
En vous remerciant par avance pour votre aide,
Cordialement.
Je rencontre un problème dans un exercice:
Soient $(X, \mathcal{A})$ et $(Y, \mathcal{B})$ deux espaces mesurables. Soient $C\subset \mathcal{A}$ et $D \subset \mathcal{B}$ deux parties telles que $\sigma(C)=\mathcal{A}$ et $\sigma(D)=\mathcal{B}$.
On note $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma( \left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\})$ la tribu produit de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.
Il s'agit de montrer que $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = C \otimes D$.
J'ai d'abord montré que $C \otimes D \subset \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ car on a $\left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\} \subset \left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\}$.
Pour l'autre sens je n'arrive pas à montrer que $\left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\} \subset \sigma( \left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\})$.
On a clairement que $\mathcal{A} \subset \sigma( \left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\})$ (et de même pour $\mathcal{B}$). Mais je n'arrive pas à conclure.
En vous remerciant par avance pour votre aide,
Cordialement.
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Réponses
Je n'ai pas de problème pour montrer votre égalité, cependant j'ai toujours du mal à conclure.
Faut-il essayer de montrer l'inclusion $\left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\} \subset \sigma( \left\{ P \times Q | P \in C, Q \in D \right\})$ pour conclure avec votre indication ou c'est un autre raisonnement?
On peut également montrer de même que: Avec $P$ fixé dans $\cal C$ on a $\{Q \in {\cal B} : P \times Q \in C \otimes D\}={\cal B}$. Mais comment relier ces deux ensembles à $\left\{ P \times Q | P \in \mathcal{A}, Q \in \mathcal{B} \right\}$?
Merci de votre réponse,
Cordialement
Justement j'ai du mal à montrer que $T=\{A \in {\cal A} : A \times Q \in C \otimes D\}$ est une tribu proprement:
- L'ensemble vide est dans $T$ (ça ok)
- Si $A \in T$ alors $A^c$ le complémentaire de $A$ dans $X$ est également dans $T$: On a $A \times Q \in C \otimes D$ mais comment justifier rigoureusement que $A^c \times Q \in C \otimes D$ ? J'ai le même problème avec l'axiome suivant (union dénombrable) car tout ce que j'essaye fait appel à des unions dénombrables dans le produit cartésien... ce qui est dur à manipuler non?
A t-on: $(A \times \cup (C \times D) = (A \cup C) \times (B \cup D)$ et $(A \times ^c = A^c \times B^c$?
Edit: Mon problème pour l'axiome suivant (stable par union dénombrable) n'est plus! En effet puisqu'on avait fixé $Q$ on peut intervertir union et produit cartésien.
Il reste donc à montrer la stabilité par passage au complémentaire...
Bon je crois que j'ai démontré la stabilité par complémentaire:
Soit $A\in T$ donc $A \in \cal{A}$ et on a ainsi $A^c = X$ \ $A$. D'où: $A^c \times Q=(X$\$A) \times Q = (X \times Q)$ \ $(A \times Q)$ par distributivité du produit cartésien sur la différence. Par hypothèse on a donc $A \times Q \in T$ et comme on a $\sigma(C)=\cal{A}$ on a également $X \times Q \in T$. Donc par stabilité de la différence dans une tribu on a $A^c \times Q \in T$.
L'axiome d'union dénombrable ne pose pas de problème car $Q$ est fixé dans $D$. Donc $T$ est bien une tribu.
En tout, cas la preuve que nous avions donnée dans Garet-Kurtzmann était fausse.
Voir l'erratum page 26. On a corrigé en rajoutant des hypothèses.
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre.php
Mais si tu as une preuve sans hypothèse en plus, elle sera bienvenue.
Si d'autres personnes sur ce forum connaissent cet exercice, je les remercient par avance pour toute preuve ne faisant pas appel à l'hypothèse supplémentaire.
Pour information l'énoncé que j'ai donné de cet exercice (donc sans l'hypothèse supplémentaire) est tiré du Briane&Pagès.
PS: @aléa: Il manque un indice i dans votre preuve dans l'égalité: "$A_i \times (\Omega '$\$B) = (A_i \times \Omega ')$\$(A_i \times \in \cal{O}$" et non "$A_i \times (\Omega '$\$B) = (A_i \times \Omega ')$\$(A \times \in \cal{O}$" il me semble?
On procède donc comme dans la preuve que aléa a donné:
On a montré (avec l'hypothèse supplémentaire) que $T_{Q}=\{A \in {\cal A} : A \times Q \in C \otimes D\}$ est une tribu pour tout $Q \in D$. De plus on a pour tout $Q \in D$: $T_Q= \cal A$ En effet on a $C \in T_Q$ et comme $\sigma(C)=\cal A$ et que $T_Q$ est une tribu on a bien $T_Q= \cal A$.
On pose $S=\left\{ Q \in \mathcal{B} : T_Q = \cal A \right\}$ on montre comme précedemment que $S$ est une tribu sur $Y$.
Comme on a $D\in S$ et que $\sigma(D)=\cal B$ on a $S=\cal B$.
Conclusion: On a donc pour tout $A \in \cal A$ et $Q\in \cal B$: $A \times Q \in C \otimes D$ (d'où l'inclusion réciproque).
Merci beaucoup à remark et alea ! :-)
Cordialement.