Du dénombrable au continu
Bonjour à tous.
On se donne un ensemble $X$ et $Y \subset \mathfrak P(X)$.
On suppose que pour toute partie dénombrable $y \in \mathfrak P(Y) $, l'intersection des éléments de $y$ n'est pas vide (c'est une partie de $X$ qui n'est pas forcément un élément de $Y$)
Peut-on alors conclure que l'intersection des éléments de $Y$ n'est pas vide ? si oui, comment, si non, pourquoi ?
Je vous remercie par avance de toute suggestion.
On se donne un ensemble $X$ et $Y \subset \mathfrak P(X)$.
On suppose que pour toute partie dénombrable $y \in \mathfrak P(Y) $, l'intersection des éléments de $y$ n'est pas vide (c'est une partie de $X$ qui n'est pas forcément un élément de $Y$)
Peut-on alors conclure que l'intersection des éléments de $Y$ n'est pas vide ? si oui, comment, si non, pourquoi ?
Je vous remercie par avance de toute suggestion.
Réponses
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Non. Soit $X= \aleph_1$, et pour tout $x \in X$, soit $I(x)= \{y \in X |y \geq x\}$, alors soit $Y=\{I(x) | x \in X\}$. Alors une intersection dénombrable d'éléments de $Y$ n'est pas vide, mais l'intersection de tous les éléments de $Y$ est vide.
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Bonjour Marco et merci pour ta réponse.
As-tu une référence (à moins que tu ne détaille un peu) qui me permettrait de comprendre mieux ta réponse car j'ai du mal à saisir pourquoi une intersection dénombrable d'éléments de $Y$ est non vide et pas l'intersection de la famille complète ...
Ne maîtrisant pas les $\aleph$, la relation d'ordre dont tu parles m'échappe.
Merci à toi. -
Tu peux regarder l'article sur les ordinaux dans Wikipédia, car j'aurais du mal à l'expliquer.
Mais voici un autre exemple. Soit $X=\R$, et $Y$ l'ensemble des parties $P$ de $\R$ telles que le complémentaire de $P$ dans $\R$ est de cardinal fini. Alors une intersection dénombrable de parties $P_1,P_2, \dots ,P_n,\dots$ appartenant à $Y$, sera de complémentaire au plus dénombrable, donc comme $\R$ n'est pas dénombrable cette intersection ne sera pas vide.
En effet, si $\cap_{i \in \N} P_i= \emptyset$, alors $\cup_{i \in \N} {^cP_i}=\R$, mais $^cP_i$ est de cardinal fini, et une union dénombrable d'ensembles de cardinal fini
est au plus dénombrable, donc ne peut être égal à $\R$. Donc $\cap_{i \in \N} P_i \neq \emptyset$.
Cependant, pour tout $z \in \R$, $\R-\{z\} \in Y$, donc l'intersection des éléments de $Y$ est vide. -
Merci beaucoup pour ton aide !
$Y$ est même un filtre si je ne m'abuse ... -
Oui, c'est un filtre.
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Bonjour!
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