Du dénombrable au continu

Non. Soit $X= \aleph_1$, et pour tout $x \in X$, soit $I(x)= \{y \in X |y \geq x\}$, alors soit $Y=\{I(x) | x \in X\}$. Alors une intersection dénombrable d'éléments de $Y$ n'est pas vide, mais l'intersection de tous les éléments de $Y$ est vide.

Tu peux regarder l'article sur les ordinaux dans Wikipédia, car j'aurais du mal à l'expliquer.
Mais voici un autre exemple. Soit $X=\R$, et $Y$ l'ensemble des parties $P$ de $\R$ telles que le complémentaire de $P$ dans $\R$ est de cardinal fini. Alors une intersection dénombrable de parties $P_1,P_2, \dots ,P_n,\dots$ appartenant à $Y$, sera de complémentaire au plus dénombrable, donc comme $\R$ n'est pas dénombrable cette intersection ne sera pas vide.
En effet, si $\cap_{i \in \N} P_i= \emptyset$, alors $\cup_{i \in \N} {^cP_i}=\R$, mais $^cP_i$ est de cardinal fini, et une union dénombrable d'ensembles de cardinal fini
est au plus dénombrable, donc ne peut être égal à $\R$. Donc $\cap_{i \in \N} P_i \neq \emptyset$.
Cependant, pour tout $z \in \R$, $\R-\{z\} \in Y$, donc l'intersection des éléments de $Y$ est vide.

Oui, c'est un filtre.