nonA et (A=>Tout)
Je réponds à un MP (ma boite mail est MP est cassée et ça me demande des efforts incroyables pour lire et répondre à mes MP) privés. J'ai souvent déjà dit tout ça, mais flemme de chercher un lien
1) En général, on annonce que A=>Tout est une définition de nonA. Le mot "Tout" est une abréviation de $\forall X: X$, qui signifie "tout est vrai"
2) Cependant, on peut le "prouver" (autrement dit, justifier en quelque sorte cette définition). Ce qui suit est une telle preuve:
3) Si A=>Tout, alors (nonTout => nonA), donc non(A) (car non(Tout)). Réciproquement, si non(A), alors non(Tout)=>non(A), donc non(nonA) => non(non(Tout), donc non(nonA)=>Tout, donc A=>Tout
(Avec ce post, au moins, ce sera isolé et facile à retrouver si d'autres m'envoient des MP sur ce sujet)
4) Remarque: les matheux académiques ont pris l'habitude (voir n'en ont jamais eu d'autres) de ne pas nommer "Tout", mais de nommer "faux" la phrase qui dit "Tout est vrai", c'est pourquoi ça s'est un peu perdu dans les méandres de l'évolution de l'enseignement en fac et CPGE.
1) En général, on annonce que A=>Tout est une définition de nonA. Le mot "Tout" est une abréviation de $\forall X: X$, qui signifie "tout est vrai"
2) Cependant, on peut le "prouver" (autrement dit, justifier en quelque sorte cette définition). Ce qui suit est une telle preuve:
3) Si A=>Tout, alors (nonTout => nonA), donc non(A) (car non(Tout)). Réciproquement, si non(A), alors non(Tout)=>non(A), donc non(nonA) => non(non(Tout), donc non(nonA)=>Tout, donc A=>Tout
(Avec ce post, au moins, ce sera isolé et facile à retrouver si d'autres m'envoient des MP sur ce sujet)
4) Remarque: les matheux académiques ont pris l'habitude (voir n'en ont jamais eu d'autres) de ne pas nommer "Tout", mais de nommer "faux" la phrase qui dit "Tout est vrai", c'est pourquoi ça s'est un peu perdu dans les méandres de l'évolution de l'enseignement en fac et CPGE.
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Réponses
Est-ce-juste ?
Et ducoup si je comprends bien le nonA => (A=>tout) n'est pas un axiome puisque le faite que "tout" soit tout le temps faux decoule de l'axiome tiers exclu puisque dans "tout" il y a entre autre A et nonA...
Cordialement
Par ailleurs, le fait que A=> non(nonA) est intuitionniste et que si A=>B alors nonB=>nonA aussi. Mais tout ça, en principe, ça vient après si on se place dans une optique où tout est écrit avec => *** et où on définit le reste, donc ce que je te dis, n'est en fait "réalisé" qu'après avoir posé l'édifice (qui n'est pas bien sorcier pour autant).
*** + $\in$ ainsi que $\forall$ si on veut sortir du propositionnel et avoir toutes les maths
Par exemple est_ce que ça peut suffire de dire que A=>contradiction et la même chose que nonA ?
Merci !
Dans les diverses présentations de la logique classique, c'est en général un théorème.
Donnons un exemple de tel système (dû à J.B.Rosser (*) ).
Une formule propositionnelle (on dira simplement formule dans la suite) est une lettre, ou bien $a\wedge b$ (avec $a,b$ des formules) ou bien $\neg c$ (avec $c$ une formule).
Pour tous $x,y$, $x\to y$ sera une abréviation de $\neg (x \wedge \neg y)$.
On adoptera pour les notations les règles de priorité suivantes: $\wedge$ est prioritaire sur $\to$ (ainsi $a\wedge b \to c$ désigne $(a\wedge b) \to c$ et $x\to y\wedge z$ désigne $x \to (y \wedge z)$ ), et $\to$ est prioritaire à droite au sens suivant: $a\to b \to c$ désigne $a\to (b\to c)$,
$a\to b \to c \to d$ désigne $a\to \big( b\to (c\to d)\big)$, etc.
Dans la suite si $T$ est un ensemble de formules, on appellera "ensemble des conséquences prouvables de $T$" le plus petit ensemble $T'$ tel que:
R1°) $T\subseteq T'$
R2°) si $a$ et $a\to b$ sont dans $T'$, $b$ aussi.
A1°) $x\to x\wedge x \in T'$ pour toute formule $x$.
A2°) $a\wedge b \to a \in T'$ pour toutes formules $a,b$.
A3°) $(p\to q) \to \neg(q\wedge r) \to \neg (r \wedge p) \in T'$ pour toutes formules $p,q,r$.
Si $u$ est une formule, on abrégera $u \in T'$ par $T \vdash u$.
(**)
Fixons un ensemble de formules $T$ une fois pour toutes.
Alors pour tous $a,b$ formules, $T \vdash \neg a \to a \to b$ $(\dagger)$.
En particulier si $x$ est une formule et si $T \vdash x$ et $T \vdash \neg x$, alors pour toute formule $y$, $T\vdash y$ puisque $T\vdash \neg x \to x \to y$ par $(\dagger)$, puis $T \vdash x\to y$ par R2°) et à nouveau $T\vdash y$ par R2°).
Autrement dit si parmi les conséquences prouvables de $T$ se trouvent un même énoncé et son contraire, n'importe quel énoncé est conséquence prouvable de $T$ et on dit alors que $T$ est contradictoire.
Prouvons $(\dagger)$; il y a plusieurs étapes.
1°) pour toute formule $x$, $T\vdash \neg (\neg x \wedge x)$.
En effet, par A3°) $T\vdash (x\to x\wedge x) \to \neg[(x \wedge x)\wedge \neg x] \to \neg (\neg x \wedge x)$. Comme $T \vdash (x\to x\wedge x) $ d'après R2°) et A1°), $T \vdash \neg[(x \wedge x)\wedge \neg x] \to \neg (\neg x \wedge x) $ mais cette formule n'est autre que (cf définition de $\to$) $(x\wedge x \to x) \to \neg (\neg x \wedge x)$ et comme $T\vdash (x\wedge x \to x)$ par A2°), on a via R2°), $\neg (\neg x \wedge x)$ comme voulu.
2°) Pour toute formule $y$, $T\vdash \neg \neg y \to y$.
Remplacer $x$ par $\neg y$ dans 1°) et utiliser la définition de $\to$
3°) Pour toutes formules $x,y$, $T\vdash (y \to x ) \to \neg x \to \neg y $ (contraposée)
$T\vdash (\neg \neg y \to y) \to \neg (y \wedge \neg x) \to \neg ( \neg x \wedge \neg \neg y)$ par A3°) et donc via 2°) et R2°),
$ T\vdash \neg (y \wedge \neg x) \to \neg ( \neg x \wedge \neg \neg y)= (y \to x ) \to \neg x \to \neg y $.
4) Pour toutes formules $f,g$, $T\vdash \neg f \to \neg (f\wedge g)$.
En remplaçant $x$ par $f$ et $y$ par $f\wedge g$ dans 3°), $T\vdash (f \wedge g \to f) \to \neg f \to \neg (f\wedge g) $; on a aussi $T\vdash f\wedge g \to f$ par A2°) d'où le résultat d'après R2°).
5°) Pour toutes formules $a,b$, $T \vdash \neg a \to a \to b$ (ce qui n'est rien d'autre que le résultat $(\dagger)$ voulu).
remplacer $f$ par $a$ et $g$ par $\neg b$ dans 4°).
******
Noter qu'on a aussi:
6°) pour toutes formules $p,q$, $T \vdash (\neg p \wedge p) \to q$.
On l'obtient en remplaçant dans 5°), $a$ par $(\neg p \wedge p)$ et $b$ par $q$ puis en appliquant R2°) et 1°).
Bref on retrouve le "ex falso sequitur quod libet" classique.
[size=x-small](*) on pourra consulter le livre "Logic for mathematicians" du même auteur.
(**) j'ai indiqué ce système parce que je pense que ses axiomes sont réellement intuitifs: le lecteur peut-il contester les règles R1 et R2 ou bien les axiomes 1 à 3? L'implication logique perturbe en général pas mal le grand public, ici elle est présentée comme connecteur dérivé. Cependant il faut bien dire que le présent système est extrêmement peu maniable en pratique. Il s'avère qu'il est complet et prouve toutes les tautologies de la logique classique, en prenant soin de définir $a\vee b$ comme étant $\neg (\neg a \wedge \neg b)$, mais c'est carrément difficile. Le lecteur en mal de défis estivaux pourra essayer de démontrer seul que $ T \vdash x\to x$ pour tout $x$, ou encore que $T \vdash a \to b \to a$ pour tous $a,b$ mais je décline toute responsabilité pour les éventuelles crises de nerf ou d'épilepsie.[/size]
Les maths perturbent en général le grand public !! :-D
Ce que je veux dire, c'est que ce n'est pas parce que l'implication perturbe le grand public que les systèmes à la Hilbert comme le tien ci-dessus ne perturbent pas le grand public, mais merci pour ton investissement en temps, il fallait le taper le post.
Un de tes arguments est "qui peut contester.."? Certes, mais avec l'implication, c'est pareil: qui peut contester que si si A alors B alors si A alors B? Ou que si A=>B alors si B=>C alors A=>C.
Le premier c'est le modus ponens, et il suffit d'ajouter au deuxième si A=>(A=>B) alors A=>B ainsi que si A alors B=>A pour avoir toute la logique intuitionniste.
Pour avoir la classique, on peut dire à l'interlocuteur: "est-ce que tu contestes que (A=>B)=>B veut dire la même chose que "A ou B" et s'il répond non, ajouter l'axiome ((A=>B)=>B) => ((B=>A)=>A) et tu obtiens toute la logique classique. S'il répond oui, faut discuter 5mn de plus :-D