équivalence logique de l'implication
Pourquoi l'implication " A => B " est -elle équivalente à " non A ou B " ?
Cela se voit dans une table de vérité, mais l'implication a-t-elle été définie comme cela , ou est-ce juste une conséquence des propriétés des 2 propositions , une sorte de "hasard" logique ?
Merci.
Cela se voit dans une table de vérité, mais l'implication a-t-elle été définie comme cela , ou est-ce juste une conséquence des propriétés des 2 propositions , une sorte de "hasard" logique ?
Merci.
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Réponses
Historiquement, les logiciens se sont aperçu que les deux idées coïncidaient, quand on définit l'implication logique moderne (ne pas confondre avec le "donc" du français). Dans un ouvrage de logique, tout est possible.
Cordialement.
On peut en logique classique définir l'implication comme ça.
On peut aussi donner des règles de déduction fixant le fonctionnement des connecteurs "non", "ou", $\implies$ et démontrer l'équivalence à partir de ces règles.
Mais, en logique intuitionniste par exemple, on n'a pas l'équivalence de "(non A) ou B" et de "A $\implies$ B"
Or comme c'est ce sens-là qui est "marronnier de la fin août" :-D ...
Totem: lis un peu les récents fils. Il y a mille et une preuves donc réponses à ta question. Pour le sens marronnier si tu n'as pas A=>B alors tu n'as pas A<=>B donc comme B =>(A=>B), il ne reste que (non B ) et A.
De A et non A, on déduit tout, en particulier B (ex falso sequitur quod libet).
De A et B, on déduit B.
Donc de A et ((non A) ou , on déduit B.
Donc de (non A) ou B, on déduit A implique B
Pour ce qui est de l'autre sens :
De A et (A implique on déduit B
Donc de A implique B on déduit non A ou B (c'est cette étape qui coince intuitionnistement)
Bon cela dit il est à signaler je pense que l'équivalence intuitionniste suivante est prouvable et que c'est vraiment une histoire de non.
1) non non ( (nonA) ou B )
2) non non (A=>
@Gabuzomeu :
1) comment passes-tu de (A et (non A ou ) = > B à (non A ou => ( A = > B ) ?
2) A et B => B ça sert à quoi concrètement ?
De A et C, on déduit B
à
De C, on déduit A implique B
Ce qu'on peut écrire :
$$\begin{array}{rcl} A,C&\vdash& B\\ \hline C&\vdash &A\Rightarrow B\end{array}$$
C'est ce qu'on appelle le "déchargement d'hypothèse", et tu es sûrement familier avec ça. Tu veux démontrer "A implique B" sous l'hypothèse C. Que fais-tu ? Tu ajoutes A à l'hypothèse C, et sous les hypothèses A et C, tu démontres B. Non ?
2) Ce n'est pas une évidence pour toi, que de A et B on déduit B ?
Tu n'as peut-être pas bien compris comment on passe des deux premières lignes du raisonnement à la troisième. Je l'écris comme ça
$$\frac{A,\neg A\vdash B\qquad A,B\vdash B}{A, \neg A \vee B\vdash B}$$
C'est le classique "raisonnement cas par cas" :
$$\frac{A,C\vdash B\qquad A,D\vdash B}{A, C \vee D\vdash B}$$
Pour démontrer B sous l'hypothèse "C ou D", on le démontre sous l'hypothèse C, et on le démontre sous l'hypothèse D.
PS. Tu remarqueras sans doute que j'ai corrigé ton écriture en distinguant le "on déduit" noté $\vdash$ du connecteur logique "implique" (qui fabrique une nouvelle formule à partir de deux formules) noté $\Rightarrow$.
Est-ce symétrique , i e de A on déduit (non A ou implique B ?
Et je n'ai pas compris la subtilité de langage qui distingue "on déduit" de "implique" .
2) si mais ça me paraissait tellement évident ...tautologique ? que je ne voyais même pas à quoi ça servait :-o
Tu ne vas pas me faire croire que tu n'as jamais raisonné de la manière suivante (ou alors, c'est que tu n'as jamais fait de maths) :
"Je veux montrer $P\Rightarrow Q$. Je suppose $P$ ... [suit un raisonnement plus ou moins long] ... j'en déduis $Q$."
Et tu conclus "J'ai démontré $P\Rightarrow Q$"
En faisant ça, tu as fait un "déchargement d'hypothèse" :
Sous l'hypothèse $P$, j'ai démontré $Q$.
Donc , j'ai démontré $P \Rightarrow Q$.
Variante :
Sous les hypothèses $R$ et $P$, j'ai démontré $Q$.
Donc, sous l'hypothèse $R$, j'ai démontré $P\Rightarrow Q$.
Je penses que tu vois bien qu'on a la "symétrie" (sous l'hypothèse $P$, j'ai démontré $R \Rightarrow Q$)
Pour "on déduit" et implique" : ce sont des mots qui peuvent prêter à confusion. L'important est de comprendre la différence (un peu subtile) entre $\vdash$ ($A,B\vdash C$ : sous les hypothèse $A$ et $B$, on a $C$ ; $A,B\vdash C$ n'est pas une formule) et $\Rightarrow$ ($A\Rightarrow B$ est une formule).
2) Si tu ne voyais pas à quoi ça servait, c'est sans doute que l'enchaînement entre les deux premières lignes et la troisième ne t'apparaissait pas clairement. Maintenant que je l'ai explicité, tu vois mieux ?
Autre question : je me demandais, pourquoi A et non A donne "tout" et non pas "rien" ?
On m' a appris que "faux => faux" est vrai, mais on m' a appris aussi que (A) inter (non A) = ensemble vide...!
Je suis un peu perdu.
Tu peux employer plutôt "absurde", si tu préfères.
A et non A donne (*) "tout"
A et non A donne 3=4
A et non A donne 3²=9
A et non A donne A
A et non A donne non A
A et non A donne ....
A toi de jouer :-)
Cordialement.
(*) ici, "donne" veut dire "permet de déduire"
Enfin quand on dessine des patates de Venn, visuellement c'est "rien" .
"tout" intuitivement ce serait plutôt "A ou non A" ...!
@Gazubomeu: "A et non A" ça ne s'appelle pas une prémisse fausse dans le jargon de la logique ?
Quand GabuZoMeu décrit (open_citation)$\vdash$(close_citation) par (open_citation)absurde(close_citation) ou par (open_citation)ex falso sequitur quod libet(close_citation) il y a comparaison entre trois objets, chacun d'eux désigné par son nom. Rien à redire, d'autant qu'une traduction amusante du troisième est (open_citation)si tu te goures, attends-toi aux quolibets(close_citation).
Par contre, quand je vois (open_citation)"tout"(close_citation), je me demande: où en est-on des règles de gestion de l'autonymie ?
Mais, je suis d'accord avec toi, ce questionnement n'est pas nécessairement un élément fondamental du principe (open_citation)the proof of the cake is in the eating(close_citation).
Cordialement, Pierre.