équivalence logique de l'implication

Bonjour.

Historiquement, les logiciens se sont aperçu que les deux idées coïncidaient, quand on définit l'implication logique moderne (ne pas confondre avec le "donc" du français). Dans un ouvrage de logique, tout est possible.

Cordialement.

De mon téléphone : je précise qu'en logique intuitionniste on a quand même :

Or comme c'est ce sens-là qui est "marronnier de la fin août" :-D ...

Totem: lis un peu les récents fils. Il y a mille et une preuves donc réponses à ta question. Pour le sens marronnier si tu n'as pas A=>B alors tu n'as pas A<=>B donc comme B =>(A=>B), il ne reste que (non B ) et A.

Je disais que l'autre sens ne pose pas de souci (alors qu'il n'est pas intuitionniste) car le fait que non( (nonA) ou B ) entraine non (A=>B) déclenche un consensus populi ceci étant dû à ce qu'ils identifient non(X ou Y) à ni X, ni Y.

Bon cela dit il est à signaler je pense que l'équivalence intuitionniste suivante est prouvable et que c'est vraiment une histoire de non.

1) non non ( (nonA) ou B )

2) non non (A=>

1) Je passe de
De A et C, on déduit B
à
De C, on déduit A implique B

Ce qu'on peut écrire :
$$\begin{array}{rcl} A,C&\vdash& B\\ \hline C&\vdash &A\Rightarrow B\end{array}$$

C'est ce qu'on appelle le "déchargement d'hypothèse", et tu es sûrement familier avec ça. Tu veux démontrer "A implique B" sous l'hypothèse C. Que fais-tu ? Tu ajoutes A à l'hypothèse C, et sous les hypothèses A et C, tu démontres B. Non ?

2) Ce n'est pas une évidence pour toi, que de A et B on déduit B ?
Tu n'as peut-être pas bien compris comment on passe des deux premières lignes du raisonnement à la troisième. Je l'écris comme ça
$$\frac{A,\neg A\vdash B\qquad A,B\vdash B}{A, \neg A \vee B\vdash B}$$
C'est le classique "raisonnement cas par cas" :
$$\frac{A,C\vdash B\qquad A,D\vdash B}{A, C \vee D\vdash B}$$
Pour démontrer B sous l'hypothèse "C ou D", on le démontre sous l'hypothèse C, et on le démontre sous l'hypothèse D.

PS. Tu remarqueras sans doute que j'ai corrigé ton écriture en distinguant le "on déduit" noté $\vdash$ du connecteur logique "implique" (qui fabrique une nouvelle formule à partir de deux formules) noté $\Rightarrow$.

1) Tu ne connais pas le terme, mais je suis certain que tu connais la chose.
Tu ne vas pas me faire croire que tu n'as jamais raisonné de la manière suivante (ou alors, c'est que tu n'as jamais fait de maths) :
"Je veux montrer $P\Rightarrow Q$. Je suppose $P$ ... [suit un raisonnement plus ou moins long] ... j'en déduis $Q$."
Et tu conclus "J'ai démontré $P\Rightarrow Q$"
En faisant ça, tu as fait un "déchargement d'hypothèse" :
Sous l'hypothèse $P$, j'ai démontré $Q$.
Donc , j'ai démontré $P \Rightarrow Q$.
Variante :
Sous les hypothèses $R$ et $P$, j'ai démontré $Q$.
Donc, sous l'hypothèse $R$, j'ai démontré $P\Rightarrow Q$.

Je penses que tu vois bien qu'on a la "symétrie" (sous l'hypothèse $P$, j'ai démontré $R \Rightarrow Q$)

Pour "on déduit" et implique" : ce sont des mots qui peuvent prêter à confusion. L'important est de comprendre la différence (un peu subtile) entre $\vdash$ ($A,B\vdash C$ : sous les hypothèse $A$ et $B$, on a $C$ ; $A,B\vdash C$ n'est pas une formule) et $\Rightarrow$ ($A\Rightarrow B$ est une formule).

2) Si tu ne voyais pas à quoi ça servait, c'est sans doute que l'enchaînement entre les deux premières lignes et la troisième ne t'apparaissait pas clairement. Maintenant que je l'ai explicité, tu vois mieux ?

@totem: rien n'est évident en maths!!! Même A et B implique A ne l'est pas. On utilise le mot évident pour résumer certaines situations dans des.contextes particulier (ici évident est essentiellement synonyme d'axiome)

... et l'ensemble vide est contenu dans tout (vois le $\vdash$ comme une inclusion)

L'expression "tout" employée par Christophe a quelques bons côtés, mais peut gêner par d'autres, comme le montre ta réaction.
Tu peux employer plutôt "absurde", si tu préfères.