Bourbaki cardinal d'un ensemble, exercice (1)
Bonjour,
Il s'agit de l'exercice n°5 du §3 p. III-80 dont vous trouverez l'énoncé en pièce jointe.
a) montrons que $\displaystyle\sum_{i \in I} card (\lambda_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i)$
Remarque préliminaire : Le 2ème membre de l'égalité est un cardinal et le 1er : une somme ordinale telle que définie dans l'exercice 3 du §1 p. III-69 ... il semble donc raisonnable, pour la clarté de la démonstration, de plutôt noter le 1er membre $\underset {i \in I} {\huge S} card (\lambda_i)$ représentant ainsi une "somme cardinale "(définition 3 p.III-25) (ai-je raison ?)
Passons à la démonstration. Si on note $E_i$ l'ensemble de cardinal $\lambda_i$, on a alors :
$card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i) = card \Bigl(ord (\displaystyle\sum_{i \in I} E_i) \Bigr)$ (par définition du "type d'ordre" voir exercice 13, p III-76)
- Or $ord (\displaystyle\sum_{i \in I} E_i) = \displaystyle\sum_{i \in I} ord (E_i)$ (III-76, exercice 13, question c)), donc $card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i) = card \Bigl(\displaystyle\sum_{i \in I} ord (E_i) \Bigr)$
- Enfin $\lambda_i=ord (E_i)$ est un type d'ordre, donc un ensemble...) et la proposition 4 p.III-26 appliquée à une famille d'ensemble $(A_i)_{i \in I} $ donne $\underset {i \in I} {\huge S} card (A_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} A_i)$,
- Par conséquent, en posant $(A_i) = ord (E_i) = \lambda_i $ il vient :$\underset {i \in I} {\huge S} card (\lambda_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i)$
Dans l'attente de vos commentaires :-(
Il s'agit de l'exercice n°5 du §3 p. III-80 dont vous trouverez l'énoncé en pièce jointe.
a) montrons que $\displaystyle\sum_{i \in I} card (\lambda_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i)$
Remarque préliminaire : Le 2ème membre de l'égalité est un cardinal et le 1er : une somme ordinale telle que définie dans l'exercice 3 du §1 p. III-69 ... il semble donc raisonnable, pour la clarté de la démonstration, de plutôt noter le 1er membre $\underset {i \in I} {\huge S} card (\lambda_i)$ représentant ainsi une "somme cardinale "(définition 3 p.III-25) (ai-je raison ?)
Passons à la démonstration. Si on note $E_i$ l'ensemble de cardinal $\lambda_i$, on a alors :
$card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i) = card \Bigl(ord (\displaystyle\sum_{i \in I} E_i) \Bigr)$ (par définition du "type d'ordre" voir exercice 13, p III-76)
- Or $ord (\displaystyle\sum_{i \in I} E_i) = \displaystyle\sum_{i \in I} ord (E_i)$ (III-76, exercice 13, question c)), donc $card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i) = card \Bigl(\displaystyle\sum_{i \in I} ord (E_i) \Bigr)$
- Enfin $\lambda_i=ord (E_i)$ est un type d'ordre, donc un ensemble...) et la proposition 4 p.III-26 appliquée à une famille d'ensemble $(A_i)_{i \in I} $ donne $\underset {i \in I} {\huge S} card (A_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} A_i)$,
- Par conséquent, en posant $(A_i) = ord (E_i) = \lambda_i $ il vient :$\underset {i \in I} {\huge S} card (\lambda_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i)$
Dans l'attente de vos commentaires :-(
Réponses
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Bonjour,
Il serait bien que tu puisses répondre aux interventions des autres posts, et ce même si tu penses que cette réponse est insignifiante. D'autre part, pourquoi affirmes-tu que\[\sum\limits_{\iota\in\rm{I}}\rm{card}\,\lambda_{\iota}\]est une somme ordinale selon l'ex. 3, E III. 69 ?Si on note $E_i$ l'ensemble de cardinal $\lambda_i$ (...)
Es-tu certain que cela a un sens ? Pourquoi ?Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Bonsoir,
S'agissant des autres posts, j'ai rectifié le tir et renouvelle mes excuses.
- question 1 :"D'autre part, pourquoi affirmes-tu que $\sum\limits_{\iota\in\rm{I}}\rm{card}\,\lambda_{\iota}$ est une "somme ordinale" selon l'ex. 3,E III. 69 ?"
réponse: oui, j'ai peut-être dit n'importe quoi :-S C'est en fait bien une somme d'ensembles, mais on n'a pas, à priori, défini d'ordre dessus ... Par contre, à ma décharge, la question suivante de l'exercice demande de démontrer: $ card (\mathop {\huge P}_{i \in I} \lambda_i)=\mathop {\huge P}_{i \in I} card (\lambda_i)$ or la même notation $\mathop {\huge P}$ est utilisée chez Bourbaki dans le cas d'un "produit ordinal" (voir exo 13 p. III-76), ou d'un "produit cardinal" (voir cours), ce qui se traduirait en bon français par "le produit cardinal des cardinaux des types d'ordre est égal au cardinal du produit ordinal des types d'ordre" : ça ressemblerait furieusement à la proposition 4 p. III-26 du cours, en prenant des "types d'ordre" $\lambda_i$ à la place des $E_i$ et le produit ordinal $\mathop {\huge P}$ à la place de l'ensemble produit $\prod$, ce qui conduirait alors au type de raisonnement que je fais ci-dessous "- une autre anomalie..."
Dans tous les cas, il n'est pas facile, pour un débutant, de savoir dans quel contexte on se trouve.
- A la question 2, la réponse est non.
En fait, je souhaitais écrire : " soit $E_i$ un ensemble tel que $card (E_i) = \lambda_i$, mais même là, je ne suis pas sûr que cela ait un sens... Je pense néanmoins qu'il pourrait y avoir équipotence ? (ne vous gênez pas pour développer...)
- Une autre anomalie : il suffit de constater dès le départ (et non à la fin comme dans mon raisonnement...) que $\lambda_i$ est un" type d'ordre", donc un ordre, donc un ensemble (c'en est bien un ?, rassurez-moi ...), pour de suite appliquer la proposition 4 p.III-26 et obtenir : $\underset {i \in I} {\huge S} card (\lambda_i) = card (\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i)$
Ça me semble un peu court en terme de démonstration et c'est malheureusement ce seul critère qui me fasse douter de sa validité.
A dire la vérité, je suis un peu perdu...
Cordialement
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