Bourbaki cardinal d'un ensemble, exercice (2)
Bonsoir,
Voici l'exercice n°3 du §3 p. III-80 dont l'énoncé est en pièce jointe.
a) Il s'agit de montrer : $a_i \leqslant b_i , (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i \hspace{0.5 cm}
(a_i)_{i\in I} \text{ et } (b_i)_{i\in I} \text{ étant 2 familles de cardinaux}$
Démonstration :
$a_i \leqslant b_i , (\forall i \in I)$ entraîne $\sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \sum\limits_{i \in I} b_i \,$ (par la proposition 14 p. III-30)
Il suffit donc de prouver $\sum\limits_{i \in I} b_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i $.
En considérant la proposition 4 p. III-26, et une famille d'ensembles $(B_i)_{i \in I}$ telle que $card (B_i) = b_i$, cela revient à prouver :
$card (\sum\limits_{i \in I} B_i) \leqslant card (\underset {i \in I}{P} \, B_i) $
En vertu de la proposition 3 p. III-25, cela revient à prouver qu'il existe une surjection de $\underset {i \in I}{P} \, B_i \text{ sur } \sum\limits_{i \in I} B_i$
Or la projection d'indice "i" (p. II-32) $ pr_i : \begin{cases} \underset {i \in I}{P} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I} B_i \\ (b_i)_{i \in I} \longmapsto (b_i,i) \end{cases}$ est une surjection
cqfd
J'attends vos commentaires...
b) Il s'agit de montrer : $a_i < b_i , (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum\limits_{i \in I} a_i < \underset {i \in I}{P} \, b_i$
Démonstration:
$ (a_i < b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow (a_i \leqslant b_i \land a_i \neq b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow \text{ (par a) ) } \sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i $
Il suffit donc de prouver que $(a_i < b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow \lnot (\sum\limits_{i \in I} a_i = \underset {i \in I}{P} \, b_i)$ autrement dit (en vertu de la proposition 4 p. III-26), que $ \sum\limits_{i \in I} A_i$ et $\underset {i \in I}{P} \, B_i$ ne sont pas équipotents et donc qu'il n'existe pas de bijection entre-eux.
C'est là que ma démonstration s'arrête, car voulant exploiter la remarque de fin d'exercice, je ne comprends même pas ce que représente $pr_i(A_i)$ :-S
Dans l'attente de vous lire ... et Cordialement.
Voici l'exercice n°3 du §3 p. III-80 dont l'énoncé est en pièce jointe.
a) Il s'agit de montrer : $a_i \leqslant b_i , (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i \hspace{0.5 cm}
(a_i)_{i\in I} \text{ et } (b_i)_{i\in I} \text{ étant 2 familles de cardinaux}$
Démonstration :
$a_i \leqslant b_i , (\forall i \in I)$ entraîne $\sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \sum\limits_{i \in I} b_i \,$ (par la proposition 14 p. III-30)
Il suffit donc de prouver $\sum\limits_{i \in I} b_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i $.
En considérant la proposition 4 p. III-26, et une famille d'ensembles $(B_i)_{i \in I}$ telle que $card (B_i) = b_i$, cela revient à prouver :
$card (\sum\limits_{i \in I} B_i) \leqslant card (\underset {i \in I}{P} \, B_i) $
En vertu de la proposition 3 p. III-25, cela revient à prouver qu'il existe une surjection de $\underset {i \in I}{P} \, B_i \text{ sur } \sum\limits_{i \in I} B_i$
Or la projection d'indice "i" (p. II-32) $ pr_i : \begin{cases} \underset {i \in I}{P} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I} B_i \\ (b_i)_{i \in I} \longmapsto (b_i,i) \end{cases}$ est une surjection
cqfd
J'attends vos commentaires...
b) Il s'agit de montrer : $a_i < b_i , (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum\limits_{i \in I} a_i < \underset {i \in I}{P} \, b_i$
Démonstration:
$ (a_i < b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow (a_i \leqslant b_i \land a_i \neq b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow \text{ (par a) ) } \sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i $
Il suffit donc de prouver que $(a_i < b_i \text{ , pour tout i }) \Rightarrow \lnot (\sum\limits_{i \in I} a_i = \underset {i \in I}{P} \, b_i)$ autrement dit (en vertu de la proposition 4 p. III-26), que $ \sum\limits_{i \in I} A_i$ et $\underset {i \in I}{P} \, B_i$ ne sont pas équipotents et donc qu'il n'existe pas de bijection entre-eux.
C'est là que ma démonstration s'arrête, car voulant exploiter la remarque de fin d'exercice, je ne comprends même pas ce que représente $pr_i(A_i)$ :-S
Dans l'attente de vous lire ... et Cordialement.
Réponses
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L'énoncé tel que tu le présentes est évidemment faux (pourquoi ?) : tu n'as pas bien réécrit l'énoncé du livre.
Pour ta solution de a): $pr_i$ n'est que très rarement une surjection: c'en est une si et seulement si $|I|\leq 1$ (ce que tu n'aurais pas envie de supposer j'imagine).
Ta solution de a) doit faire intervenir les hypothèses qui sont dans le vrai énoncé et que tu n'as pas recopiées, sinon ce sera faux.
On reviendra sur la b) quand tu auras corrigé ta preuve pour la a).
(Remarque: il me semble que tu essaies de démontrer le théorème de König, qui, sous AC ou Bourbaki, est une généralisation du théorème de Cantor. Appliquer la seconde partie à $I$ quelconque, $a_i =1$, $b_i=2$ donne $|I| < |2^I|$, qui est le théorème de Cantor - que l'on peut bien évidemment démontrer sans AC, contrairement à König) -
Bonjour Maxtimax,
Ce qui me plaît dans les exercices, c'est qu'ils ont vocation à être le reflet, dans presque tous les cas, d'une bonne compréhension du cours. Pour moi, ça n'a jamais été aussi vrai qu'avec ce livre ! :-)
Il s'agit de démontrer : $a_i \leqslant b_i \land b_i \geqslant 2 (\forall i \in I) \Longrightarrow \sum\limits_{i \in I} a_i \leqslant \underset {i \in I}{P} \, b_i \hspace{0.5 cm}
(a_i)_{i\in I} \text{ et } (b_i)_{i\in I} \text{ étant 2 familles de cardinaux}$
Je reste persuadé que la démonstration reste valable jusqu'à :
En vertu de la proposition 3 p. III-25, cela revient à prouver qu'il existe une surjection de $\underset {i \in I}{P} \, B_i \text{ sur } \sum\limits_{i \in I} B_i$...
Par contre, votre remarque concernant les vertus surjectives de "pr_i" m'inquiète beaucoup, car cela veut peut-être dire que je n'ai pas compris ce que représentait $ \sum\limits_{i \in I} B_i$ et $\underset {i \in I}{P} \, B_i$ et à ce niveau du livre, ce serait ennuyeux (et le mot est faible) !
Du coup, une question préalable pour me rassurer : les éléments de $ \sum\limits_{i \in I} B_i$ sont bien de la forme $(b_i,i)$ (ou $(i,b_i)$) et ceux de $\underset {i \in I}{P} \, B_i$ sont de la forme $(b_i)_{i \in I} \text{ avec } b_i \in B_i \, ??$
Si c'est bien le cas, pouvez-vous m'expliquer pourquoi $pr_i : \begin{cases} \underset {i \in I}{P} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I} B_i \\ (b_i)_{i \in I} \longmapsto (b_i,i) \end{cases}$ est une surjection, si et seulement si $| I | \leqslant 1$ ??
Cordialement -
Eh bien regarde la deuxième coordonnée d'un élément de l'image de $pr_i$: quelle est-elle ? Dans quel cas tout élément de $\displaystyle\sum_{i\in I} B_i$ a-t-il une telle deuxième coordonnée ?
Un autre argument pour te convaincre que ton argument final ne peut pas être valable, c'est que tu n'as utilisé nulle part l'hypothèse $b_i \geq 2$, qui est pourtant nécessaire. Trouve un contrexemple pour t'en convaincre ! -
Pour info: le petit (b) ne se limite pas aux cardinaux. Il reste valable sur la généralisation la plus large possible de la notion de cardinal (les degrés de Tukey) et comme souvent la preuve est plus simple dans ce cadre générale. HS OFFAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bonjour.
La suite de caractères $$pr_i : \begin{cases} \underset {i \in I}{P} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I}
B_i \\ (b_i)_{i \in I} \longmapsto (b_i,i) \end{cases}$$ ne désigne jamais une surjection, ni même un éléphant rose. C'est juste une expression mal formée, et qui donc ne désigne rien.
Cordialement, Pierre. -
@Pierre (puisque tu signes ainsi je t'appelle comme ça plutôt que pldx1, mais bien sûr je peux changer si tel est ton souhait) L'expression n'est pas mal formée en soi, elle est juste difficilement compréhensible.
Normalement, dans tout cours (introductif) de logique on aborde à un moment ou à un autre le souci des variables libres et liées, et on précise comment effectuer les substitutions etc. Ici, $i$ apparaît comme variable libre et comme variable liée, mais ça ne devrait pas poser de problème de substituer uniquement ses occurrences liées, avec un $j$ par exemple.
Si la remarque que tu fais est à un autre propos que la double utilisation de $i$, je veux bien savoir parce que ça ne me saute pas aux yeux -
Ce que tu es gentil avec pldx!! Et ne te fatigue surtout pas à mettre un j à la place du i lié. Tu ne lis pas la foule de fils où il débarque et sors n'importe quoi apparemment. Ce n'est pas l'anerie la plus grave qu'il commet car elle a au moins le mérite de bien se voir et je me suis retenu de réagir pour ne pas alimenter son troll permanent.
Remarque: il st en plus de ça (mais personne ne le demande) relativement pénible de rendre disjoint les alaphanet libres et liés.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et pour info tu aurais pu écrire b|
> (b(i),i). Cette manie qu'a le secondaire de promouvoir les (un)_n etc à la place de u n'est pas saine.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@christophe: je vois parfois des commentaires étranges de sa part, mais d'autres fois extrêmement constructifs, donc je préfère ne pas m'avance à ce sujet :-D
C'est hors sujet, mais quant à cette manie, je suis d'accord que ce n'est pas super, d'autant qu'initialement on ne nous l'inculque (je sors de prépa, donc je le sais :-D) que pour les "suites", le reste vient "seul" (on nous dit "on écrira une fonction $u: \mathbb{N} \to A$ $(u_n)_n$", mais jamais pour les autres, pourtant on le fait quand même). Je pense même que la plupart des prépateux (dont moi, inconsciemment malheureusement) en viennent à faire une distinction entre fonctions (qu'on note $f: A\to B$) et familles (qu'on note $(b_i)_{i\in I}$) , distinction qui n'existe bien sûr que dans notre imagination. Ca doit venir de l'ambiguïté entre les tuples et fonctions de domaine fini: il n'est jamais clarifié si $A^n$ c'est $A\times A...\times A$ ou $[n\to A]$... du coup on voit des différences entre $A^I$ et $\displaystyle\prod_{i\in I} A$. Mais c'est hors sujet (:P) -
Bonsoir,
@pldx1
Maxtimax m'a coupé l'herbe sous le pieds, car je pense aussi que ce qui vous dérange (vous m'aviez déjà fait la remarque dans un autre post Bourbaki vraiment pour comprendre (3) ) c'est "le remplacement d'une variable dans un assemblage par une variable liée qui s'y trouve déjà...", je pense donc que vous préféreriez, au moins dans le cadre d'une discussion Bourbakiste (et n'en déplaise à christophe c :-)) : $pr_j : \begin{cases} \underset {i \in I}{P} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I} B_i \\ (b_i)_{i \in I} \longmapsto (b_j,j) \end{cases}$
A titre personnel, je trouve que cette forme rectifiée ajoute à la clarté de ce que je tente d'exposer, pourriez-vous donc m'indiquer si un passage précis de "la théorie des ensembles" fait référence à votre observation ?
@Maxtimax
J'en profite par ailleurs pour rectifier le tir, j'ai écrit :
"Je reste persuadé que la démonstration reste valable jusqu'à :
En vertu de la proposition 3 p. III-25, cela revient à prouver qu'il existe une surjection de $\underset {i \in I}{P} \, B_i \text{ sur } \sum\limits_{i \in I} B_i$"
...
J'aurais du utiliser $\prod$ au lieu de $P$, en effet $P$ est censé être le cardinal d'un produit de cardinaux, or les majuscules $B_i$ sont censées être des ensembles (tels que $card (B_i) = b_i)$ et non pas nécessairement des cardinaux. De plus les $b_i$ que j'utilise pour expliciter $pr_j$ ne sont pas les cardinaux sus-mentionnés, mais simplement des éléments des $B_i$ !!! (comme si ce n'était pas assez nébuleux) . Par conséquent mon expression définitive de $pr_j$ aurait du être, en considérant $j \in I$ :
$pr_j : \begin{cases} \prod\limits_{i \in I} \, B_i \longrightarrow \sum\limits_{i \in I} B_i \\ (y_i)_{i \in I} \longmapsto (y_j,j) \end{cases}$... sauf que cette application est effectivement loin d'être surjective, en effet : $ \text{quid de l'antécédent d'un élément } (z_s,s) \in B_s \times \{s\} \text{ par } pr_j \text{, si s} \neq \text{j ????}$
En fait, je voulais exhiber une application telle qu'un élément quelconque de$ \sum\limits_{i \in I} B_i$, par exemple $(\beta_j,j) \in B_j \times \{j\}$ ait un antécédent du type $(x_i)_{i \in I} \text{ avec } x_i = \begin{cases} \beta_j \text{ si } i=j \\ x_i \text{ quelconque } \in B_i \text{ si } i \neq j \end{cases}$
je ne vois pas comment une application de ce type peut exister !
Je remets donc les compteurs à zéro et essaie de trouver autre chose ...
P.S. votre dernière intervention n'est pas tant hors de propos que ça, elle me donne une confirmation de la forme des éléments des ensembles produits ;-) -
Précision: il n'y avait rien de méchant contre pldx dans ma remarque. Je ne suis pas modérateur, je viens pour le plaisir et je n'ai pas à subir les trolls de pldx qu'au demeurant je trouve plutôt sympathiques pour ce qui est de la partie "maths" dans la mesure où je trouve attendrissant qu'il essaie d'aborder des thèmes qu'il ne connait pas du tout avec un style affecté très docte, ce qui le conduit mais ça arriverait à tout autre personne à dire évidemment 30-40% du temps n'importe quoi tout en l'enrobant sous des phrasés elliptiques pour ne pas se faire prendre la main dans le pot de confiture. Certains trolleurs n'ont pas ce courage. De plus quand pldx poste en géométrie et partage ses ses échanges avec ses logiciels qu'il a soigneusement dresses pour l'occasion il ravit ses collègues géomètres.
J'apprécie moins certaines sorties ad hominem genre évocation des HP où j'ai séjourné ou recherche infos impudiques internet mais j'ai l'impression qu'il a été averti et s'est assagi.
Par contre pour revenir dans le fil, si moi je n'interviens pas en logique ou set theory face à ses bêtises pour ne pas l'écraser j'invite cependant les lecteurs à lire avec recul et vigilance ses interventions techniques. Même quand elles ne sont pas franchement fausses, elles peuvent tromper sur certains aspects. Il ya parfois beaucoup de valeurs personnelles derrière certaines affirmations. Et je le redis il est pas "préférable" de disjoindre variables liées et libres. Les occurrences ne peuvent pas être oubliées quoiqu'il en soit même disjointes.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@amatheur1 : tu as bien trouvé pourquoi l'application que tu proposais n'était pas surjective ! Comme je l'ai déjà dit, l'énoncé est faux si tu ne supposes pas que les $b_i\geq 2$: il va donc falloir l'utiliser dans la preuve !
-
J'en profite pour signaler une maladresse: l'énoncé b est artificiel. Le bon énoncé est que si la somme de u se surjecte sur le produit de v (même ensemble d'indices) alors l'un des u(i) se surjecte sur v(i).
Un corollaire amusant que si non AC alors il existe X infini ne se surjectant pas sur X^2Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
Qualifier Bourbaki de "ramassis de profs du secondaire" est on ne peut plus amusant, surtout de la part de quelqu'un qui semble être, à ses moments perdus, enseignant dans le secondaire. Quant à cette rage contre l'enseignement secondaire en général, elle semble être en corrélation avec le fait que, au moins selon les dires de christophec lui-même sur ce forum, les collègues de christophec n'ont pas vraiment tendance à le considérer comme une réincarnation du dieu vivant.
Voyons néanmoins ce que donnerait la notation sans indices. On pose $G=\left\{ A_{i}|i\in I\right\} $ et on décide de noter $A_{i}$ par $G\left(i\right)$. Moyennant quoi, $\cup_{i\in I}A_{i}=\cup_{i\in I}G\left(i\right)=\cup_{x\in G}x$. Excellent. D'ailleurs, Dehornoy fait comme cela. Que donnerait la notation $\prod_{x\in G}x$ ? Eh bien, cela ne donnerait rien du tout. Si l'on permute l'ensemble des indices, le produit change. Pour $X\times Y$, les couples $\left(x,y\right)$deviennent $(y,x)$. Et quand cela change, ce n'est pas pareil.
Pour ce qui est de la somme, cela tourne à la farce. Lorsque $\left|I\right|=2$, L'ensemble $B+C$ est défini par \[ \left\{ \left(1,x\right)|x\in B\right\} \cup\left\{ \left(2,y\right)|y\in C\right\} \] ce qui veut dire que $A_{1}$désigne une certaine copie de $B$, à savoir $A_{1}\doteq\left\{ 1\right\} \times B$, tandis que $A_{2}$ désigne une certaine copie de $C$, à savoir $A_{2}\doteq\left\{ 2\right\} \times C$. Dans le cas où $B=C$, on a $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ (qui est ce que l'on veut), tandis que $A\left(1\right)=A\left(2\right)=B=C$ (qui est ce que l'on ne veut pas).
Au passage, il me semble utile de rappeler que la définition de $Y\doteq\prod_{i\in I}A_{i}$ donnée par Bourbaki est que $Y$ est une certaine partie de $\mathfrak{P}\left(I\times\cup_{i\in I}A_{i}\right)$ ... où $\cup$ veut dire $\cup$ et non pas $\sum$.
@amatheur1. Revenons à nos moutonsses.-
$\,$
- Cet exercice pose deux questions, avec deux hypothèses différentes. Dans a), il y a seulement $\forall i\in I:\;a_{i}\leq b_{i}$ et dans b), il y a $\forall i\in I:\;a_{i}<b_{i}$. En fait, tu a correctement fait remarquer, que a) se traite en prenant $\forall i\in I:\;a_{i}=b_{i}$. Et c'est alors le moment de remarquer que $1+1+1\leq1\times1\times1$ est "légèrement inexact", autrement dit, il serait utile d'utiliser les hypothèses $2\leq b_{i}$ (remarque déjà faite par Maxtimax).
$\,$ - Pour a), ton intention est de construire une surjection de $\prod_{i\in I}B_{i}$ vers $\sum_{i\in I}B_{i}$. J'en ai une écrite devant moi, qui suppose $\left|I\right|\geq3$ (les "petits cas" se traitant directement). L'idée de cette surjection m'est venue en développant $\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)$. Je ne sais pas si cela va t'aider ou non, mais nous sommes en train de discuter de comment on trouve une preuve, et pas de comment on vérifie que ce que l'on a trouvé est bien une preuve.
$\,$ - Pour b), il faut montrer qu'une application de $\sum_{i\in I}A_{i}$ vers $\prod_{i\in I}B_{i}$ ne peut pas être surjective. Le coup d'avant, on prouvait l'existence en exhibant une possibilité. Ici, c'est le jeu inverse: tu dois montrer que personne ne pourra exhiber de contre-exemple... et l'indication donnée par Bourbaki n'est pas inutile.
Cordialement, Pierre. - Cet exercice pose deux questions, avec deux hypothèses différentes. Dans a), il y a seulement $\forall i\in I:\;a_{i}\leq b_{i}$ et dans b), il y a $\forall i\in I:\;a_{i}<b_{i}$. En fait, tu a correctement fait remarquer, que a) se traite en prenant $\forall i\in I:\;a_{i}=b_{i}$. Et c'est alors le moment de remarquer que $1+1+1\leq1\times1\times1$ est "légèrement inexact", autrement dit, il serait utile d'utiliser les hypothèses $2\leq b_{i}$ (remarque déjà faite par Maxtimax).
-
:-D ce qui est bien est que tu es un vrai compteur Geiger: on mesure ton aigreur à l'intensité de tes tentatives d'être le plus méchant possible. C'est dommage que dans le stress tu laisses s'emporter ton bon sens.
Je rappelle qu'une somme ou un produit d'ensembles N'A DE SENS QUE DONNÉ AVEC SON ENSEMBLE D'INDICES. Le reste c'est pour les salons ou les promoteurs de visions catégoriques qui arpentent les tribunes mais ici on est en maths ensemblistes pas en maths informelles.
A+B n'est pas défini en set theory. C'est une abréviation de cantine entre.gens qui se comprennent. Un bon moyen de s'en rappeler est de considérer l'expression A+A. Pldx à défaut de suivre mon conseil d'éviter les attaques ad hominem (qui ne te grandissent pas) essaie au moins de te rappeler que isomorphe ne veit pas dire égal.
Rappel: la somme de f est l'ensemble des couple (i,u) tels que i est dans dom(f) et u dans f(i). Le produit de f est l'ensenble des fonction g de même domaine que f telle que pour tout i dans dom(f): g(i) est dans f(i).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Comme déjà dit je ne promets pas de reprendre toutes tes erreurs à chaque fois. Ça te chauffe inutilement. A toi de respecter tes lecteurs. J'ai réagi à titre exceptionnel parce que pour le coup l'erreur était emblématique. Et tu n'as pas répondu à max soit dit en passant.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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$\prod_{x\in G} x$ est l'ensemble des applications $f$ de $G$ dans $\bigcup_{x\in G} x$ telles que pour tout $x\in G$, $f(x)\in x$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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J'espère lire "merci foys" de ta part pldx.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bonjour.
En résumé: une somme ou un produit d'ensembles N'A DE SENS QUE DONNÉ AVEC SON ENSEMBLE D'INDICES. Et donc celui qui propose de supprimer les indices est... insensé. En effet. Qui donc proposait de se passer des indices ?
Quant au produit:Définition: Soit $(X_i)_{i\in I}$ une famille d'ensembles. L'ensemble des graphes fonctionnels $F$, ayant $I$ pour ensemble de définition, et tels que $F(i)\in X_i$ pour tout $i\in I$, s'appelle le produit de la famille d'ensembles $(X_i)_{i\in I}$.
Préalable: Et c'est bien un ensemble, parce que c'est une partie de $\mathfrak P \left(I\times \cup_{i\in I} X_i \right)$.
Le plus simple pour discuter d'un exercice du fascicule XVII, c'est d'avoir le fascicule XVII sous la main. Pour paraphraser: le produit, c'est l'ensemble des fonctions de choix.
Quant à définir $\prod_{x\in G} x$ comme étant l'ensemble des applications $f$ de $G$ dans $\bigcup_{x\in G} x$ telles que pour tout $x\in G$, $f(x)\in x$, cela donnerait $$subs(B=A, A\times B\times C)=A\times C$$ En effet $$subs(B=A, \{A,B,C\})=\{A,C\}$$
Tant voguent les maths à l'eau !
Cordialement, Pierre.
Edit: quant à -
Si tu etais un étudiant s'affichant explicitement comme tel, je t'aiderais volontiers concernant ta dernière incompréhension. Le problème est que tu ne demandes pas d'aide de manière formelle donc je te laisse patauger dans ces bases tu finiras bien par trouver tout seul où tu buggues. Et précision: je ne suis adepte de la modestie, je ne te demande pas d'afficher un air modeste, ça, je m'en fous, mais les tournures que tu utilises pour exhiber ton incompréhension FO t que contrairement à quelqu'un qui poserait explicitement une question on serait obligé d'en écrire plus long pour couvrir ta difficulté dans toute son étendue supposée puisque non volontairement décrite.
Peut être max ou foys seront-ils seront-ils plus généreux sue moi. Mais on ne peut pas me reprocher cette économie d'effort vu les machins ad hominem que tu m'envoies parfois (encore ce matin cette histoire de collègues :-S ). Par contre je ne veux pas te décourager à t'initier à la théorie des ensembles ou au boubakisme: ce sont des démarches à promouvoir qui que ce soit les candidats.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Pierre, tu te trompes. Il faut distinguer $A\times B\times C$ qui n'est qu'une abbréviation de $(A\times
\times C$ (ou de $A\times (B\times C)$ selon tes préférences) , et $\displaystyle\prod_{i\in I} A_i$, avec $A_1 = A, A_2 = B, A_3=C$.
$A\times B\times C$ est (usuellement) un ensemble dont les éléments sont de la forme $((a,b),c)$ tandis que les éléments de $\displaystyle\prod_{i\in I} A_i$ sont de la forme $\{ (1,a), (2,b), (3,c)\}$.
Ni Foys, ni Christophe n'ont insinué que $A\times B\times C$ était $\displaystyle\prod_{x\in \{A,B,C\}} x$, qui, lorsque $A=B$ vaut effectivement $\displaystyle\prod_{x\in\{A,C\}} x$, soit un ensemble en bijection avec $A\times C$, et rarement avec $A\times B\times C$.
D'ailleurs avec la définition de Bourbaki que tu donnes, on pourrait de même arguer que si $I=\{A,B,C\}$ et $A=B$, alors "$A\times B \times C = A\times C$", mais bon...
Mais ceci est hors-sujet, et contrairement à certains fois où tes interventions sont pertinentes ici tu ne fais que perturber amatheur1. -
Définition: Soit $(X_\iota)_{\iota\in I}$ une famille d'ensembles. L'ensemble des graphes fonctionnels $F$, ayant $I$ pour ensemble de définition, et tels que $F(\iota) \in X_{\iota}$ pour tout $\iota \in I$, s'appelle le produit de la famille d'ensembles $(X_\iota)_{\iota\in I}$.
Préalable: Et c'est bien un ensemble, parce que c'est une partie de $\mathfrak P(I \times \bigcup_{\iota \in I} X_{\iota})$.
Si $G$ est un ensemble, l'ensemble $\Delta_G \{(x,x)\mid x\in G\}$ est un graphe fonctionnel (appelé souvent fonction identité de $G$ dans lui-même), autrement dit une famille d'ensembles indexée par $G$ et donc d'après la citation ci-dessus:
$\prod_{x\in G} \left(\Delta_{G} \right)_x$ est l'ensemble des graphes fonctionnels $F$, ayant $G$ pour ensemble de définition, et tels que $F(x) \in \left( \Delta_G \right)_x$ pour tout $x\in G$.
Mais il s'avère que $x= \left( \Delta_G \right)_x$ pour tout $x\in G$, et donc que (en remplaçant $\left(\Delta_{G} \right)_x$ par $x$) dans ce qui précède:
$\prod_{x\in G} x$ est l'ensemble des graphes fonctionnels $F$, ayant $G$ pour ensemble de définition, et tels que $F(x) \in x$ pour tout $x\in G$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonsoir à tous,
Après avoir lu avec intérêt les posts ci-dessus, je me concentre sur l'exercice :
@pldx1
a)
$\bullet |I| = 1$ le cas est trivial...
$\bullet |I| = 2 \longrightarrow \text{ on doit montrer: }b_1+b_2\leqslant b_1b_2$
On travaille non sur les ensembles $B_i$, mais sur leur cardinaux $b_i$ (j'entends par là : $|B_i|=b_i)$
$ \text{On a nécessairement } b_1\leqslant b_2 \text{ ou } b_2\leqslant b_1 \text{ (corrolaire 1 p. III-25), supposons } b_1\leqslant b_2 \text{ il vient : } b_1+b_2\leqslant b_2+b_2 \text{ (prop. 14 p. III-30)} $
$\text{mais (par définition, p. III-27) } b_2+b_2 = \sum\limits_{j \in J} b_j ,\hspace{0.2 cm} \text{ avec } |J|=2 \text{ et } b_j=b_2, (\forall j \in J)$
$\text{or, par hypothèse } b_1 \geqslant 2 \text{, donc (corrolaire 1 p. III-30) } \sum\limits_{j \in J} b_j \leqslant \sum\limits_{j \in B_1} b_j = b_1b_2 \text{ (corrolaire 2 p. III-27)}$
En conclusion, on a bien le résultat cherché.
$\bullet |I| \geqslant 3$...
vu ce qui a été fait pour le cas $|I| = 2$ , je suis tenté d'utiliser une récurrence quelconque, mais $I$ n'est pas censé être nécessairement bien ordonné, alors j'oublie mon fantasme et essaie de déterminer la surjection inscrite sur la feuille devant vous !
Cordialement -
intéressant (tu)
-
Bonjour,
Il est à noter que l'ensemble $I$ de l'exercice est quelconque. En vertu de la prop. 14, E III. 30, l'on a clairement\[\sum_{\iota\in{I}}\mathfrak{a}_{\iota}\leqslant\sum_{\iota\in{I}}\mathfrak{b}_{\iota}\]de sorte qu'il suffit de montrer que\[\sum_{\iota\in{I}}\mathfrak{b}_{\iota}\leqslant\mathop{\huge \mathrm{P}}_{\iota\in\rm I}\mathfrak{b}_{\iota}\]Plus présicément, en vertu des définitions et de ce qui se trouve consigné en E III. 24, 25, il suffit d'exhiber une injection de $\bigcup\limits_{\iota\in{I}}\left(\{\iota\}\times\mathfrak{b}_{\iota}\right)$ dans $\prod\limits_{\iota\in{I}}\mathfrak{b}_{\iota}$. Que penser de celle-ci ?\[\left\{\begin{array}{rcl}\bigcup\limits_{\iota\in{I}}\left(\{\iota\}\times\mathfrak{b}_{\iota}\right)&\longrightarrow&\prod\limits_{\iota\in{I}}\mathfrak{b}_{\iota}\\(\alpha,\,x)&\longmapsto&\bigcup\limits_{\iota\in{I}}\left\{\left\{\begin{array}{lllll}(\iota,\,0)&\mbox{si }\iota\ne\alpha\\(\alpha,\,x)&\mbox{sinon.}\end{array}\right.\right\}\\\end{array}\right.\]Sauf erreur de ma part, ne serait-elle pas canoniquement injective (par construction même) ?
Là, je n'ai plus beaucoup de temps à m'investir, car je suis au boulot. Bonne journée.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Bonjour.
En théorie des ensembles, le produit $\prod$ a été introduit pour généraliser le produit $\times$ aux cas où il y a une infinité de facteurs. Et donc toute définition de $\prod$ qui ne contient pas $\times$ comme cas particulier est à rejeter. C'est exactement la situation de la somme $\sum$ d'une série numérique: le minimum requis est de retrouver les propriétés de $+$ lorsque la famille est à support fini.
Maxtimax a écrit "$A\times B\times C$ est (usuellement) un ensemble dont les éléments sont de la forme $((a,b),c)$ tandis que les éléments de $P={\displaystyle \prod_{i\in I}A_{i}}$ sont de la forme $\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$". Oui. Lorsque $\left|I\right|=3$, les éléments $x$ de $P$ sont des trucs à trois places. Et alors $pr_{1}\left(x\right)=a$, $pr_{2}\left(x\right)=b$, $pr_{3}\left(x\right)=c$. Et cela, quelle que soit l'implémentation et peu importe que l'on ait $A_{1}=A_{2}$ ou non. En résumé, $A\times B\times C$ est repris sous la forme $P=\prod\left\{ 1\mapsto A,\,2\mapsto B,\,3\mapsto C\right\} $... et si la chose a été bien faite, on peut identifier les deux sans créer de troubles. Et cela quelle que soit la valeur de $Card\{A,B,C\}$.
Cela n'a donc rien à voir avec $\prod_{x\in G}x$ tel que défini par Foys. En pareil cas, si l'on veut obtenir des trucs à trois places, il faut que les facteurs, c'est-à-dire les ensembles qui appartiennent à $G$ soient trois objets deux à deux distincts... et ce n'est pas comme cela que l'on va fabriquer le produit de trois facteurs identiques.
Par définition, une famille indexée par $I$, que l'on note $\left(F_{i}\right)_{i\in I}$ est une application $I\hookrightarrow G$. Autrement dit, pour $I=\left\{ 1,2,3\right\} $ on a $F=\left\{ \left(1,F\left(1\right)\right),\left(2,F\left(2\right)\right),\left(3,F\left(3\right)\right)\right\} $, avec $F\left(1\right)\in G$, etc. Un élément de $P$ est alors un graphe fonctionnel $f$ ayant $I$ pour ensemble de définition et tel que $\left(\forall i\in I\right)\left(f\left(i\right)\in F\left(i\right)\right)$. Encore et à nouveau, le cœur de l'affaire est qu'il faut indexer par $I$ qui est l'ensemble des indices, et pas par $G$ qui est l'ensemble des facteurs.
Tant voguent les maths à l'eau !
@amatheur1. On en revient donc à \[ \left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)=\left(a+b+c+d\right)+\left(bcd+acd+abd+abc\right)+autres \] qui, paraît-il, peut servir de source d'inspiration pour la surjection à construire.
Cordialement, Pierre. -
Enfin tu te rends bien compte qu'une application $a : I\to \displaystyle\bigcup_{i\in I} A_i$ telle que pour tout $i$, $f(i)\in A_i$ c'est la même chose qu'un "graphe fonctionnel blabla" ?
Et ça ne change pas grand chose au schmil-blick, tant que personne n'affirme que $\displaystyle\prod_{x\in \{A,B,C\}} x$ est $A\times B\times C$, ce que jusqu'ici personne n'a fait. Si ton "graphe fonctionnel" est précisément l'identité, où est le problème avec $\prod_{x\in G} x$ ? :-S
Et puis contrairement à ce que tu prétends, même avec la définition Bourbaki, $A\times B\times C$ n'est pas un cas particulier de $\prod$, c'en est un à isomorphisme près "seulement". -
Hier, j'avais écrit avec une ironie légère et pas du tout méchante que j'attendais avec impatience "merci beaucoup à vous foys et maxtimax" de la part de pldx car vous aviez pris le temps de lui expliquer ses erreurs. Un modérateur, estimant probablement que ma phrase (d'une ligne) pouvait "chauffer" pldx et lui rendre la tâche de vous remercier plus difficile avait pragmatiquement caché le post (qui de toute façon était sans importance, si ce n'est que la partie sérieuse son contenu d'une ligne était un rappel d'un point de charte qu'un remerciement est toujours un pluss dans les relations inter-forumeurs)
Finalement, j'en viens à me dire que pldx n'avait pas besoin d'être "vexé" par mon post (qu'il n'a pas dû voir) pour être "empêché" de remercier ses interlocuteurs (qui se sont pourtant, contrairement à moi, bien investis en temps pour l'informer, puisque si on additionne les posts de max et de foys, on arrive à pas loin de 30 mn de frappe).
Pour le coup pldx, je suis sérieux et pas ironique, je sais la fixette que tu fais sur moi, mais il devient dommage que ça te conduise à des excès contre les autres et surtout à AUGMENTER ton taux d'erreurs histoire de "ne pas céder" quand on te fait remarquer que tu te trompes. Ton "voguent les maths" apparait en plus comme un triste "chant du cygne" dans ce contexte. Peux-tu tout simplement en revenir à un comportement plus technique et attentif à ce qui t'est écrit (casse-moi de temps à autre si tu en éprouves le besoin, mais ne balance pas des posts désinformant par arc-boutage enfantin).
Merci par avance de tenir compte de cette demande (que je t'adresse au nom des autres (je m'en fiche à vrai dire) et surtout de amatheur par exemple, qui semble s'attacher à tes conseils).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour à tous,
Le temps me manquant, je ne vais répondre que :
@Thierry Poma
Je suis tout à fait d'accord avec vous.
Le pire c'est que j'avais commencé par exhiber cette injection canonique sur mon brouillon ... je l'ai ensuite zappée, une fois sur le forum, en m'entêtant avec une FAUSSE surjection ($pr_i$...). Cela fait partie de ce que j'appelle mes dysfonctionnement intellectuels X:-(
La seule chose, c'est que je raisonnais avec $\sum\limits_{i \in I} B_i $ et $\prod\limits_{i \in I} B_i$ (avec $card(B_i)=b_i$), alors que vous, le faîtes directement avec les cardinaux $b_i$. L'avez-vous fait sciemment ?
A contrario de l'injection, la surjection me semble beaucoup moins claire. Je me donne encore un peu de temps pour la chercher avec les conseils de pldx1.
Cordialement. -
@Maxtimax. A nouveau, le problème avec $P=\prod_{x\in \{A,B,C\}} x$ est qu'on ne sait pas si les éléments de $P$ sont des triplets ou des couples ou des singletons (écrits d'une façon ou d'une autre). Si l'on veut être certain que $P$ contienne des triplets et pas autre chose, il faut indexer par un ensemble d'indices à trois éléments ($I$) et pas par $G$ dont le nombre d'éléments peut varier. Je te rappelle que la discussion a surgi à propos de cette remarque ahurissante sur le fait de se passer d'un ensemble d'indices spécifique et de se borner à utiliser l'ensemble des facteurs (ici $G$) comme ensemble d'index. Si l'on veut fabriquer $A\times A \times A$, il faut un ensemble d'indices de cardinal $3$, et une fonction de $I$ dans $G=\{A\}$, que l'on peut noter $i\mapsto B_i$ si l'on a envie et alors $A\times A \times A$ est réobtenu par $\prod_{i\in I}B_i$, alors que $\prod_{x\in \{A,A,A\}}x$ ne donne pas autre chose qu'une copie de $A$.
Cordialement, Pierre. -
@pldx: pourquoi fais-tu semblant de ne pas avoir compris de quoi il était question et essaies-tu de redire la même chose que les autres en tentant un virage discret et en faisant semblant de "l'avoir toujours dit", alors que personne ne va être berné? Pourquoi ne pas tout simplement remercier les gens (foys et max) qui t'ont aidé à y voir clair? Est-ce si difficile? Pour le forum, tu n'es qu'un pseudo "p.l.d.x.1", tu n'as pas d'image d'infaillibilité à préserver et de toute façon, même dans la vraie vie, l'infaillibilité....
@amatheur, il n'est pas interdit de penser aux choses que tu as vu à l'école primaire*** pour te guider. Par ailleurs, avec son "tau", Bourbaki admet l'axiome du choix, donc ces sujets sont "transparents", mais ils dépendent en fait de l'axiome du choix quelle que soit la manière dont on essaie de s'y dérober.
Cela dit, je pense qu'il est plus édifiant de prouver que si la somme de u se surjecte sur le produit de v (u,v ayant même domaine D non vide) alors il y a un élément $i\in D$ tel que $u(i)$ se surjecte sur $v(i)$ comme je te l'ai déjà dit. L'hypothèse $\forall i\in
card(u(i))<card(v(i))$ est artificielle, la partie $u(i)\leq v(i)$ ne sert à rien.
*** de simples et petits nombres entiersAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@pldx1 : mais si tu écris $I=\{A,B,C\}$ tu ne sais pas non plus si tu as trois élements distincts, je ne vois vraiment pas le problème. De plus comme je l'ai dit, l'ebsemble d'indices peut coincider avec l'image du "graphe fonctionnel", et le graphe fonctionnel peut correspondre à l'identité : dans ce cas pourquoi écrire $A_i$ quand on peut écrire $i$ ?
Enfin bon, comme ce n'est pas le sujet du fil ce sera mon dernier post à ce sujet, si je poste encore ici ce sera pour répondre à amatheur1 -
@Messieurs,
D'une certaine manière, contrairement à ce que certains semblent penser, la question des indices n'est pas si hors sujet que ça. Je vous rappelle qu'en début de post, j'ai demandé qu'on me rassure quant à mon interprétation de ce que sont les éléments d'un produit d'une famille d'ensembles et d'une somme, eh bien, votre discussion à, pour ma part, dissipé tout doute éventuel. Donc, me concernant, vous avez, en partie, rempli votre mission et je vous en remercie.
Habituellement quand je lance un sujet (et qu'on daigne y répondre), je tâche de me concentrer sur les réponses en lien direct avec ma question, et je laisse disserter, sans m'immiscer, les intervenants plus qualifiés que moi sur les questions annexes pouvant apparaître au cours du fil. Je remarque juste que :
Il est vrai que pour passer (moyennant un isomorphisme, comme le rappelait Maxtimax) d'un produit d'une famille d'ensembles à un produit d'ensembles (p. II-35 remarques 1) et 2) ), il est bien spécifié que $I$ (ensemble d'indices) a tous ses éléments distincts. Du coup le choix de $I$ devient fondamental, donc pldx1 a raison de le souligner.
En même temps Maxtimax et les autres semblent être d'accord sur ce point, donc ... je peux retourner à ma surjection B-) -
De mon téléphone : @amateur je comprends sue tu ne veuilles pas te mettre pldx à dos donc je corrige moi-même:"pldx a raison de le souligner" après qu'on ait eu besoin de le lui faire comprendre dur 5 ou 6 posts et que ça constituait sa grosse faute de départ pour laquelle maintenant qu'il a enfin compris non content de ne remercier ni max ni foys qui ont pris du temps prend en plus la posture "menfin je ne cesse de le dire" ce qui, heureusement que foys et max sont calmes et s'en fichent est généralement très très énervant pour un interlocuteur qui a donne de don temps.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Thierry Poma: il me semble que, si $\alpha \neq \beta$, $(\alpha,0)$ et $(\beta,0)$ ont la même image, donc ce n'est pas une injection. Il faut peut-être restreindre la fonction à $\sum_i (\mathfrak{b}_i-\{\emptyset\})$ pour obtenir une injection.
Donc, $\sum_i (\mathfrak{b_i}-\{\emptyset\})$ s'injecte dans $\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i$. Donc $\sum_i \mathfrak{b_i}$ s'injecte dans $I+\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i$. Et $\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i \geq 2^I$, car $\mathfrak{b}_i\geq 2$, pour tout $i$.
Si $I$ est infini, $I+2^I=2^I$, donc on a $I+\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i =\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i $.
Si $I$ est fini, et si l'un des $ \mathfrak{b}_i $ est infini, $\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i $ est infini, donc, de même, $I+\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i =\mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i $.
Si $I$ est fini, et si tous les $ \mathfrak{b}_i $ sont finis, c'est une inégalité sur les entiers.
Donc $\sum_i \mathfrak{b} \leq \mathrm{P}_i \mathfrak{b}_i$
Ou alors, on peut peut-être utiliser la fonction pour obtenir que $\sum_i \mathfrak{b}_i $ s'injecte dans $\mathrm{P}_i (\mathfrak{b}_i+1)$. -
@amatheur1: ça veut dire quoi que les éléments de $I$ sont tous distincts ?
Faut se dire que le "problème" soulevé par pdlx1 ne disparait absolument pas si on a par exemple $I=\{A,B,C\}$. Eventuellement il pourrait réclamer que $I$ soit un cardinal, de sorte qu'on puisse distinguer "à la vue" ses éléments, mais pour un ensemble infini suffisamment grand, on ne pourra de toute manière pas les distinguer à la vue (comme on le fait dans $I=\{0,1,2\}$ contrairement à $I=\{A,B,C\}$ où, comme $A,B,C$ ne sont pas des notations usuelles, on ne peut pas savoir "à l'avance" si $A=B$ ou non, par exemple) .
C'est pour ça que je ne comprends pas vraiment quel point il tente de soulever... la notation $\displaystyle\prod_{x\in G} x$ est parfaitement valide, mais ce n'est pas pour autant que $\displaystyle\prod_{x\in G}x \simeq \displaystyle\prod_{i\in I}A_i$, même si $G= \{A_i, i\in I\}$, car dans le deuxième produit, un élément de $G$ peut apparaître plusieurs fois (pour peu que $i\mapsto A_i$ ne soit pas injective). Il n'en reste pas moins que la notation et sa définition sont valides. -
Bonjour.
Je me permets de rappeler que le problème posé est de comparer $\prod_{i\in I} \mathfrak a_i $ avec $\prod_{i\in I} \mathfrak b_i $. Dans ce contexte, l'idée même de se passer d'un ensemble d'indices "sous prétexte que les indices cela pue le secondaire" est particulièrement à côté de la plaque.
Cela conduirait en effet à comparer $\prod_{\mathfrak a \in \mathfrak A} \mathfrak a $ avec $\prod_{\mathfrak b \in \mathfrak B} \mathfrak b $, alors qu'il n'y a aucune raison pour que les deux ensembles produits soient composés d'objets de même arité. Pour cet exercice, il est absolument nécessaire que les deux familles soient synchronisées par leurs indices, de façon à ce que l'expression $(\forall i \in I)(\mathfrak a_i \leq \mathfrak b_i)$ ait une signification.
On ne peut même pas tenter d'ordonner $\mathfrak A$ et $\mathfrak B$ par restriction du bon ordre naturel sur $\mathfrak {On}$: il n'y aurait toujours pas de raison pour que $\mathfrak A$ et $\mathfrak B$ reçoivent le même type d'ordre (on sait au plus que l'un deux serait alors isomorphe à un segment initial de l'autre).
Tout ceci n'a aucun rapport avec le fait que les éléments de $I$ seraient distincts ou non. Avoir $u\in I,v\in I$ ne nous dit rien sur $u=v$ ou sur $u\neq v$, ni même sur le fait que $u$ existe ou non. Tandis que si l'on prend deux éléments de $I$ (à supposer que cela soit possible), ils sont nécessairement différents, sinon ils ne seraient pas deux. Une fois que l'on a rappelé ce genre de platitudes, il reste que l'intérêt des familles indexées est que, quoi qu'il puisse arriver au sein de l'ensemble des indices $I$, les deux familles $(A_i)_{i\in I}$ et $(B_i)_{i\in I}$ restent synchronisées.
Et enfin, le fait que "le problème se ramène à remarquer qu'un produit $\prod _{i\in I} E_i$ ne peut être réunion d'une famille $(A_i)_{i\in I}$ telle que $(\forall i\in I)(Card(A_i)<Card(E_i))$ en observant que $Card(pr_i(A_i))<Card(E_i)$" ne saurait être une mauvaise indication. En effet, c'est celle qui est donnée par Bourbaki dans l'énoncé qui est reproduit tout en haut de ce fil.
Cordialement, Pierre. -
@ pdlx1: en fait je suis allé voir le début de cette conversation pour voir pourquoi tu buggais tant, est-ce que tu peux réexpliquer précisément où est ton problème avec ce qui a été dit à quelque moment que ce soit ? parce que pour le moment tu ne fais que répéter la même chose, je te dis que ce que tu dis est vrai mais que personne n'a insinué le contraire et pourtant tu te braques sur cette histoire d'indices :-S ce n'est pas parce que $\prod_{x\in G} x$ est différent de $\prod_{i\in I} A_i$ même lorsque $G= \{A_i \mid i \in I\}$ (ce que j'ai répété plusieurs fois et que personne n'a contredit) que l'écriture $\prod_{x\in G} x$ est à rejeter ...
de plus si je ne me trompe pas, tu rebondissais avec ton histoire d'indices sur la remarque de Christophe concernant l'absurdité de noter $(b_i)_{i\in I}$ plutôt que $b$, mais ça n'a absolument rien à voir avec ce que tu (ou en fait nous) dis. Du coup je voudrais bien que tu éclaircisses ton problème .
Si ton problème est avec la notation $\prod_{x\in G} x$ je crois t'avoir assez expliqué qu'il n'y en a pas, et tu n'as rien dit dans le sens contraire sauf "Tant voguent les maths à l'eau", si ton problème est avec la notation $b$ au lieu de $(b_i)_{i\in I}$, je ne le vois pas et tu ne l'as expliqué nulle part. Si ce n'est ni l'un ni l'autre alors je ne comprends pas ce que tu essaies de dire ?
(je remarque que ce message est une entorse à ce que j'ai dit plus haut, à savoir que je ne répondrais plus qu'à amatheur1 mais ce serait sympa de clore le débat pour arrêter de monopoliser son fil) -
Bonjour,
@Maxtimax. J'ai vu ton post. Je te propose de laisser amatheur1 occuper la majorité de l'espace, et d'y revenir par la suite.
@amatheur1. Tu avais envisagé d'utiliser une récurrence sur la taille de l'ensemble des indices. J'ai regardé ce que l'on pouvait faire dans ce genre d'idées. Cela demande deux manoeuvres: voir se qui se produit lorsque l'on passe au suivant, et voir ce qui se produit lorsque l'on passe à la limite. Et dans ce deuxième cas, il n'est pas absolument immédiat que ce passage à la limite conserve l'ordre strict, alors que ce n'est pas vrai pour le cas général En effet, $n<2n$ ne conduit pas à $Card(\omega) < Card (2 \omega)$. Autrement dit: prévoir du travail pour emprunter ce chemin là.
Cordialement, Pierre. -
En tout ces félicitations à toi max, pour ta gentillesse et ta capacité à te maitriser et jouer au candide (enfin prendre la posture polie du) qui croit à sa sincérité (alors que comme moi et probablement tout autre lecteur qui connait ces choses, tu as compris que pldx dit "mais c'est bien sûr rouge, enfin msieurs dames, voyons réfléchissez" puis dit "enfin écoutez moi, je ne cesse de dire que c'est rouge, arrêtez de dire vert", après s'être vautré et avoir insisté pour défendre le vert).
@pldx: tout ça pour ne pas remercier tes interlocuteurs foys et max (et depuis quelques posts, surtout max), ça va quand-même très loin. Tu ne peux pas effacer les posts qui ont été écrits et ne peux que modifier les tiens, mais la date de modification se verrait. Bon, je m'arrête là, mais je n'arrive pas à comprendre certaines motivations parfois. C'est rien de dire merci, c'est pas grave :-S
@amatheur, puisque je suis là, je te recommande un lemme qui m'apparait de plus en plus souvent comme utile dans plein de situations, je l'ai appelé "le lemme de l'étoile":
Pour tout $L\in A^{(B^A)}$, il existe $a\in A$ tel que pour tout $b\in B$, il existe $f\in B^A:[L(f)=a$ et $f(a)=b]$.
C'est une équivalent de l'axiome du choix. Il généralise tous les exercices que tu as postés jusqu'à présent, donc une seule preuve de ce lemme-là et pas d'un autre pourrait te faire gagner en temps et en densité. (La preuve est très facile à trouver).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Comme j'ai posté HM, je "paie mon tribut" en postant une correction de ton petit b en blanc par exemple, en montrant comment le lemme "le donne gratuitement". Edit: l'utilisation, abusive de ma part d'un lemme exprès est une maladresse puisque nous sommes dans un cas "trivial" de preuve directe bien plus courte sans insertion de ce lemme.
Soit $u,v$ de même domaine $D$ non vide, avec $f$ qui est une surjection de la somme de $u$ sur le produit de $v$. Soit (AC) pour chaque $i\in D$, un élément $g(i)\in v(i)\setminus Im(x\in u(i) \mapsto f(i,x)(i))$. Soient $(i,a)$ avec $a\in u(i)$ tel que f(i,a)=g$ (puisque $g$ est un élément du produit de $v$ et $f$ surjective). On a la contradiction que $f(i,a)(i)\neq g(i)$.
[small]Soient donc $u,v$ de même domaine $D$ non vide et $f$ une surjection de la somme de $u$ sur le produit de $v$.
A chaque $p$ dans le produit de $v$, on associe (AC) un élément $L(p)$ dans $D$ tel qu'il existe $x\in u(L(p))$ vérifiant $f(L(p), x)=p$
Par lemme ci-dessus, il existe $i\in D$ tel que pour tout $y\in v(i)$, il existe $p$ dans le produit de $v$ tel que $L(p)=i$ et $p(i)=y$.
Par (AC) encore, il existe $y\mapsto p_y$ de domaine $v(i)$ tel que pour tout $y\in v(i): L(p_y)=i$ et $p_y(i)=y$, ce qui entraine que $x\mapsto f(i,x)(i)$ est une surjection de $u(i)$ sur $v(i)$.[/small]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
je n'ai pas tout lu, mais pourquoi avoir introduit $\prod_{x\in G} x$ ?
Quel est le rapport avec le produit d'une famille d'ensembles ? -
@GG: C'était juste pour répondre à pldx1 qui en parlait dans son message, (affirmant à tort que cette notation ne donnait rien du tout).
$ \prod_{x\in G} x$ n'est rien d'autre qu'un exemple de produit d'ensemble (il n'a jamais été question que ce soit la situation la plus générale), à savoir celui de la famille (mot synonyme d'application, faut-il le rappeler)
$$\begin{align} G & \to G \\ x & \mapsto x \end{align}$$Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@GG: $\prod_{x\in A} f(x)$ est une abréviation de <<produit de $x\in A \mapsto f(x)$>>Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Quelques rappels:
<<a est une famille>> abrège <<a est un ensemble de couples tel que $\forall x,y,z: [$ si $(x,y)\in a$ et $(x,z)\in a$ alors $y=z]$.
<<domaine de a>> abrège <<ensemble des $x$ tels que $\exists y: (x,y)\in a$
<<codomaine de a>> abrège domaine de $ sym(a):=\{(x,y)\mid (y,x)\in a\}$
<<a est une famille indicée par b>> abrège <<a est une famille et $dom(a)=b$>>
<<la réunion de la famille $a$>> abrège <<$\{x\mid \exists (u,v)\in a: x\in v\}$>>
<<la réunion de la famille $a$>> s'écrit aussi souvent $\cup_{i\in dom(a)} a(i)$
<<la somme de a>> abrège <<$\{(i,x)\mid x\in a(i)\}$>>
<<le produit de a>> abrège <<ensemble des fonctions $f$ de même domaine D que $a$ telle que $\forall i\in f(i)\in a(i)$
Voilà pour les abréviations les plus officielles. A noter qu'elles opèrent même en débordement: par exemple, le produit de Macron est l'ensemble des fonctions $f$ de même domaine D que Macron telle que $\forall i\in f(i)\in Macron(i)$. Une abréviation c'est comme un pointeur la cible n'a pas besoin "un sens".
Il faut aussi bien comprendre ce que signifie $a(b)$, académiquement j'entends, je préférerais une autre définition** pour des ensembles quelconques: ça n'est pas défini sauf quand $\{x\mid (b,x)\in a\}$ est un singleton $\{c\}$ et dans ce cas: $a(b):= c$.
** cette "faute" très répandue est agaçante (de se donner le droit de "ne pas définir", par exemple $3/0$). en fait, sur le fond, aucune fonction ou ensemble ne doit être "partiel". Donc la "bonne définition" de $a(b)$ c'est (mais ce n'est pas académique) $a(b):=\{x\mid (b,x)\in a\}$. Toute fonction est un ensemble et tout ensemble est une fonction et ça ne change rien (à part que ça corrige les fautes où le lecteur est obligé de vérifier par lui-même des histoires d'ensembles de définitions).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
GG a écrit:$\prod_{x \in \{ A,B\}} x$ n'a aucun rapport avec $A\times B$, par exemple. (Ni avec $\prod_{i \in \{1,2\}} F_i$ où $F_1=A$ et $F_2=B$)
Ca dépend.
Si $A=B$ alors $\prod_{x \in \{ A,B\}} x$ est l'ensemble des applications de $\{A\}$ dans $A$, en bijection naturelle avec $A$, et $\prod_{i \in \{1,2\}} F_i$ est en bijection avec $A\times A$ (qui ne sera pas en bijection avec $A$ si $A$ est fini de cardinal $\geq 2$ par exemple, et a fortiori ces ensembles ne seront pas égaux).
En revanche dès que $A\neq B$, les ensembles $\prod_{x \in \{ A,B\}} x$, $\prod_{i \in \{1,2\}} F_i$ (où on convient jusqu'à la fin du présent post que $F_1=A$ et $F_2=B$) et $A\times B$ sont en bijection "naturelle":
Les applications $$ \begin{align} \theta:\prod_{x \in \{ A,B\}} x &\to A \times B \\ f & \mapsto \big( f(A), f(B) \big) \end{align}$$ et $$ \begin{align} \rho: \prod_{x \in \{ A,B\}} x &\to \prod_{i \in \{1,2\}} F_i \\ g & \mapsto \left\{ \big(1,g(A)\big),\big(2,g(B)\big) \right\}\end{align}$$ sont bijectives (immédiat).
D'autre part:
soit $p_A$ (resp. $p_B$) l'application qui à $(x,y)\in A\times B$ fait correspondre $x\in A$ (resp. $y\in B$).
Soit $q_A$ (resp. $q_B$) l'application qui à $u\in \prod_{x \in \{ A,B\}} x $ fait correspondre $u(A)\in A$ (resp. $u(B) \in B$).
Soit $r_A$ (resp. $r_B$) l'application qui à $v \in \prod_{i \in \{1,2\}} F_i$ fait correspondre $u(1)\in A$ (resp. $u(2) \in B$).
Alors: $p_A \circ \theta = q_A= r_A \circ \rho$ et $p_B \circ \theta = q_B = r_B \circ \rho$.
C'est cette propriété et la bijecivité de $\rho$ et de $\theta$ qui amènent à identifier les triplets $\left(A\times B,p_A,p_B \right)$, $\left( \prod_{x \in \{ A,B\}} x,q_A,q_B \right)$ et $\left( \prod_{i \in \{1,2\}} F_i,r_A,r_B\right)$ et ceux-ci sont tous les trois des réalisations du produit cartésien (au sens où on l'entend en théorie des catégories, mais c'est le bon point de vue) de $A$ et de $B$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour,
Ce fil, dont l'objectif était de comparer $\sum_{i\in I}\mathfrak{a}_{i}$ avec $\prod_{i\in I}\mathfrak{b}_{i}$ a été noyé sous une avalanche de digressions sans aucun rapport avec la choucroute.- Le préjugé christophec affirmant que "les indices, cela pue le secondaire"
$\,$ - La réaffirmation encore et encore de ce que des objets définis par $\prod_{x\in G}x$ pourraient avoir un intérêt dans le cadre de ce fil où le point essentiel est la synchronisation de deux familles au moyen d'un ensemble d'indices commun.
$\,$ - "il st en plus de ça relativement pénible de rendre disjoint les alaphanet libres et liés" (en christophec standard dans le texte).
$\,$ - Les degrés de Tukey et autres "généralisations" qui trivialiseraient tout ce qui passe.
Je constate ne pas avoir eu tort de défendre la choucroute puisque nous sommes finalement arrivés à- #1518960: une somme ou un produit d'ensembles n'a de sens que donné avec son ensemble d'indices
$\,$ - #1520706: $\prod_{x\in G}x$ n'est rien d'autre qu'un exemple de produit d'ensembles (il n'a jamais été question que ce soit la situation la plus générale).
$\,$ - Rappel #765368: Dans un fil où je défends une position sur la non ambiguïté du langage et la perfection de sa clarté, poster d'un téléphone, de "feux rouges" ou d'une plage, en langage télégraphique incompréhensible, est tout à fait délirant et saisissant
$\,$ - #1520598: l'utilisation, abusive de ma part d'un lemme exprès est une maladresse puisque nous sommes dans un cas "trivial" de preuve directe bien plus courte sans insertion de ce lemme. Sans compter qu'un google-search sur "degrés de Tukey" conduit en tout et pour tout à quatre textes écrits par l'honorable PasParSonNom.
Cela dit, et c'est le but du présent message, l'un des résultats de ce (un de plus !) piratage de la discussion a été que le message #1519526 de Thierry Poma, ainsi que le message #1520174 de marco, sont tombés dans l'oubli. Dans ce message, TP considère l'application définie par: \[ \vartheta:\left\{ \begin{array}{rcl} \bigcup\limits _{\iota\in I}\left(\{\iota\}\times\mathfrak{b}_{\iota}\right) & \longrightarrow & \prod\limits _{\iota\in I}\mathfrak{b}_{\iota}\\ (\alpha,\,x) & \longmapsto & \bigcup\limits _{\iota\in I}\left\{ \left\{ \begin{array}{lllll} (\iota,\,0) & \mbox{si }\iota\ne\alpha\\ (\alpha,\,x) & \mbox{sinon.} \end{array}\right.\right\} \end{array}\right. \] Si j'ai bien compris, $\vartheta$ est l'application que j'aurais plutôt envie de noter par: \[ \vartheta:\left\{ \begin{array}{rcl} \bigcup\limits _{\iota\in I}\left(\{\iota\}\times\mathfrak{b}_{\iota}\right) & \longrightarrow & \prod\limits _{\iota\in I}\mathfrak{b}_{\iota}\\ (\alpha,\,x) & \longmapsto & \left\{ \left(\alpha,x\right)\right\} \cup & \left\{ (\iota,\,0)\left| \iota\in I\setminus\left\{ \alpha\right\} \right.\right\} \end{array}\right. \]
L'objectif est de définir une bijection $\sigma$ entre le plus petit ensemble $E_{1}$ et une partie du plus grand $E_{2}$. Cela donne immédiatement une injection de $E_{1}$ dans $E_{2}$ (la formulation de TP), et il suffit de compléter $\sigma^{-1}$ sur $E_{2}\setminus\sigma\left(E_{1}\right)$ pour avoir une surjection dans l'autre sens (la formulation recherchée par amatheur1).
Ici, le fait que $0\leq\mathfrak{a_{i}}<\mathfrak{b_{i}}$ fournit gratuitement un élément distingué de chacun des $\mathfrak{b}_{\iota}$ Le problème est que, avec cette définition de $\vartheta$, tous les $\left(j,0\right)$ --aka $\left(j,0_{j}\right)$-- ont la même image, à savoir "$0$ partout". Il faut donc faire autrement pour ces éléments... et c'est ici que $\left|I\right|\geq3$ ne serait pas inutile.
Cordialement, Pierre. - Le préjugé christophec affirmant que "les indices, cela pue le secondaire"
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