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Démonstration passage au quotient d'une appli

didodido
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Je butte sur une démonstration dans le Liret, arithmétique.
Pour simplifier, on doit montrer que $A \Leftrightarrow (B \Leftrightarrow C)$

Pour la démonstration, si je l'ai bien comprise, l’auteur montre que $(B \Leftrightarrow C) \Rightarrow A$ et $(A$ et $C) \Rightarrow B $
J'ai du mal à comprendre en quoi $(A$ et $C) \Rightarrow B $ démontre la réciproque.

Merci de votre aide

Réponses

  • MaxtimaxMaxtimax
    À toi de montrer que $(A\land C)\implies B$ est équivalent à $A\implies (C\implies B)$. Ainsi cela ne suffit pas pour toute la réciproque mais bien pour "la moitié" de la réciproque
  • didodido
    Merci Maxtimax, c'est bien ce que j'avais compris. Je vais chercher une autre démonstration ailleurs.
  • Math CossMath Coss
    Tu voudrais mettre l'énoncé s'il te plaît ?
  • didodido
    Le voici :
    $\bar f $ est injective si et seulement si $\forall x,y \in E, x \sim y \Leftrightarrow f(x)=f(y) $
  • pldx1pldx1
    @dido.

    Peux-tu donner la totalité du passage que tu veux discuter ?
    Pour l'instant, cela se résume à : avons nous plus confiance en Liret qu'en dido ?

    Cordialement, Pierre.
  • Math CossMath Coss
    Je suppose que ce qui est démontré, c'est que si $\bar f$ est injective, $x$ et $y$ fixés, alors $\bigl[f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y\bigr]$ ? Dans ce cas, la démonstration est complète dans la mesure où l'implication réciproque $x=y\Longrightarrow f(x)=f(y)$ est triviale.

    Edit : oubli d'une barre (cf. ci-dessous).

    Edit : pire, mélange entre $=$ et $\sim$. Bon, je retire.
  • didodido
    La démonstration est
    Supposons $ \bar f$ injective et soient $x,y \in E$ tels que $f(x)=f(y)$. Alors $\bar f(p(x))= \bar f(p(y))$, donc $p(x)=p(y)$ et par suite $x \sim y $.
    Réciproquement, supposons $\forall x,y \in E, x \sim y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$. Soient $\alpha=p(a) $ et $ \beta=p(b) $ des éléments de $E/ \sim$ tels que $ \bar f(\alpha)= \bar f(\beta)$. Alors $f(a)= \bar f(\alpha)= \bar f(\beta)=f(b)$, donc $a \sim b $ et $\alpha=\beta$ : l'application $\bar f$ est donc injective.

    Pardon de ne pas l'avoir écrit tout de suite, il ne s'agit évidemment pas de remettre en question Liret, mais comme je n'ai pas l'habitude d'écrire en latex, ça me demande beaucoup de temps. Mais je vais m'habituer.
  • pldx1pldx1
    Je suppose que Math Coss suppose que $\overline f$ est une faute d'orthographe.
  • gerard0gerard0
    Dido,

    si la partie qui te gène est la première, le "et" du début est un mot de liaison, pas un mot logique. La preuve est :
    Supposons f injective.
    Quels que soient x et y , si f(x)=f(y) alors ...

    Mais pour des raisons de rapidité d'écriture, tout a été mis en une seule phrase.

    Cordialement.
  • pldx1pldx1
    Rebonjour dido.

    Peux-tu dire quels sont les passages du Liret que tu résumes par $A,B,C$ ?

    Cordialement, Pierre.
  • didodido
    A: $\bar f $ est injective

    $\forall x,y \in E $
    B: $x \sim y $
    C :$ f(x)=f(y) $
  • PoirotPoirot
    Tu vois bien qu'il y a un problème si tu sors ta quantification de tes énoncés !
  • didodido
    Non, je ne vois pas, désolée si je n'ai pas le niveau, sinon je n'aurais pas posé la question.
    En dehors de mon résumé qui n'est donc peut-être pas bon, oublions-le, je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi cette démonstration (la première partie, la réciproque ne pose pas de problème) est complète, d'où ma question.
  • remarkremark
    .
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    @dido : ton essai d'abstraction avec les A, B, C ne va pas du tout, comme on te l'a déjà fait remarquer.

    Une autre remarque qu'il ne me semble pas avoir vue. Puisqu'on parle de passage au quotient pour une application (je subodore que que $\bar f$ est la fonction induite par $f$ par passage au quotient pour $\sim$), c'est qu'au départ on a déjà, pour tous $x,y$ de $E$, si $x\sim y$ alors $f(x)=f(y)$.
  • didodido
    Cette partie de la démonstration ne me pose pas de problème, c'est la partie ci-dessous qui m'en pose :
    Supposons $ \bar f$ injective et soient $x,y \in E$ tels que $f(x)=f(y)$. Alors $\bar f(p(x))= \bar
    f(p(y))$, donc $p(x)=p(y)$ et par suite $x \sim y
    $.
    J'ai l'impression que ça prouve uniquement $ \bar f$ injective $\Rightarrow ( \forall x,y \in E$, $f(x)=f(y) \Rightarrow x \sim y )$
    et qu'il manque donc
    $ \bar f$ injective $\Rightarrow ( \forall x,y \in E$, $x \sim y \Rightarrow f(x)=f(y) )$
  • didodido
    Merci GaBuZoMeu ! C'est évident !
  • remarkremark
    .
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