sens selon l'ordre des quantificateurs
Bonsoir à tous,
Je travaille un peu les quantificateurs et j'ai quelques difficultés à bien percevoir le sens d'une phrase mathématique selon l'ordre des quantificateurs. J'aimerais être au clair sur ce point. Mes traductions en français des prédicats ci-dessous sont-elles correctes svp ? Dans ce cas précis, j'ai des difficultés à distinguer la nuance entre (P1) et (P2).
Merci d'avance de me corriger le cas échéant.
(P1) : $\forall n \in \mathbb{N}, \, \exists m \in \mathbb{N}, \, m | n$.
Pour chaque entier naturel $n$, on peut trouver un certain entier naturel $m$ (pas forcément le même) qui divise $n$.
Vrai : tout entier naturel $n$ est divisible par $m = 1$.
(P2) : $\exists m \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, m | n$.
Il existe au moins un entier naturel $m$ qui divise tout entier naturel.
Je travaille un peu les quantificateurs et j'ai quelques difficultés à bien percevoir le sens d'une phrase mathématique selon l'ordre des quantificateurs. J'aimerais être au clair sur ce point. Mes traductions en français des prédicats ci-dessous sont-elles correctes svp ? Dans ce cas précis, j'ai des difficultés à distinguer la nuance entre (P1) et (P2).
Merci d'avance de me corriger le cas échéant.
(P1) : $\forall n \in \mathbb{N}, \, \exists m \in \mathbb{N}, \, m | n$.
Pour chaque entier naturel $n$, on peut trouver un certain entier naturel $m$ (pas forcément le même) qui divise $n$.
Vrai : tout entier naturel $n$ est divisible par $m = 1$.
(P2) : $\exists m \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, m | n$.
Il existe au moins un entier naturel $m$ qui divise tout entier naturel.
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Réponses
1) $\forall m\in \N\ \exists n\in \N\ \ m<n$
2) $\exists n\in \N\ \forall m\in \N\ \ m<n$
Pour faire simple, dans ta proposition 1, le "m" peut dépendre de "n" et donc la propriété est vraie (il suffit de prendre m=n)
Dans ta seconde proposition, le "m" doit être "le même" pour tous les "n" et donc la proposition est vraie (prendre m=1)
Cela dépend donc de l'ordre dans lequel tu définis m et n.
Par ailleurs P2 implique P1.
De plus, tes phrases me semblent correctes.
Dans le cas de 1), que se passe-t-il si tu choisis n = m ? (néanmoins tu es sur la bonne piste)
Dans le cas de 2), tu dis "pour tous les n" alors que cela n'apparaît nulle part dans l'expression de GBZM.
1) $\forall m\in \N\ \exists n\in \N\ \ m<n$
Vrai : pour tout entier naturel $m$, on peut trouver un certain entier $n$ qui l'atteint ou le dépasse
2) $\exists n\in \N\ \forall m\in \N\ \ m<n$
Signifie : "il existe un entier plus grand que tous les autres", c'est faux.
Ta traduction "il existe un entier plus grand que tous les autres" est mauvaise. C'est "il existe un entier strictement plus grand que tous les entiers (y compris lui-même)".
http://blog.ac-versailles.fr/mathcommun/index.php/post/07/06/2017/Toute-classe,-jeu-universel
La valeur de la phrase initiale quand il y a encore les quantificateurs et les lettres, est celui des deux joueurs qui est avantagé (ie qui gagne si les deux sont parfaits).