$n(n+1)(2n+1)/6$ est un entier (niveau MPSI)
Bonjour,
Dans le premier chapitre sur les fondements logiques, il y a un exemple que je n'arrive pas à faire :-S :
Montrer, sans utiliser le fait qu'il s'agit d'une somme classique, que pour tout $n\in\mathbb N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ est entier.
PS : C'est dans le paragraphe sur la disjonction de cas.
Dans le premier chapitre sur les fondements logiques, il y a un exemple que je n'arrive pas à faire :-S :
Montrer, sans utiliser le fait qu'il s'agit d'une somme classique, que pour tout $n\in\mathbb N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ est entier.
PS : C'est dans le paragraphe sur la disjonction de cas.
Réponses
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On peut toujours disjoindre suivant les cas $n=6k$, $n=6k+1$,...,$n=6k+5$.
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Si on veut obliger l'étudiant à utiliser le principe de disjonction des cas pourquoi demander sur un exemple où on peut exhiber une autre écriture de cette fraction comme somme finie d'entiers?
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J'ai compris : il suffit de montrer que pour les 6 cas suivants, $n(n+1)(2n+1)/6\in\mathbb N$.
1) $n=6k$ est divisible par $6$ : ok
2) $n=6k+1$ alors $n+1$ est divisible par $2$ et $2n+1$ est divisible par $3$ donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok
3) $n=6k+2$ est divisible par $2$ et $n+1$ est divisible par $3$ donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok
4) $n=6k+3$ est divisible par $3$ et $n+1$ est divisible par $2$ donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok
5) $n=6k+4$ est divisible par $2$ et $n+1$ est divisible par $3$ donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok
6) $n=6k+5$ alors $n+1$ est divisible par $6$ donc donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok -
Il suffit de montrer que $ n(n+1)(2n+1) $ est divisible par 3. Soit a le reste de n dans la division par 3. Si a=0 ou 2 on a immédiatement le résultat car 3 divise n ou (n+1). Si a=1 alors 2n+1 est congrus à 2×1+1=3 modulo 3. Cqfd.
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mpsi_quatre a écrit:5) $n=6k+4$ est divisible par $2$ et $n+1$ est divisible par $3$ donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ : ok
Non. Attention aux erreurs d'inattention.
Pour te simplifier la vie (et cela reviendra sur ce genre de problèmes) tu peux commencer par remarquer que $n(n+1)$ est toujours divisible par 2. De la même façon $n(n+1)(n+2)$ est toujours divisible par 3... le seul cas problématique est donc lorsque c'est $n+2$ qui est un multiple de 3, et tu peux conclure (cette approche fait toujours appel à la disjonction des cas, mais est plus directe). -
Vous pouvez simplifier l'entier : $C^3_{n+2} +C^3_{n+1}$.
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dit la personne qui lit $n+2$ au lieu de $2n+1$. (:DNon. Attention aux erreurs d'inattention. -
GBZM : pas du tout ;-)
$n(n+1)(n+2)$ est forcément divisible par 3. Si $n$ ou $(n+1)$ est divisible par 3, la conclusion est immédiate. Si c'est $(n+2)$ qui est divisible par 3 alors il faut réfléchir un peu plus... -
D'accord et tu trouves ça "plus direct" ? Enfin, des goûts et des couleurs ...
Quant au cas $6n+4$ de mpsi_quatre, c'est visiblement une coquille de copier-coller : lire $2n+1$ au lieu de $n+1$. -
Si on note $S_k=1^k+2^k+\cdots+n^k$, on trouve :
$S_0=n=C^1_n$ ; $S_1=C^2_{n+1}$ ; $S_2=C^3_{n+2}+C^3_{n+1}$.
Il me semble qu"ensuite $S_3=C^4_{n+3}+4C^4_{n+2}+C^4_{n+1}$;
et $S_4=C^5_{n+4}+11C^5_{n+3}+11C^5_{n+2}+C^5_{n+1}$.
Les coefficients viennent peut-être de la suite A008292 ? Il y a lieu d"approfondir. -
@GBZM : non seulement je trouve ça plus direct que la disjonction en 6 cas distincts avec répétitions dans l'analyse, mais c'est aussi une bonne approche (mais c'est simplement mon avis) pour la résolution de ce type de problèmes.
Tu appelles "coquille" ce que j'appelais "faute d'inattention", j'imagine que nous pouvons jouer longtemps à discuter de ce genre de subtilités. -
On peut aussi le faire comme ça:
Sachant que,
$n(n+1)(2n+1)=2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)$
Et si on accepte les principes que le produit de trois nombres consécutifs est nécessairement divisible par 3,le produit de deux nombres consécutifs est pair, cela devient évident que $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $6$ -
Tout le monde semble avoir oublié que c'était un exercice du chapitre "fondements logiques", exemple de raisonnement par disjonction de cas.
Pas grave, mpsi_quatre a déjà résolu son exercice. -
GaBuZoMeu:
Comment tu démontres le principe:
Le produit de n nombres consécutifs est divisible par n
?
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Bonjour!
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