Question sur l'axiome du choix
Bonjour,
Je suis actuellement étudiant en M1 de maths et je me prends la tête au sujet du contexte dans lequel l'axiome du choix est effectivement utilisé.
Par exemple pour l'existence d'une base en dimension infinie ou encore le théorème de Hahn Banach je suis d'accord que c'est assez clair qu'on utilise l'axiome du choix (ne serait-ce qu'à cause de l'utilisation de Zorn)
Mais j'ai l'impression parfois d'utiliser l'axiome du choix de manière plus dissimulée.
Je vais donner un exemple:
On se donne Un compact métrique K localement connexe. On veut montrer qu'il est l'union d'un nombre fini de voisinages connexes.
Tout point x de K est contenu dans un voisinage C_x de x connexe. Les C_x contiennent chacun un voisinage ouvert O_x de x.
K est recouvert par les O_x et par compacité par un nombre fini de O_x qui sont contenus dans les V_x associés. CQFD.
Ce qui me chiffonne c'est qu'on a du considèrer la famille (O_x) pour x appartenant à K. On savait donc que pour chaque x l'ensemble A_x des voisinages ouverts de x contenus dans un connexe était non vide et on a affirmé que le produit des A_x était non vide... Il me semble que c'est très exactement appliquer l'axiome du choix: un produit quelconque d'ensembles non vides est non vide!
Après je suis bien d'accord que la plupart du temps (dans R_n typiquement) on s'en sort avec un argument de séparabilité pour se ramener à l'axiome du choix dénombrable qui lui ne fait pas débat.
Tout cela me perturbe pas mal!
Merci d'avance pour vos réponses
Je suis actuellement étudiant en M1 de maths et je me prends la tête au sujet du contexte dans lequel l'axiome du choix est effectivement utilisé.
Par exemple pour l'existence d'une base en dimension infinie ou encore le théorème de Hahn Banach je suis d'accord que c'est assez clair qu'on utilise l'axiome du choix (ne serait-ce qu'à cause de l'utilisation de Zorn)
Mais j'ai l'impression parfois d'utiliser l'axiome du choix de manière plus dissimulée.
Je vais donner un exemple:
On se donne Un compact métrique K localement connexe. On veut montrer qu'il est l'union d'un nombre fini de voisinages connexes.
Tout point x de K est contenu dans un voisinage C_x de x connexe. Les C_x contiennent chacun un voisinage ouvert O_x de x.
K est recouvert par les O_x et par compacité par un nombre fini de O_x qui sont contenus dans les V_x associés. CQFD.
Ce qui me chiffonne c'est qu'on a du considèrer la famille (O_x) pour x appartenant à K. On savait donc que pour chaque x l'ensemble A_x des voisinages ouverts de x contenus dans un connexe était non vide et on a affirmé que le produit des A_x était non vide... Il me semble que c'est très exactement appliquer l'axiome du choix: un produit quelconque d'ensembles non vides est non vide!
Après je suis bien d'accord que la plupart du temps (dans R_n typiquement) on s'en sort avec un argument de séparabilité pour se ramener à l'axiome du choix dénombrable qui lui ne fait pas débat.
Tout cela me perturbe pas mal!
Merci d'avance pour vos réponses
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Réponses
Mais c'est vrai qu'il est d'usage de tracer les dépendances à l'axiome du choix dans les théorèmes.
Soit $(X,\tau)$ un espace topologique quasi-compact (i.e. tel que de tout recouvrement ouvert dudit espace on puisse extraire un sous-recouvrement fini). On suppose que tout point de $X$ possède un voisinage connexe.
Soit $A$ l'ensemble de tous les ouverts de $X$ contenus dans une partie connexe de $X$. Alors compte tenu de l'hypothèse, $A$ est un recouvrement ouvert de $X$. Il existe donc $W_1,...,W_n$ dans $E$ tel que $X\subseteq \bigcup_{i=1}^n W_i$.
Si $T$ est une partie de $X$ on note $C(T)$ l'ensemble de toutes les parties connexes de $X$ contenant $T$. Alors pour tout $i\in \{1,...,n\}$ $C(W_i)$ est non vide; on montre par récurrence (triviale) sur $\{1,...,n\}$ que pour tout $k\in \{1,...,n\}, \prod_{i=1}^k C(W_i)\neq \emptyset$. Donc en particulier, $\prod_{i=1}^n C(W_i)\neq \emptyset$ et si $(V_1,...,V_n)$ est un élément de cet ensemble, chaque $V_i$ est connexe, et $X\subseteq \bigcup_{i=1}^n V_i$.
Il y a des gens qui s'indignent régulièrement de ce qu'il "faut l'axiome du choix partout en topologie, par exemple pour montrer que dans un espace topologique séparé, un compact peut être séparé d'un fermé par deux ouverts" (là en général la personne te parle de blablah on choisit les ouverts du recouvrement ---> exo pour le lecteur, ça se montre sans AC, comme dans mon post précédent).
Mais l'essence de mon problème n'était pas là, et j'ai pris un très mauvais exemple pour l'illustrer!
Ce que je veux dire, c'est qu'en topologie on a souvent besoin d'exhiber un voisinage V_x particulier autour de chaque point x et de considèrer ensuite la famille des (V_x). Et alors (sauf cas spécifiques où on peut contourner le problème comme ci dessus) il me semble qu'il faut utiliser l'axiome du choix pour cela.
Un espace topologique X est dit localement compact s’il est séparé (cette condition de séparation est parfois omise)[réf. nécessaire] et si tout point x élément de X admet un voisinage compact, autrement dit si x appartient à un ouvert relativement compact (c'est-à-dire d'adhérence compacte, ou encore : inclus dans un compact).
Cette définition implique1 la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique séparé X est localement compact si et seulement si tout point de X admet une base de voisinages compacts.
Je vais essayer d'illustrer mon propos par un autre exemple tiré de wikipedia:
Il s'agit de la preuve du fait que tout espace séparé localement compact admet en tout point une base de voisinages compacts.
Je fais référence à la première preuve de ce fait dans:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_localement_compact
Ma crainte (que j'espère infondée) est qu'on utilise implicitement l'axiome du choix en considérant la famille des (V_y) dans la preuve qui est donnée.
Merci beaucoup à tous (et surtout à Foys dont le commentaire m'a donné le déclic)
Mais je m'interroge, c'est quoi cette crainte de l'axiome du choix ? :-D
Mais ça me semble important pour un matheux d'avoir conscience de quand il l'utilise et puis ça peut mener tout de même à des paradoxes contre intuitifs comme tout le monde le sait
Là-dessus je ne suis pas du tout d'accord mais c'est un ressenti personnel :-) Pour moi l'axiome du choix n'aboutit à rien de "paradoxal".
C'est pas hyper intuitif, si j'ai une infinité d'ensembles non vides, que le produit soit non vide ?
Je suis pas un vrai matheux, alors quand j'ai une preuve avec l'axiome du choix je m'en satisfais :-D
La quasi-compacité s'écrit "pour tout R, ensemble d'ouverts qui ... , il existe une partie finie de R qui ...."
Elle ne s'écrit pas "pour toute application $U$ qui à chaque $x$ de l'espace associe un ouvert $U(x)\ni x$, il existe une partie finie de l'espace telle que blabla"
C'est peut-être dû à plusieurs choses:
1) on ne fait plus assez d'ensemblisme en maths (et les étudiants ne sont pas les seuls fautifs)
2) il y a des fois où ce sont bel et bien des familles qui sont engagées pour que ça ait un sens (exemple: les bases d'espaces vectoriels)
Bon cela dit, on ne peut pas dire que la topologie soit de toute façon insensible à l'axiome du choix puisque l'énoncé de Tychonoff est équivalent à AC et de plus la sens Tycho =>AC est totalement évident (c'est AC => Tycho qui demande une rédaction de fond "puissante").
Du coup, peut-être qu'il y a une tendance à se dire que puisque le théorème central de la topologie générale*** est un équivalent de AC, au diable les recensements, utilisons AC à fond le caisson.
*** sans Tycho, la topologie est assez muette (je ne parle pas de la topologie algébrique, qui n'a essentiellement de topologique que le nom et les préparatifs, mais est de l'algèbre)